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1、第十六届全国数学研究生暑期学校课程第十六届全国数学研究生暑期学校课程 1) 非线性分析非线性分析 基基 础础 课：课： 1. 临界点理论临界点理论 段华贵段华贵 副教授（南开大学）副教授（南开大学） 本课程的主要目的是介绍临界点理论中的极小极大原理以及应用这些理论研究微分方程解的存在性与多重性等。主要包括：非线性映射的基本性质（如有界性、连续性、紧性、Frechet 与 Gateaux 可微性等） ；Brouwer 拓扑度；山路定理及其在半线性椭圆偏微分方程中的应用；鞍点定理；各种变化了的山路定理及其在哈密顿系统中的应用；环绕及其应用；群作用下不变的泛函（对称泛函）及指标理论；对称泛函的多个临
2、界点；分歧问题中的变分方法。 主要参考文献主要参考文献 1. 张恭庆，临界点理论及其应用，上海科学技术出版社，1986. 2. K. C. Chang, Infinite Dimensional Morse Theory and Multiple Solution Problems. Birkhauser. Boston. 1993. 3. P. H. Rabinowitz, Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations, CBMS Reg. Conf. Ser. vol
3、. 65. AMS, 1986. 4. M. Willem, Minimax Theorems, PNLDE 24, Birkhauser, 1996. 2. 黎曼几何基础黎曼几何基础 刘春根刘春根 教授（南开大学）教授（南开大学） 我们将用二十个左右的课时, 从微分流形的一些基本概念出发, 介绍黎曼几何的一些基本的概念, 方法. 主要介绍黎曼度量, 黎曼连络, 曲率张量, 截面曲率等等. 让学员对黎曼几何有一个初步的认识. 选选 修修 课课： 3. 偏微分方程偏微分方程 极小化方法与非线性椭圆方程极小化方法与非线性椭圆方程 王志强教授（美国犹他州立大学、南开大学）王志强教授（美国犹他州立大学
4、、南开大学） 摘要：过去 50 年间变分方法在理论与应用上都经历了迅猛发展。做为研究生的入门， 这个专题课程着重于变分理论中最基本和重要的方法之一： 极小化方法及在非线性椭圆方程的应用。 我们会利用椭圆问题中简单模型方程来讲解这方面的一些基本技巧。具体来讲， 要讲的题目包括下面这些： 弱下半连续性，带约束的极小化问题与 Lagrange 乘子，集中列紧原理，对称临界原理，Nehari方法，椭圆边界值问题的正解和变号解，非线性 Schrodinger 程的驻波解及位势的影响，对称和对称破坏问题等。在讲课过程中，我们会给出一些进一步的阅读文献和进一步的研究问题。 4. 动力系统动力系统 不变流形及
5、其应用不变流形及其应用 曾崇纯曾崇纯 教授（美国乔治亚理工大学）教授（美国乔治亚理工大学） Invariant manifolds and applications Abstract: In the study of finite and infinite dimensional dynamical systems generated by maps, ordinary differential equations, or partial differential equations, invariant manifolds and foliations are important tools
6、. They provide coordinates in which the systems can be partially decoupled and can be used to track the asymptotic behaviors of the orbits. Therefore, starting with Poincare, Hadamand, Lyapunov, Perron and et al., people have studied extensively their existence, smoothness, and persistence under sma
7、ll perturbations (such as those due to the modelling procedure, small noises, or computational round-off error, etc.) In this series of lectures, we will discuss the following topics: Local theory: invariant manifolds and foliations near a fixed point of finite dimensional systems-existence and smoo
8、thness Applications of the local theory in local and global bifurcations, blow-up analysis etc. Global theory: normally hyperbolic invariant manifolds. Applications of normally hyperbolic invariant manifolds-singular perturbations. Introduction to invariant manifolds in infinite dimensions and appli
9、cation to PDEs. Some references: Introduction to differentiable dynamical systems, by Min Qian and Jingyan Zhang, published by PKU. Carr, Jack Applications of centre manifold theory. Applied Mathematical Sciences, 35. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981. vi+142 pp. ISBN: 0-387-90577-4 Chow, Shui-
10、Nee; Lin, Xiao-Biao; Lu, Kening, Smooth invariant foliations in infinite-dimensional spaces. J. Differential Equations 94 (1991), no. 2, 266-291. Fenichel, Neil Persistence and smoothness of invariant manifolds flows. Indiana Univ. Math. J. 21 1971/1972 193-226. Fenichel, Neil Asymptotic stability w
11、ith rate conditions. Indiana Univ. Math. J. 23 (1973/74), 1109-1137. Fenichel, Neil Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations. J. Differential Equations 31 (1979), no. 1, 5398. Hirsch, M. W.; Pugh, C. C.; Shub, M. Invariant manifolds. Lecture Notes in Mathematics, Vo
12、l. 583. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977. ii+149 pp. Bates, Peter W.; Lu, Kening; Zeng, Chongchun Existence and persistence of invariant manifolds for semiflows in Banach space. Mem. Amer. Math. Soc. 135 (1998), no. 645, viii+129 pp. Bates, Peter W.; Lu, Kening; Zeng, Chongchun Approximately i
13、nvariant manifolds and global dynamics of spike states. Invent. Math. 174 (2008), no. 2, 355-433. Guckenheimer, John; Holmes, Philip Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. Revised and corrected reprint of the 1983 original. Applied Mathematical Sciences, 42. Sp
14、ringer-Verlag, New York, 1990. xvi+459 pp. 前沿报告：前沿报告： 1. 龙以明龙以明 院士（南开大学）院士（南开大学） 2. 刘兆理刘兆理 教授（首都师范大学）教授（首都师范大学） 3. 邹文明邹文明 教授（清华大学）教授（清华大学） 2）李群与李代数李群与李代数 基基 础础 课：课： 1.代数拓扑代数拓扑 王向军教授（南开大学）王向军教授（南开大学） 基本群与奇异同调群是代数拓扑中两个最基本的概念， 同时对初学着来讲也是很难理解的两个概念。 原因在于基本群与奇异同调群是两个从定义出发基本不可算的群。要想计算出某些空间的基本群或同调群从而得出空间的性质
15、，就必须要懂得Van Kampen定理和同调群的同伦不变性、正合序列、切除定理及泛系数定理等重要结论。而这些定理都是很难证明的。通过本课程希望大家能够对这些定理的证明思路和应用方法有一个基本的了解。 本课程将主要讲述一下内容： 1. 同伦与基本群的概念 2. 同伦群的性质与园的基本群 3. Van Kampen定理与基本群的应用 4. 链复形及其同调 5. 单纯同调群与奇异同调群 6. 奇异同调群的性质 7. 切除定理与Mayer-Vietoris序列 8. 泛系数定理 2.李群理论李群理论 梁科教授，邓少强教授（南开大学）梁科教授，邓少强教授（南开大学） 本课程将介绍李理论的基础知识, 包括
16、李群的基本理论和复半单李代数的结构理论. 主要讲授的内容有: 李群的概念, 李群的李代数, 李子群与子代数, 单参数子群与指数映射, 李变换群, 齐性流形，紧李群，李群的表示，幂零与可解李代数，半单李代数的根子空间分解，根系，Dynkin 图，半单李代数的分类和存在性等. 我们还将简单介绍李理论在微分几何中的应用，包括齐性黎曼流形和对称空间等理论。 本课程所讲授的内容在微分几何，调和分析，拓扑学等重要数学分支以及数学物理，理论物理等众多领域中有非常重要的应用。熟悉本课程的内容后，可以进行李代数、微分几何、李群表示理论、数学物理等多个方向的研究工作。 本课程需要的基础知识包括抽象代数的基本理论（群、环、域），微分几何以及点集拓扑的基础知识，包括流形，向量丛，联络，黎曼度量, 连通性和分离公理等。 目录: 第一讲 李群与指数映射 第二讲 子群与子代数 第三讲 李变换群与齐性流形 第四讲 伴随表示 第五讲 半单李群与 Weyl 定理 第六讲 李定理与 Engel 定理 第七讲 半单李代数的分
