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1、图 A-26 第十第十五五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛决赛试题试题 A 解答（解答（初一初一组）组） 一、一、填空题填空题 1. 互不相等的有理数 a, b, c 在数轴上的对应点分别为 A, B, C. 如果 |cbacba, 那么在点 A, B, C 中, 居中的是点 . 【答案】【答案】A. 【解答】【解答】当 cab 时, |cbbcacbaacba; 当 cab时, |cbcbcaabacba; 所以点 A 在点 B 与点 C 之间. 当点 A 不在 B, C 两个点之间时, |cbacba 不成立. 事实上, 当 bca 时, acbacaba
2、cba2|, cbcb |. 这时不可能有 |cbacba, 否则, cbacb2, 即 ca22 , 得出 a 和 c 相等, 与题设条件矛盾. 类似地可以讨论其他情形. 2. 图 A-26 所示的立体图形由 9 个棱长为 1 的正方体木块搭成, 这个立体图形的表面积为 . 【答案】【答案】 32. 【解答】【解答】 从上、下、前、后、左、右看到的这个立体图形的表面的面积分别为 5, 5, 5, 5, 6, 6, 总和为 32 . 3. 汽车 A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行开往甲站, 途中 A 与 B 相遇后 15 分钟再与 C 相遇. 已知 A、B、
3、C 的速度分别是每小时 90km, 80km, 70km, 那么甲乙两站的路程是 km. 【答案】【答案】 680 【解答】【解答】 设 A 与 B 出发 t 小时后相遇. 两站路程为 s, 则有 st )8090(, st41)9070(, 得 4t(小时), 6804170skm. 4. 把自然数 20101 分组, 每组内任意 3 个数的最大公约数为 1, 则至少需要分成 组. 【答案】【答案】 503. 【解答】【解答】 一组中至多可以有 2 个偶数, 总共 1005 个偶数, 故至少分到 503组. 又相邻的两个整数是互质的. 相邻的两个奇数也是互质的. 故下面 502 组相邻 4
4、个数中, 44, 34, 24, 14kkkk (其中501, 2, 1, 0k), 任意 3 个数的最大公约数为 1, 加上 2009 与 2010 一组, 共分成 503 组. 5. 已知正 n 边形的内角度数的两倍为整数, 那么这样的正整数 n 有 个. 【答案】【答案】 28. 【解答】【解答】 正 n 边形的内角度数为 nnn3601801802, 其两倍为 n720360. 所以当 n 整除53272024时, 正 n 边形的内角度数的两倍为整数. 720 有30) 11)(12)(14(个因数. 当1n或2n时, 不存在正 n 边形, 所以只有 28个正多边形满足条件. 6. 已
5、知 32 523 72accbba, 则cbacba 65223 的值等于 . 【答案】【答案】 1126. 【解答】【解答】 令 kackcbkba 32,523,72. 由kabkba1143,72, 解得 kakb111,1139. 因此 kakc113123. 则 1126 316395)2(31239) 3( 65223 cbacba. 7. 六人参加乒乓球比赛, 每两人赛一场, 分胜负, 无平局. 最终他们胜的场数分别是 a, b, b, c, d, d, 且dcba, 那么 a 等于 . 【答案【答案】 5. 【解答】【解答】 一共有 15 场比赛且不可能有两人都一场不胜, 所以
6、 1522dcba, 1d. 于是 156 d, 2d. 若2d, 则 1124cbac, 进而得到 dc 2, 矛盾. 所以1d. 1324cbac, 3c, 即2c或 3. 若3c, 则1023bab, cb3, 矛盾. 所以2c. 再由 112 ba 得到 3b, 5a. 8. 某中学新建游泳池开启使用, 先用一天时间匀速将空游泳池注满, 经两天的处理后同速将水放光; 然后开始同速注水, 注满一半时, 将注水速度加倍直图 A-29 到注满. 请在图 A-27 中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系. 【解答】【解答】 二、二、 解答下列各题解答下列各题 9. 能否找到7个整数, 使得这7
7、个整数沿圆周排成一圈后, 任3个相邻数的和都等于 29? 如果能, 请举一例. 如果不能, 请简述理由. 【答案】【答案】 不能. 【解答】【解答】 假设存在 7 个整数7654321,aaaaaaa排成一圈后, 满足任 3个相邻数的和都等于 29. 则 29321aaa, 29432aaa, 29543aaa, 29654aaa, 29765aaa, 29176aaa, 29217aaa. 将上述 7 式相加, 得 图 A-28 图 A-27 729)(37654321aaaaaaa. 所以 32673729 7654321aaaaaaa, 与7654321aaaaaaa为整数矛盾! 所以不
8、存在满足题设要求的7个整数. 10. 已知 k 是满足 20101910 k的整数, 并且使二元一次方程组 kyxyx 54745有整数解. 问: 这样的整数 k 有多少个? 【答案】【答案】 2. 【解答】【解答】 直接解方程组, 4128541435kykx . 当 nkmk 4152841435(其中 m 和 n 是整数) (1) 时方程组有整数解. 消去上面方程中的 k, 得到 745 nm. (2) 从(2)解得 lnlm 5243(其中 l 是整数), (3) 将(3)代入(1)中一个方程 lk164123435, lk4122. 解不等式 201041221910l, 41198
9、8 411888 l, 41204841246 l. 因此共有 2 个 k 值使原方程有整数解. 11. 所有以质数 p 为分母的最简真分数的和记为m, 所有以质数 q 为分母的最简真分数的和记为 n. 若48mn, 求nm的可能值. 【答案】【答案】 14, 49, 2196. 【解答】【解答】 因为p为质数, 所以pp pp1,2,1为最简真分数, 所以 21) 1(21p ppm. 同理可得 21qn. 所以 6(1)(1)23pq. 首先, 因为上式右端 3 的因子只有一个, 所以 p 和 q 不可能相等, 不妨设pq. 因为 6232 964 488 2416 1232 6 =643
10、, 所以 p 和 q 可以是以下情形: 2,193qp, 对应的2196nm; 3,97qp, 对应的49nm; 13,17qp, 对应的14nm. 12. 解方程 80xx, 其中 x 表示不大于 x 的最大整数. 图 A-30 【答案】【答案】 980x. 【解答】【解答】 当0ba时, 有bbaa. 当ba 0时, 有bbaa. 由于 9981806488, 可以断言, 如果方程有正数解 x, 则8xx. 因此808)8( x, 2x是不可能的. 另一方面, 9981806488, 可以断言, 如果方程有负数解 x, 则9xx. 因此 80)9()9(x, 19x, 91x, 980x.
11、 故原方程的解为980x. 三、三、 解答下列各题解答下列各题 13. 图 A-30 中, ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB 的面积之和等于六边形 ABCDEF 的面积. 又图中的 6个阴影三角形面积之和等于六边形ABCDEF的面积的31. 求六边形111111FEDCBA的面积与六边形 ABCDEF 的面积之比. 【答案】【答案】 31. 【解答】【解答】 记六边形111111FEDCBA的面积为 S, 图中阴影部分的面积为 S1; 记 ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB 的面积之和为 S2, 由这六个三角形组成的图形除去阴影部分的面积为 S3,
12、 由题设条件可知 S2 =ABCDEFS, S1 =31 ABCDEFS. 在计算 S2时, 加了两次 S3, 所以3122SSS, 从而得 ABCDEFSS31 3. 又31SSSSABCDEF, 所以 ABCDEFSS31. 故 31ABCDEFSS. 14. 一个单项式加上多项式 52) 1(92xx 后等于一个整式的平方, 试求所有这样的单项式. 【答案】【答案】 216x, 或 8x, 或 32x, 或64 9. 【解答】【解答】 设所求的单项式是 max, 0m. 52) 1(92xx共有 3 个不为同类项的单项式, 如果 3m, 则多项式 52) 1(92xx+max 中不为同类
13、项的单项式有 4 项, 不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方, 如果写成至少有 3 项不为同类项的单项式和的平方, 则展开后, 至少有 5 个不为同类项的单项式, 所以, 得到2m. 22229125 169 1620452;xxxxxx 22222291258912432;912532912432;xxxxxxxxxxxx 2 22641001091259203;993xxxxx 所求的单项式为216x, 或 8x, 或 32x, 或64 9, 再无其他解答. 图 Q-16 第十第十五五届华罗庚金杯少年数学邀请赛届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决决赛试题赛试题 A（初初一一组）组） 一、填空
14、题一、填空题 (每题 10 分, 共 80 分) 1. 互不相等的有理数 a, b, c 在数轴上的对应点分别为 A, B, C. 如果 |cbacba, 那么在点 A, B, C 中, 居中的是点 . 2. 图 Q-16 所示的立体图形由 9 个棱长为 1 的正方体木块搭成, 这个立体图形的表面积为 . 3. 汽车 A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行开往甲站, 途中 A 与 B 相遇后 15 分钟再与 C 相遇. 已知 A、B、C 的速度分别是每小时 90km, 80km, 70km, 那么甲乙两站的路程是 km. 4. 把自然数 20101 分组, 要求每组内任意 3 个数的最大公约数为 1, 则至少需要分成 组. 5. 已知正 n 边形的内角度数的两倍为整数, 那么这样的正整数 n 有 个. 6
