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1、MATLABMATLAB 在线性代数中的应用开题报告在线性代数中的应用开题报告开题报告MATLAB 在线性代数中的应用 一、选题的背景、意义1.选题的背景线性代数是大学理、工、经管、医、农等学科所有专业必修的一门重要数学基础课。它作为离散性数学在工科数学中的代表,随着计算机科学日新月异的发展,许多非线性问题高精度地线性化与大型线性问题的可计算性正在加快逐步实现,因此无论从理论上还是从应用上看,线性代数的地位更趋重要。 MATLAB 软件是目前教学与科研中最具影响力、最有活力、最具可靠性的数学软件。它起源于矩阵运算,MATLAB 名字由 MATrix 和 LABoratory 两词的前三个字母组
2、合而成。作为高度集成的计算机语言,它携带几十个软件包,提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计,与其他语言的接口也非常便捷。在欧美的大学里,诸如应用统计分析、自动控制、数字信号处理、模拟与数字通信、时间序列分析、动态系统仿真等课程都把 MATLAB 作为教学内容。2.选题的意义线性代数作为代数的一个主要分支,以向量空间与线性变换作为研究对象,就其在数学、物理学以及经济学等分支的应用来说,线性代数的离散化思想具有非常特殊的作用,因此也成为我国大学生必修的公共基础课之一。此外,线性代数思想特别使用于计算机编程,它以坐标法和向量法作为主要的研究工具,通过矩阵和向量性质研
3、究多变量之间的线性关系,因此,MATLAB 与线性代数的紧密结合有着非常广阔的前景。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题线性代数是一门应用性很强,但又在理论上进行了高度抽象的数学学科。一方面,中学生就学过了二元一次代数方程的解法,代入法和消去法大概每个人都会记忆一辈子,这就是做简单的线性代数。当把方程的阶次提高到了三元一次以上时,它不但要求较高级的抽象思维能力,而且也要求用十分烦琐的计算步骤才能解决问题。对于数学家,他们重视前者,这无可厚非;但对于大多数工科学生,他们更需要的是能应用它的理论,指导完成实际的计算。事实上,线性代数的那种单调、机械、枯燥的运算,只是由于计算机的出现才赋予了在应用方
4、面的生命力。20 世纪 80 年代,出现了个人计算机并迅速普及。新的硬件也带动了新的软件,出现了新颖的科学计算语言,也称为数学软件,因为它具有高效、可视化和推理能力等特点。计算机技术的发展已经对人们的物质生活和文化生活产生了十分巨大的影响,其最显著的功能就是高速度地进行大量计算,这种告诉计算使得许多过去无法求解的问题成为可能,因而科学计算已成为与理论研究、科学实验并列的科学研究的三大手段。MATLAB 是“矩阵实验室”(Matrix Laboratory)的缩写,它是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言,当然它特别适合于线性代数,并能更广泛地适应科学和工程计算及绘图的需求。与其他计算机语言相比
5、,MATLAB 的特点是简捷和智能化,适应科技专业人员的思维方式和书写习惯,使得编程和调试效率大大提高。它用解释方式工作,键入程序立即得出结果,人机交互性能好,易于调试并为科技人员所乐于接受。特别是它可适应多种平台,并且随计算机硬软件的更新及时升级。MATLAB 的基本数据单元是矩阵,所有的变量都可用矩阵来表示,向量是行数为 1 或列数为 1 的矩阵,而标量则是 1 行 1 列的特例矩阵,在编程时不必像其他语言一样为矩阵定义维数和大小。用 MATLAB 求解一个问题比编写Fortran、C 或 Basic 语言程序求解所用的时间要少得多。此外,它的数学表达式和运算结果也几乎和数学解析的表现形式
6、完全相同。2.1 MATLAB 环境下矩阵的建立MATLAB 环境下,线性代数的计算有以下几方面内容。(1)矩阵的创建 输入在 MATLAB 中, 输入矩阵时每一行元素用分号分隔, 格式为: a, b, c;d, e, f;g, h, i 。(2)求方阵的行列式求行列式是通过 det 函数求解。例 1 求下列矩阵的行列式解 程序为A10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4,0;9,4,2,9,1;DdetA结果为D5.9720e+0035972(3)求逆矩阵用 inv 来实现, 要注意大小写字母的区别。例 2 设,试求其逆阵解 按上述方法写成 MATLAB
7、程序A3,0,3,-6;5,-1,-1,-5;-3,1,4,-9;1,-3,4,-4;VinvA结果为(4)矩阵的基本运算可算加法“+” 、减法“-” 、乘法“*”, 及数乘等。那么,我们先来看如下的一个矩阵,问常数满足什么条件时,矩阵 A 可逆,并求其逆矩阵;特别给出当矩阵 A 的行列式等于-6 时的逆矩阵。解这样的带有符号变量的计算问题用手工方法是很难完成的。现编程如下:%判断符号矩阵何时可逆,并求其逆。clear allsyms a %符号变量说明disp输入的矩阵是:A1 1 -1;a 2 0;-1 a 3%符号矩阵输入DdetA;Disp当参数 a 不等于psolveD %求符号矩阵
8、行列式值函数的零点disp时其有逆阵:BinvA%求符号逆矩阵qsolveD+6; %求行列式等于指定值-6 时的参数的值Llengthq;For i1:Ldisp当参数 a 等于subsqi %将参数的值转换为实数形式disp时矩阵的行列式等于指定值(-6),其逆矩阵为:BsymsubsB,a,subsqi%求等于时的逆矩阵,并以简化形式输出End程序执行结果是:输入的矩阵是:当参数不等于时,其有逆阵 当参数等于时矩阵的行列式等于指定值(-6),其逆矩阵为:当参数等于2时矩阵的行列式等于指定值(-6),其逆矩阵为2.2 Matlab 环境下克莱姆法则的应用线性方程组可以分成两类, 一类是未知
9、量个数与方程的个数相等, 另一类是未知量个数与方程的个数不等, 对于前一类特殊的线性方程组, 我们可以采用克莱姆法则(Cramer).如果线性方程组的系数矩阵 I那么有设线性方程组(I)的系数行列式,则(I)有唯一解,且解可用行列式表示为其中是把系数行列式 D 中第列元素方程组(I)右端相应的常数项代替而得到的 n 阶行列式,即从而若为某个数域,则解均属于。那么用 MATLAB 来求解满足 Cramer 法则条件的方程组解程序如下:%求解满足 Cramer 法则条件的A1 0 -1 1;2 -1 4 8;3 0 2 1;4 1 6 3 %输入系数矩阵b1 0 -1 0 %输入常数列向量m,ns
10、izeA;bb:;ksizeb,1;if mn|mk %检查输入正确性disp您输入的系数矩阵或常数列向量有错误!returnelsedisp系数行列式的值为:DdetA %计算并输入系数行列式的值If D0Disp输入的系数行列式不满足 Cramer 法则的条件!ElseFor j1:n BA;B:,jb;DjjdetB;end %求用常数列替换后的行列式的值disp用常数列 b 替换系数行列式中的第 j 列所得到的行列式的值分别为:Djdisp 原方程组 AXb 有唯一解,解是:XDj./D%输出原方程组的(唯一)解endend程序执行的结果是:系数行列式的值为:用常数列替换系数行列式中的
11、第列所得到的行列式的值分别为:原方程组有惟一解,解是:对于方程个数与未知量个数不等的情况我们来看以下题目例 3 用编程方法求解下列齐次线性方程组解 编程%求齐次线性方程组 AX0 的基础向量clear allA1 2 1 1 1;2 4 3 1 1;-1 -2 1 3 -3;0 0 2 5 -2;%输入系数矩阵m,nsizeA;if A0disp输入的系数矩阵为零矩阵!returnelsedisp齐次线性方程组的系数矩阵是:AR,srrefA; %调用初等变换子函数disp经过初等变换,系数矩阵 A 化为如下简化阶梯形:Rdisp线性代数组 AX0 只有惟一零解!rlengths if rne
12、lse%从矩阵 R 构成基础解向量t0;for i1:rhisi; %确定解向量 x 的分量次序endfor j1:nk0;for i1:rif jsi k1;break;endendif k0tt+1; hr+tj ; %确定解向量 x 的分量次序B(:,t)-1.*R:,j;endendBr+1:n,1:n-reyen-r,n-r;for i1:nChi,:Bi,:; %按变量原次序构成基础解向量end%disp线性方程组 AX0 的基础解向量为:XCend end程序结果为A1 2 1 1 12 4 3 1 1-1 -2 1 3 -30 0 2 5 -2经过初等行变换,系数矩阵 A 化为
13、如下简化阶梯形:R2 0 0 20 0 1 0 -10 0 0 100 0 0 00 系数矩阵 A 的秩为 r 3 线性方程组 AX0 的基础解(列)向量为:X -2 -210010001 三、研究的方法与技术路线、研究难点,预期达到的目标 1.研究内容(1)了解线性代数理论和 MATLAB 软件产生的背景及意义,知道两者的基本发展历程。(2)对线性代数问题和 MATLAB 软件应用有深刻认识,掌握解决线性代数问题的基本方法,了解线性代数研究的基本问题。(3)清楚线性代数理论在 MATLAB 环境下的应用在今后的发展方向及进一步研究需要的知识。2.研究方法及技术路线 本论文主要以查找资料、参考
14、文献,以学过的相关知识,在前人的研究论述基础上,应用线性代数的基本方法来解决基本线性代数问题,并用 MATLAB 软件来解决一些社会中的常见问题。采取了从大量阅读已有的数据资料?然后对这些内容进行归纳总结?最后运用相关知识来求解及应用的技术路线。3、研究难点(1)对线性代数理论和 MATLAB 软件的基本方法及它们的应用的掌握程度有待加强,对两者的方法及应用的广度有待拓宽;(2)由于论题比较宽泛,很难有对一点或一面进行深入研究;(3)线性代数的方法和问题有很多种,本文讲述基本的方法;它的应用领域也很广泛,本文只论述常见的方面。4、预期达到的目标通过这次论文的撰写更好的了解了线性代数和 MATL
15、AB 的发展历程,深入的认识了线性代数问题,更好的掌握了解决线性代数问题的方法,并在 MATLAB 环境下会应用此理论来解决社会中常见的问题,同时还可以结合其他知识来综合解决这类问题。除此,对线性代数理论的掌握,还能更好的学习其他相关理论,能更容易的更好的解决这类问题。四、论文详细工作进度和安排第 7 学期第 9 周(2010 年 11 月 5 号)至第 7 学期第 19 周(2011 年 1 月 10 号) 完成毕业论文文献检索、文献综述、外文文献翻译及开题报告。 第 7 学期第 19 周(2011 年 1 月 10 号)至第 8 学期第 3 周(2011 年 3 月 11 号) 完成毕业论
16、文的数据收集、论文初稿。 第 8 学期第 3 周(2011 年 3 月 11 号)至第 8 学期第 11 周(2011 年 5 月 3 号) 1、进入实习单位进行毕业实习,对论文进行修改; 2、第 11 周(2011 年 5 月 3 日)前必须返校,完成毕业实习返校,并递交毕业实习报告,进一步完善毕业论文; 第 8 学期第 14 周(2011 年 5 月 23 号 2011 年 5 月 28 号)完成第一轮毕业论文答辩; 第 8 学期第 15 周(2011 年 5 月 28 号 2011 年 6 月 3 号) 第一轮毕业论文答辩未通过的学生完成第二轮毕业论文答辩,并随机抽取部分完成较好地毕业论文进行校级答辩五、主要参考文献1 陈维新.线性代数简明教程第二版M.北京:科学出版社,2005.1:3-3.2 汪潘义.运用“Matlab”进行线性代数课程教学的
