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1、1第一章第一章 实数的概念、性质和运算实数的概念、性质和运算一、实数及其运算一、实数及其运算 整数（正整数、零和负整数）有理数实数分数（正分数和负分数） 无理数（即为无限不循环小数） 整数还有以下分类：偶数 整数 奇数 1 正整数质数合数1、自然数、自然数我们把叫做自然数，自然数的集合用字母0,1,2,3,LN表示，即，自然数也叫非负整数，除 0 以外的自然数叫做正整数。自然数具有下面的性质：0,1,2,3,N L（1）自然数的后继数（的后面与它相邻的数）是nn1n（2）两个自然数的和、差的绝对值以及它们的积都是自然数。2、奇数与偶数、奇数与偶数当自然数被自然数除，所得商仍是一个自然数时，我们
2、就说自然数能被自然数1n22(0)n n 1n整除，此时称是的倍数；是的约数。2n1n2n2n1n能被 2 整除的自然数都是偶数；不能被 2 整除的自然数都是奇数。偶数都可以表示成为整数）2 (k k的形式；奇数都可以表示成为整数）的形式。21(kk3、素数与和数、素数与和数若一个正整数只有 1 和它本身两个约数，则称这个正整数为素数（或质数） 。若一个正整数有除 1和自身以外的约数，则称这个正整数为合数。正整数可以分为 3 类：自然数 1，素数与合数。2 是最小的素数，除 2 以外的素数都是奇数。大于 1 的任意自然数都可以表示成若干个素因数连乘积的形式，如：，我们把这312023 5 个分
3、解得的算式（如）叫做该自然数的素因数分解式。对于给定的大于1 的自然数，它的素323 5 因数分解式是唯一的。4、公约数和公倍数、公约数和公倍数 （1）公约数设是个正整数，若是它们中每一个数的约数，则称为这123,(2)na a aa n Lndd个整数的公约数（或公因数） 。个正整数的公约数中最大的一个，叫nn123,(2)na a aa n L做这个正整数的最大公约数。若个正整数的最大公约数是 1，则称这个正整数互质。nnn（2）公倍数设是个正整数，若是它们中每一个数的倍数，则称为这123,(2)na a aa n Lnaa个正整数的公倍数。个正整数的公倍数中最小的一个，叫做这个正nn12
4、3,(2)na a aa n Ln整数的最小公倍数。5、数的整除、数的整除（1）如果a,b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除。 （2）如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。（3）如果能整除b，b能整除，那么能整除。caca（4）如果b与都能整除，且b与互质，那么b与的乘积能整除。cacca（5）零能被任意非零自然数整除； （6）能被 2 整除的数个位数字是；0,2,4,6,8（7）各位数字之和能被 3（或 9）整除的数必能被 3（或 9）整除；（8）末两位数能被 4 整除的数必能被 4 整除；（9）末位数是 0 或 5 的数能被 5 整除；（10）两个相邻自然数中，必有一个
5、是偶数，另一个是奇数；6、循环小数转化成分数的方法、循环小数转化成分数的方法记循环小数记循环小数 0 1351351350 135. ggL12 10. 101 ggLLkkka aaaa7、有理数和无理数之间的运算规律、有理数和无理数之间的运算规律有理数无理数=无理数非零有理数无理数=无理数非零有理数无理数=无理数2无理数非零有理数 =无理数二、绝对值、平均值二、绝对值、平均值一）绝对值一）绝对值1绝对值的定义：200,00a aa aaaaaa aa a2几何意义：实数的绝对值就是数轴上与对应的点到原点的距离。aa3绝对值的主要性质：1）0a 2）aa 3）0ababab等号成立的条件为4
6、）0ababab等号成立的条件为5）0ababab等号成立的条件为6）22aa4非负数（1）0a （2）20a （3）若有意义，则且a0,a 0a 二）绝对值方程与不等式二）绝对值方程与不等式1、两类主要绝对值函数、两类主要绝对值函数1） 、f(x)= |x-a|+|x-b |解题思路：1）主要考虑f(x)的最小值，其最小值是|b-a|；2）当时取到最小值；axb3）图像特点：中间平，两头翘。2） 、f(x)= |x-a|-|x-b |解题思路：1）主要考虑的最大值和最小值，其最大值是，最小值是；( )f xbaba2）图像特点：两头平，中间斜。2、绝对值方程问题、绝对值方程问题解题思路解题思
7、路：1）方程有解，等价于( )f xxaxbcmin( )cf x2）方程无解，等价于( )f xxaxbcmin( )cf x3）方程有解，等价于( )f xxaxbcminmax( )( )f xcf x4）方程无解，等价于( )f xxaxbc或min( )cf xmax( )cf x3、绝对值不等式恒成立问题、绝对值不等式恒成立问题解题思路解题思路：1）若不等式f (x)A在区间上恒成立，则等价于在区间上；DDmin( )f xA2）若不等式f (x)0 时，有两个不相等的实数根。当 =0 时，有两个相等实数根。当 0=00 且d0 时，Sn有最小值；通过解得n的范10 0nna a
8、围等差中项A 为a,b的等差中项 2A=a+b性质an为等差数列naknban为等差数列（k,b,A,B 为常数）2 nSAnBn三个数为等差数列, ,a b c2bac 当时，mnpqmnpqaaaa（为同奇或同偶）22mnm naaa,m n 若为等差数列前项和，则也成等差数nS nan232,nnnnnSSSSS列，公差为2n d 若差数列前项和分别为，则 ,nnabn,nnS T2121nnnnaS bT 当等差数列的项数为偶数时，则 nan 2nSSd偶奇当等差数列的项数为奇数时，则 nan1 1SnSSaSn奇 奇偶中 偶， 等差数列解题设元常用方法已知三个数成等差数列时，可设这三
9、个数依次为；, ,ad a ad已知四个数成等差数列时，可设这四个数依次为3 ,3ad ad ad ad8二、等比数列二、等比数列等等 比比 数数 列列定 义 （ ）1nnaqa2 12nnnaaa12,0nnna aa通项 公式1 1nn naa qk qn mn mn nm maaaqqa增减性或递增10,1aq10,01aq常数列 1q 或递减10,01aq10,1aq前项n和111(1)11n nnaq Saqqq 若，则所有项的和1q 1 1aSq等比中项为的等比中项G, a b2Gab性质为等比数列（为常数） nan nakq,0k q 为等比数列，且 na1q （为常数）,0n
10、nSb qc bc, b c三个不等于零的数为等比数列, ,a b c2ba c 当时，mnpqmnpqaaaa（为同奇或同偶）22()mnm naaa,m n 若为等比数列前项和，则也成等比数nS nan232,nnnnnSSSSS列，公比为nq 等比数列解题设元常用方法在已知三个数成等比数列时，可设这三个数依次为；, ,aa aqq在已知四个数成等比数列时，可设这四个数依次为3 3,aaaq aqqq三、特殊数列求通项三、特殊数列求通项1、形如的形式采用累加法1( )nnaaf n，从而11( )( )nnnnaaf naaf n，两边分别相加即可求解21321(1),(2),(1)nna
11、afaafaaf nL2、形如的形式采用叠乘法1( )nnaaf n，从而1( )nnaaf n1( )nnaf na23121(1),(2),(1),Lnnaaafff naaa两边分别相乘得 1(1)(2)(1)nafff naL3、形如的形式，化为等比数列1nnapaq设，令解出，从而数列11()(1)nnnnamp amapapm(1)pmqm为等比数列nam4、已知求通项nSna111 2n nnSnaSSn四、特殊数列求和四、特殊数列求和1、型，其中为等差数列，为等比数列nnab na nb解题思路：分别对和求和，再相加 na nb2、型，其中为等差数列，为等比数列nnab na
12、nb解题思路：错位相减3、裂项相消法9解题思路：将数列的通项分解相减，使之消去一些项，然后再求和。 111 (1)1 11 11()(2)22 11 11()() 1111()(1)(2)2(1)(1)(2) 111n nnnn nnnn nkk nnkn nnn nnnnnnn 五、数列中的应用题五、数列中的应用题解题思路：关键是把实际问题转化为数列模型，要分清该数列是等差数列还是等比数列，是求还是求。一般情况下，增或减的量是具体量时，应该用等差数列公式；增或减的量是百nSna分数时，应该用等比数列有关公式。若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则用 1 加或减这个百分数才是公比
13、。第六章第六章 排列、组合排列、组合一、加法原理与乘法原理一、加法原理与乘法原理1、加法原理做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有n1m种不同的方法，在第类办法中有种方法，那么完成这件事共有2mnnm种方法12nNmmmL2、乘法原理做一件事，完成它需要个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方n1m2m法，做第步有种方法，那么完成这件事共有nnm种方法12nNm mmL二、排列与组合二、排列与组合1、排列的定义从个不同元素中，任取个元素（被取出的元素各不相同） ，按照一定的顺序排成n()m mn一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。nm2、
14、排列数的定义从个不同元素中任取个元素的所有排列数的个数，叫做从个不同元素n()m mnn中取出个元素的排列数，用符号表示。mm nP ( )或m nA3、排列数公式（1）当时，排列称为选排列，排列数为mn(1)(1)m nPn nnmL（2）当时，排列称为全排列，排列数为mn(1)3 2 1n nPn n L4、组合的定义从个不同元素中，任取个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出n()m mnn个元素的一个组合。m5、排列数的定义从个不同元素中任取个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素n()m mnn中取出个元素的组合数，用符号表示。mm nC6、排列数公式! !()!m mn nm mPn
15、CPm nm7、组合数的两个性质（1）mn m nnCC（2）1 1mmm nnnCCC 三三、排排列列、组组合合问问题题的的求求解解应应掌掌握握的的基基本本方方法法与与技技巧巧1、特殊元素优先安排2、排列、组合混合的问题先选后排3、相邻问题捆绑法（先考虑受限制元素）4、不相邻问题插空处理（先考虑不受限制元素）5、分排问题直排处理6、至多至少问题间接法7、数量不大问题穷举法108、分组问题四、常见考试题型四、常见考试题型1、 “在位在位”与与“不在位不在位”（1）某元素必在某位置解题思路解题思路：某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(或几个)元素，再排其他元素。（2）某元素不在某位置解题思路解题思路：先把所有元素全部排列，在减去某个(或几个)元
