量纲分析法来构造模型

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1、1量纲分析法来构造模型量纲分析法来构造模型一、基本概念：一、基本概念：在表达一个物理量时，总是用数和量这两个概念在一起来度量该物理量的某种属性，因此，许多物理量都是有量纲的，例如：质量的量纲是：克（g） ；千克（kg）速度的量纲是：厘米/秒；公里/时热量的量纲是：卡def：量纲量纲：在对物理对象进行分析时用来表示物理特性的量称之为量纲量纲，例如：长度、密度、速度等。用数学公式描述一个规律时，等号两端都必须保持量纲的一致。def：量纲分析：在量纲一致的原则下，分析物理量之间关系的一种方法称为量纲分析量纲分析。例如：用数学公式描述一个物理规律时等式两边必须保持量纲的一致，同时也保持单位的一致。de

2、f：量纲分析法量纲分析法：用量纲分析法来建立数学模型的一种方法。def：基本量纲基本量纲：在物理学或力学中有一些物理量的量纲是基本的，其他物理量的量纲可以由这些基本量纲推导出来，这些基本的量纲叫基本量纲，例如：力学中基本量纲为：（质量） ， （长度） ， （时间） ，分别记成：，mltM L，其他量纲可由此推出来。例如：速度 ；加速度 ，力 T1 VLT2 aLT.22 fMaMLTMLTg有些物理常数也有量纲，例如：万有引力定律 中的引力常数的量纲12 2m mfKrK也可推出来：222132132 MLTKm LKMLTMLTdef ：无量纲常数无量纲常数，记为000 1, ( )L M

3、TQ二、量纲分析法建模的例子二、量纲分析法建模的例子：先从实例讨论出发，再给出一般方法。例例 1：单摆运动模型：已知已知：质量为的小球，系在长为 的线ml的一端，重力作用下作简谐运动， Fmgl求求：单摆运动关于周期 的模型。t解解： 1：将可能与 有关的物理量用关系式t, , m l g2（1）( , , )tl m g表示出来。 2用量纲分析法来确定 假定（1）的形式表示为（2）312tl m g其中：无量纲比例系数，为待定常数。 (1,2,3)ii则（2）的量纲表达式为：都用基本量纲表示：312133222 TLMLTLMT由等式两边量纲一致的原则可知：13230021 有唯一解： （3

4、）12311, 0, 22 将（3）代入（2）有： ltg此与力学定律得到结果是一致的。说明：说明：1）为什么（1）式要以（2）特殊形式出现，而不出现三角函数、指数函数、对数函数，这是因为：如果某些物理量如出现如下形式的函数关系：L12, , xxL，则必须是无量纲的。 （因为是三角函数角度数） ，因而121212 12sin(), , xxx xeL12 12x x都是无量纲的，则不能用量纲分析方法得到模型形式（或者说：121212 12sin(), , xxx xeL这些无量纲的量都包括在无量纲比例系数中去了） （因而量纲分析法无法得到无量纲量的 具体形式） 。2）一般说来，单摆作简谐摆动

5、应考虑小球偏离平衡位置的初始角度，但因他是无量无量纲量纲量，所以它的影响可反映在系数内，即为，用更精确方法知道，是以为( ) ( ) 参量的第一类椭圆积分，当很小时，其值近似等于。2例例 2： 利用量纲分析法：从万有引力定律中推出开普勒第三定律，即，行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半轴的三次方成正比，即：，或T23Tkl32lT已知已知：设行星运动周期 ，椭圆轨道长半轴为 ，太阳行量的质量为，万有引力常数tlm . K 求：求：运行周期 的关系式（模型） 。t3解：解：1设周期 ，长半轴 ，太阳行星质量，万有引力常数万有引力常数之间关系为：tlmK( , , , )0l t m k（1） 2为

6、使用量纲分析方法将（1）写成（无量纲常数，不是圆周率） 3124l t m K（2） 3对（2）式量纲分析得量纲表达式为：3124132000 LTMMLTLMT（3） 4据等式两边量纲一致的原则有：143424 : 30 : 0 : 20L M T 对 对 对（4）对（4）式的秩，变量个数为 4，所以基本解组为个3Rank 431不妨取为： （5）1 , 1 , 2 , 34321(其中, 任取为自由变量并令=1) 445将（5）代入（2）得到模型为：（6）3211l t m k即：，即开普勒第三定律，而历史上由开普勒第三定律的观测数据出发，推出23tl万有引力定律。 说明：说明：（6）式中

7、比例系数中仍有质量，并没有推出开普勒第三定律中比例系数是m绝对常数的结论：即：，但已得到比例关系：23Tkl23tl三、三、定理定理由例 2 可知利用量纲分析把 4 个有量纲的量表示为 1 个无量纲的量，得出量纲分析 法的一般步骤：先给出两个定理。Th1：（定理定理）设有个物理量之间存在一个函数关系（与量纲单位n12, , , nxxxL选取无关的物理定律）（1）12( , , , )0nxxxL其中：是有基本量纲的物理量，可由这些12, , , ()mxxxmnL12, , , mmnxxxL基本量纲表示，则（1）式可以表示为个无量纲量：的关系，nm12, , , n mL412(, , ,

8、 )0n m L(因为由量纲的齐次原则,物理量可以用线性无关的向量12, , , ()mxxxmnLmn表示出来)。 Th2：（Th1 的推广） 设有（1）12( , , , )0nxxxL其中有是有基本量纲，且的量纲可表示为：m12, , , mxxxL (1,2,)ixinLmj=1 = (1,2, )ij ijxxinL若矩阵 的秩为（） ，则（1）可表示为：()ijn mBr( )Rank Br12(, , , )0n r L其中（=1，2, ）是无量纲量，且可表示为：ss.rn(即为模型模型)( )1(1, 2, , )in s si ixsnrL是方程组 的基本解：( )is0TB

9、r12( ) ( )( )( )ins sss r L统称定理，按照定理，量纲分析方法的一般步骤：Remark:1, 2ThTh四、量纲分析法建立数学模型的基本步骤：四、量纲分析法建立数学模型的基本步骤：1将与问题有关的有量纲的物理量（变量和常数）记做，按照物理定12, , , nxxxL义确定此问题的基本量纲并记成12, , , mXXXL2将所有物理量用基本量纲表示，即令： （1）1ini ix待定，为无量纲量，将的量纲用基本量纲表示为：iix5（2） ) , 2 , 1 ;,21( 1mjn,iXxmjjiijLL已知（利用已有的物理知识确定）ij3利用（2）得到（1）式的量纲表达式)

10、(11 nimjjiijX即： （3）110niji imj jx 4解线性方程组：（4）10 (1,2,)niji ijm L1112121121222211220 00nnnnmmnmn L L L L L()ijim n 若方程组（4）：，则有向量 有个基本解，并记上述Rank(4)r1n rMnr的解为：rnr( ) 1 ( ) 2 ( )( )( )1, 2, , ssss r s nsnr rLL则得到之间个关系式：12, , , nxxxLnr（5）( )1in s is ix(1, 2, , )snrL其中为无量纲量。s5写成模型的统一形式12(, , , )0s L6举例说明

11、上述步骤：例例 3 不可压缩粘性流体在管道内的稳定流动模型。 解解：已知此问题涉及的物理量有：管长： 流速：， 流体密度：， lV管道两端压强：，流体粘性系数，重力加速度。pg 基本量纲仍为 ，求各物理量之间的关系式。 , , LMT解：解：确定基本量纲 将各物理量用基本量纲表示出来； lL1 VLT流体密度： 3 ML重力加速度：2 gLT压强： 12 pML T粘性系数： 11 ML T并设： （*）356124l Vpg由量纲一致的原则，将上式求上式的量纲表达式。3561241312112 0LLTMLML TML TLT即：1234563452456322 0LMT得方程组：12345

12、63452463002 20 解上述方程组得：秩， 有 个基本解就构成了基本解组。3R 633上述方程组有基本解组如下：令 得基本解为： 4561 0 0 123(1)4560 2 1 1 0 0 r7令 得基本解为： 45601 0 123(2)4561 1 1 0 1 0 r令 得基本解为： 4560 0 1 123(3)4561 2 0 0 0 1 r5得到个关于各 关系的数学模型：将代入（*）式得：633nr(1)r021100 1LVpg即 或 即：模型：模型211 1Vp12p V将 代入（*）式得：(2)r121010 2L Vpg即： 或 模型模型，为数111 2l V 2lV2Reynold将代入（*） ，得(3)r2000 3lVpg即 或 模型模型，为数。2 3lVg33gV l3Froude上