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1、2013/3/221第二章 函数正交变换与离散傅里叶变换第二章 函数正交变换与离散傅里叶变换2.1 函数正交展开函数正交展开 2.2 离散系统与连续系统的等效性离散系统与连续系统的等效性 2.3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 2 4 圆周卷积与线性卷积圆周卷积与线性卷积2.4 圆周卷积与线性卷积圆周卷积与线性卷积 2.5 快速傅里叶变换快速傅里叶变换 2.6 其他离散变换及特点其他离散变换及特点2.1函数的正交展开拉普拉斯变换，傅里叶变换，离散傅里叶变换，拉普拉斯变换，傅里叶变换，离散傅里叶变换，z变换变换的的理论基础：理论基础：正交变换正交变换函数空间空间的正交基函数的正交展开函数空间空间的
2、正交基函数的正交展开1、函数空间定义：、函数空间定义： 集合X=f(t),f(t)是具有某种性质的 连续函数或可导函数连续函数或可导函数若任意f1属于X，f2属于X，有12X,()afbfa bKRC或则称X是一个线性函数空间2013/3/2222.1函数的正交展开2、函、函数内数内积定义：积定义：数内数内*( )( )baf t g tdtf,g是函数空间中的两个元f,g所决定的一个标量则称为f和g的内积满足非负性，对称性，齐次可加性非负性，对称性，齐次可加性3、范数定义：、范数定义：1 每个元和自己的内积正平方根对内积和范数是收敛的无穷多维向量所构成的空间2f f,f 4、希尔伯特空间定义
3、：、希尔伯特空间定义：每个元和自己的内积正平方根2.1函数的正交展开5、空间的正交基定义：、空间的正交基定义：若函数集合( )Xnnn Zt若此函数集合的各元之间都彼此正交，且线性张成X，即0 ,0nmmnAmn 则称为X的一个正交基底0 nAmn=1，函数序列称为 规范（标准）正交，函数序列称为 规范（标准）正交2013/3/2232.1函数的正交展开5、函、函数数的正交展开：的正交展开：数数则对于任意( )Xf t 都可以用( )nn Zt唯一地表示出来1122 1( )( )( ).( )Mmm mf tftftftM可以是有限值也可以是无穷大2.1函数的正交展开1：如何确定各系：如何确
4、定各系数数fm数数m1122 1( )( )( ).( )Mmm mf tftftft2：确定出的各系数能否保证级数确实收敛为函数：确定出的各系数能否保证级数确实收敛为函数f（t）解解决决方案：取和方案：取和内内积积( )nt决决内内( )n1( ),( )( ),( ).Mmmnnn mfttf ttf Am=n内积为非零内积为非零2013/3/2242.1函数的正交展开解解决决方案：取和方案：取和内内积积( )nt决决内内( )n( ),( ) ( ),( )n n nnf ttftt 注意注意由于正交展开的唯性由于正交展开的唯性f与与f注意注意：由于正交展开的唯由于正交展开的唯一一性性，
5、f与与fn一一 对应一一 对应2.1函数的正交展开2：确定出的各系：确定出的各系数数能否保证级能否保证级数数确确实收实收敛为函敛为函数数f（t）1122 1( )( )( ).( )Mmm mf tftftft数数实收数数数实收数答案：答案：f(t)对对规范正交逼近基底规范正交逼近基底的正交展开收敛于原的正交展开收敛于原f(t)2013/3/2252.1函数的正交展开引入：逼近基底概念引入：逼近基底概念定义：如果无穷维的希尔伯特函数空间中的任一元定义：如果无穷维的希尔伯特函数空间中的任一元 f(t)均可用一个有无穷多个元的基底函数集合 的各元作任意准确逼近，即：对任0总存在有基 底序列的局部线
6、性组合，使得：均可用一个有无穷多个元的基底函数集合 的各元作任意准确逼近，即：对任0总存在有基 底序列的局部线性组合，使得：( ) t( )( )N f tft 1( )( )kk kf tft则称是空间的一组则称是空间的一组逼近逼近基底，或称基底，或称完备完备集 合集 合( ) t与极限不同，因为与极限不同，因为fk在不断变化在不断变化2.1函数的正交展开但若逼近基底彼此正交，则但若逼近基底彼此正交，则fk是不变的，从而极限是不变的，从而极限1lim( )( )0NkkNkf tft ( )( )kkf tft 1( )( )kk kfff(t)对规范正交逼近基底的正交展开收敛于原对规范正交
7、逼近基底的正交展开收敛于原f(t)2013/3/2262.1函数的正交展开6:正交展开实例正交展开实例例例1：时限函数对（伸缩）复指数的可列集合的正 交展开：时限函数对（伸缩）复指数的可列集合的正 交展开 2jtkTe2.1函数的正交展开6:正交展开实例正交展开实例例例1：时限函数对（伸缩）复指数的可列集合正交 展开：时限函数对（伸缩）复指数的可列集合正交 展开2 ( )jktT Tk kftc e22222222(),.TjtkjtljtkjtlTTTTTTjt k leeeeTkl ()2jt k lTTe0 kl2211( ),( )jktjktTT kTTcft eft edtTT即傅
8、里叶级数及系数展开即傅里叶级数及系数展开2013/3/2272.1函数的正交展开6:正交展开实例正交展开实例jte同理：对于伸缩单位为实数，伸缩单位为复数同理：对于伸缩单位为实数，伸缩单位为复数s=a+j 的正交展开，分别为的正交展开，分别为傅里叶积分和拉普拉斯变换傅里叶积分和拉普拉斯变换 同理：对于序列伸缩单位为实数同理：对于序列伸缩单位为实数(,) jne的变换为的变换为序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换，伸缩单位为复数，伸缩单位为复数z的变 换为的变 换为z变换变换2.2离散系统和连续系统的等效性实际问题：如何用数字机对连续系统仿真，即用离散系统代替连续系统？实际问题：如何用数字机对连续系
9、统仿真，即用离散系统代替连续系统？连续系统空间离散系统空间连续系统空间离散系统空间L2（R）l2（Z）即能在空间找到一个同构映射即能在空间找到一个同构映射u,使上述两个空间的元有一一对应的关系使上述两个空间的元有一一对应的关系1( ) ( )1( ) ( )( ) ( )x nx t( ) ( )y ny t连续到离散系统连续到离散系统1( ) ( )y ty n1( ) ( )x tx n离散到连续系统离散到连续系统连续系统连续系统 L离散系统离散系统 l( )y t( )x t( )x n( )y n12013/3/2282.2离散系统和连续系统的等效性如果将系统限制在线性时不变范围内；如
10、果将系统限制在线性时不变范围内；( )( )* ( )y nx nh n( )( )* ( )y tx th t映射映射是否能够把卷积积分的三个函数映射成仍有卷积和关系的三个函数是否能够把卷积积分的三个函数映射成仍有卷积和关系的三个函数？这这对于连续系统，输入输出可表示为卷积积分的关系对于离散系统，输入输出可表示为卷积和的关系对于连续系统，输入输出可表示为卷积积分的关系对于离散系统，输入输出可表示为卷积和的关系映射映射是否能够把卷积积分的三个函数映射成仍有卷积和关系的三个函数是否能够把卷积积分的三个函数映射成仍有卷积和关系的三个函数？这这样的映射条件称为样的映射条件称为定常映射。定常映射。？什
11、么样的映射是可以的，即定常映射的条件是什么样的？什么样的映射是可以的，即定常映射的条件是什么样的？2.2离散系统和连续系统的等效性由连续变到离散序列的映射，从数学上可由函数的正交展开来实现。由连续变到离散序列的映射，从数学上可由函数的正交展开来实现。nf( )( )nn nf tft由于基底是由于基底是可列可列的，因此也是一个序列，即离散化的序列，这样就构成了从对于函数空间的，因此也是一个序列，即离散化的序列，这样就构成了从对于函数空间V的一组可列正交基底，任意均可利用此正交基底展开。连续到离散的映射。的一组可列正交基底，任意均可利用此正交基底展开。连续到离散的映射。( ),( ) ( ),(
12、 )n n nnf ttftt 2013/3/2292.2离散系统和连续系统的等效性正交展开后满足正交展开后满足定常映射的充分必要条件定常映射的充分必要条件是：是：( )*( )( )nmn mttt证明：基底的任意两个元之间满足：充分性：证明：基底的任意两个元之间满足：充分性：( )( )( )Nn Ny ty nt( )( )( )Kk kKxx k ()( )()Mm mMh th mtnN( ).( )( ).()KMkm kKmMx kh mtdt ( )( ) ()( )( ).( )()KMkm kKmMy txh tdx kh mtd 2.2离散系统和连续系统的等效性正交展开后
13、满足正交展开后满足定常映射的充分必要条件定常映射的充分必要条件是：是：n( )*( )( )nmn mttt证明：基底的任意两个元之间满足：充分性：证明：基底的任意两个元之间满足：充分性：( ).( )( ).()KMkm kKmMx kh mtd ( )( )( )KM x kh mtn( ).( )( )k m kKmMx kh mt ()( ). ()( )MKKn nK MkKx k h nkt( )y n( )( )( )Nn nNy ty nt反推即得到必要性！反推即得到必要性！2013/3/22102.2离散系统和连续系统的等效性上面的定常映射条件为上面的定常映射条件为时域条件时
14、域条件，下面可推得到，下面可推得到频域条件频域条件211( )( )*( )ttt根据拉普拉斯变换或者傅立叶变换的卷积定理可以知道：根据拉普拉斯变换或者傅立叶变换的卷积定理可以知道：3111( )( )*( )*( )tttt111( )( )*( )*( )nntttt 个1( )( )n nss1( )( )n n 也就是说条件变为：基底函数序列下标为也就是说条件变为：基底函数序列下标为n的序列的积分变换 需是下标为的序列的积分变换 需是下标为1的元的的元的n次方次方2.2离散系统和连续系统的等效性给出几个正交展开的实例，并且判断是否符合给出几个正交展开的实例，并且判断是否符合定常映射定常
15、映射条件条件sin()/( )()ntn TTc ttn T 例例1：带限函数对偏移采样函数序列的展开即连续系统离散化时，通常利用的方法是：带限函数对偏移采样函数序列的展开即连续系统离散化时，通常利用的方法是采样采样（也是正交展开的一种），还可以利用其他符合（也是正交展开的一种），还可以利用其他符合定常映射定常映射条件的展开方法。条件的展开方法。它在带限函数它在带限函数（）空间中完备空间中完备， 其正交性为其正交性为/ T 0 ( )( )1/ nmnmc t ct dtT nm它在带限函数它在带限函数（）空间中完备空间中完备， 其正交性为其正交性为/cT 即是正交逼近基即是正交逼近基2013/3/22112.2离散系统和
