第二章随机过程基本知识

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1、第二章第二章 随机过程基本知识随机过程基本知识主讲人：李主讲人：李伟伟 西安电子科技西安电子科技 数学与统计学院数学与统计学院 公共邮箱：公共邮箱： Passwords: suijiguocheng 随机过程应用广泛随机过程应用广泛随机过程在自然科学、社会科学以及工程随机过程在自然科学、社会科学以及工程 技术的各领域均有应用技术的各领域均有应用.在我校的一些专业：雷达、通信、无线电在我校的一些专业：雷达、通信、无线电 技术、自动控制、生物工程、经济管理等领技术、自动控制、生物工程、经济管理等领 域有着极为广泛的应用域有着极为广泛的应用.2引言教材1.1.随机过程随机过程- -计算与应用计算与应

2、用冯海林冯海林 薄立军薄立军 西安电子科技大学出版社西安电子科技大学出版社 20122012参考教材1. 随机过程随机过程张卓奎张卓奎 陈慧婵陈慧婵西安电子科技大学出版社西安电子科技大学出版社 2003 2.随机过程与应用随机过程与应用田铮田铮 秦超英秦超英科学出版社科学出版社 2007 3.随机过程随机过程毛用才毛用才 胡奇英胡奇英 西安电子科技大学西安电子科技大学出版社出版社 1998 4.随机过程理论随机过程理论 周荫清周荫清 电子工业出版社电子工业出版社 第二版第二版 2006 5.An introduction to stochastic processes Edward P.C.

3、kao Thomson 2003随机过程的起源随机过程的起源1931年，柯尔莫果洛夫年，柯尔莫果洛夫 (Kolmogorov)概率论的解概率论的解 析方法析方法1934年，辛钦年，辛钦 (Khintchine)平稳过程平稳过程 的相关理论的相关理论奠定了马尔可夫过程与奠定了马尔可夫过程与 平稳过程理论平稳过程理论1953年，杜布年，杜布(Doob)随机过程论随机过程论随随 机机 过过 程程 的的 奠奠 基基 人人随机过程的研究背景随机过程的研究背景 生活和工作中的随机过程：生活和工作中的随机过程：银行排队：队列长度银行排队：队列长度、等候时间等候时间internet: 流量流量、响应时间响应时

4、间、延迟延迟 股票交易：行情股票交易：行情、盈亏盈亏教材中的举例：教材中的举例： 电话呼叫的次数随时间的变化电话呼叫的次数随时间的变化 液面上微粒的扩散液面上微粒的扩散 振荡器输出的随机相位正弦波过程振荡器输出的随机相位正弦波过程特点：不确定性；不能用一个确定性的函数来描述特点：不确定性；不能用一个确定性的函数来描述，不能用确不能用确 定性函数的定性函数的 分析方法分析方法 课程的教学内容随机过程的基本知识随机过程的基本知识 布朗运动（维纳过程）布朗运动（维纳过程） 跳跃随机过程（泊松过程）跳跃随机过程（泊松过程） 平稳过程平稳过程 离散时间马尔可夫链离散时间马尔可夫链6引言 作业与考试作业与

5、考试作业：每章均有一定量的作业，每章结束后作业：每章均有一定量的作业，每章结束后 交本章作业交本章作业考试：闭卷考试考试：闭卷考试引言教学内容教学内容 随机过程的定义随机过程的定义 随机过程的分类与举例随机过程的分类与举例 有限维分布函数族有限维分布函数族 数字特征数字特征8第二章第二章随机过程基本知识随机过程基本知识第一节：第一节：1） 随机过程的定义及分类随机过程的定义及分类2）有限维分布函数族）有限维分布函数族随机过程引例随机过程引例-10-50510-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81ts-10-50510-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40

6、.60.81tx正弦信号：正弦信号：s(t)=cos(wt), w为常数；为常数； 随机信号：随机信号：x(t)=Acos(wt), t R, A 是均匀分布于是均匀分布于0,1之间的随机变量之间的随机变量若对每一若对每一 t T, 均均有定义在有定义在(, F, P)上的一上的一个取值个取值 为为S的随机变量的随机变量X(,t),()与之对应与之对应, 则称随机变量族则称随机变量族 X(, t)为为(, F, P)上的一个上的一个随机过程随机过程 (S.P.)，记记X(,t), , tT, 简记简记X(t),tT,或或X(t) 或或。设设(, F, P)为一概率空间为一概率空间, T和和S为

7、参数为参数集集, T, S R, 随机过程定义随机过程定义S随机过程随机过程X(t),tT 的状态空间的状态空间 T随机过程随机过程X(t),tT 的时间指标集合的时间指标集合 X(t)样本轨迹（样本函数），固定样本轨迹（样本函数），固定例例1. 考察考察 0，t0时间内某网站收到的访问次数时间内某网站收到的访问次数(t), 则则(t)是是 一个随机变量一个随机变量问题：问题：如果要考察长时间内该网站的访问情况，该如何做？如果要考察长时间内该网站的访问情况，该如何做？则需要让则需要让t 变化变化起来起来, 即即t趋于无穷大趋于无穷大, 则则(t)是一族随是一族随 机变量机变量此时此时(t) 是

8、与时间有关系的随机变量，是与时间有关系的随机变量，称称 (t), t 0,） 是随机过程是随机过程随机过程引例随机过程引例tX(t)tt0状态状态X(t0)=4状态状态X(t0)=5样本轨道样本轨道x1(t) x1(t)x2(t)样本曲线样本曲线x2(t)状态空间状态空间S=0,1,2,., T=0,+)例例1的样本曲线与状态（网站的访问次数）的样本曲线与状态（网站的访问次数）)cos(tAX(t)其中其中 为常数，为常数， 服从服从0,20,2 上的均匀分布上的均匀分布. .若要观察任一时刻若要观察任一时刻t的波形，则需要用一族随机变量的波形，则需要用一族随机变量(t)描描 述述.则称则称(

9、t)，t00 ，+)为随机过程为随机过程例例. 具有随机初位相的简谐波具有随机初位相的简谐波由于初位相的随机性，在某时刻由于初位相的随机性，在某时刻tt0，(t0)是一个随机变量是一个随机变量问题：问题：若要了解该谐波的波形与规律，该如何观察？在哪里若要了解该谐波的波形与规律，该如何观察？在哪里 观察？观察？随机过程引例随机过程引例状态空间状态空间S=-A,A, 参数参数集集T=-,+ tX(t)样本曲线样本曲线x1(t)样本曲线样本曲线x2(t)t0状态状态X(t0)状态状态X(t0)例例2 的样本曲线与状态（具有随机初相位的简谐波）的样本曲线与状态（具有随机初相位的简谐波）)cos(tAX

10、(t)例例.生物群体的增长问题生物群体的增长问题.以以t表示在时刻表示在时刻t某种生物群体的个数某种生物群体的个数, 则则对每一对每一 个个固定的固定的t, t是一是一 个随机变量个随机变量如果从如果从t开始每隔开始每隔24小时对群体的个数观小时对群体的个数观 察一次，则对每一个察一次，则对每一个t，t是一族随机变量是一族随机变量则称则称t, t, 24, 48 , . 是随机过程是随机过程问题：问题：要了解其生长规律，需怎么做？要了解其生长规律，需怎么做？也记为也记为n，n，.t0状态状态X(t0)=18状态状态X(t0)=25样本曲线样本曲线x1(t)样本曲线样本曲线x2(t)例例3 的样

11、本曲线与状态（生物群体增长问题）的样本曲线与状态（生物群体增长问题）状态状态X(t0)=40样本曲线样本曲线x3(t)X(t)t10203040506070024S=0,1,2,., T=0,24,)例例4. 在天气预报中在天气预报中, 以以Xt表示某地区第表示某地区第t次统计所得次统计所得 到的最高气温到的最高气温,则则Xt是一个随机变量是一个随机变量.为了预报该地区未来的气温为了预报该地区未来的气温,要让要让t趋于无穷大趋于无穷大, 则可得到一族随机变量则可得到一族随机变量: Xt, t=0,1,2,，称称t，t，2，.， 是随机过程是随机过程以上以上4个例子的共同特点是个例子的共同特点是

12、: 对某参数集中的任意一个参数对某参数集中的任意一个参数t, 就有一个就有一个 随机变量随机变量X(t)与之对应与之对应.随机过程引例随机过程引例t t称为参数称为参数, ,一般表示时间或空间一般表示时间或空间. .时间指标集合通常时间指标集合通常有以下形式有以下形式: T=0,1,2,或或 T= -2,-1,0,1,2, T=a,b,其中其中a 可以为可以为, b可以为可以为+. (3) T=N当时间指标集合为当时间指标集合为形式时形式时, 随机过程随机过程X(t)也也称为称为随机序列随机序列随机过程定义随机过程定义问题：问题：怎样理解随机过程？它与函数及随机怎样理解随机过程？它与函数及随机

13、 变量有何不同？变量有何不同？ 随机过程将普通函数的概念从随机过程将普通函数的概念从实数与实数实数与实数的对应的对应 关系推广到关系推广到实数与随机变量实数与随机变量的对应关系；的对应关系； 随机过程将随机变量概念从随机过程将随机变量概念从与实数与实数对应推广对应推广到到 与与实函数实函数的对应；的对应； 随机过程是随机过程是一族一族随机变量，又是随机变量，又是一族一族样本函数；样本函数；1. ( t) 的两个特点：随机性与函数性：随机性与函数性. 因此，因此， X(,t),t),实质上为定义在实质上为定义在T T上的二元单值函数上的二元单值函数.2. 对每一个固定的对每一个固定的t, Xt

14、为一随机变量为一随机变量.随机变随机变Xt(tT) 所有可能取值的集合所有可能取值的集合,称为随机过程称为随机过程X(,t) 的的状态状态 空间空间,记为记为S. S中的元素称为中的元素称为状态状态.3. 对每一个对每一个0,X(0,t)是定义在是定义在T上的普通函数上的普通函数. 记为记为 x(0,t), 称为随机过程的一个称为随机过程的一个样本函数样本函数. 或或样本轨道样本轨道. 样本函数的图形称为样本函数的图形称为样本曲线样本曲线22随机过程定义的进一步解释：随机过程定义的进一步解释：基本定义基本定义设设 = : 定义在概率空间定义在概率空间(, F, P)上取实值的随上取实值的随 机过程，若对任意的机过程，若对任意的 ， 1） ：） ： = = 成立，称成立，称 样本轨道连样本轨道连 续；续； 2） 若对任意的若对任意的 0, = , 称称 依概率连续依概率连续； 3） 若） 若 = ， 称称 均方连续均方连续， 记为， 记为-连连 续；续； 4）若）若 , = , 则称则称, = , 均方收敛均方收敛到到； 例例 1：设设 和和 是定义在同一概率空间上的两个是定义在同一概率空间上的两个