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1、第 章 实例及数学模型一般地说,为了定量地解决一个实际问题,从中抽象,归纳出来的数学表述就是数学模型.数学模型可以描述为,对现实世界的一个研究对象,为了一个特定目的,做出必须的简化假设,根据对象的内在规律,运用适当的数学工具,得到的一个数学表述.而数学建模包括模型的建立,求解,分析和检验的全过程.从实际问题到数学模型,又从数学模型的求解结果回到现实对象.数学建模面临的实际问题多种多样,建模的目的不同,分析的方法不同,采用的数学工具不同,所得模型的类型也不同.1 初等数学模型实例 1 商品市场占有率问题有 R 和 S 两家公司经营同类产品,这两家公司相互竞争.每年 R 公司保持 1/4 的顾客,
2、而3/4 转移向 S 公司 ;每年 S 公司保持有 2/3 的顾客,而 1/3 转移向 R 公司.当产品开始制造时 R公司占有 3/5 的市场份额,而 S 公司占有 2/5 的市场份额.试问两年以后,两家公司所占有的市场份额变化怎样?5 年以后会怎样?10 年以后呢?是否有一组初始市场份额分配数据使以后每年的市场分配成为稳定不变?一 问题及分析模型建立根据两家公司每年顾客转移的数据资料,形成下面的转移矩阵3241A又根据产品制造之初市场的初始分配数据可得如下向量520X所以一年后,市场分配为 5234101AX两年以后,市场分配为 02设 年后市场分配的份额为 ,则有nnX 01XAXnn设数
3、据 为 R 公司和 S 公司的初始市场份额,则有ba, ba为了使以后每年的市场份额分配不变,根据顾客转移的规律,有3241即0314ba这是一个齐次方程组问题,如果方程组有解,则应该在非零解的集合中选取正数解作为市场份额稳定的初始份额.由上面的分析得该问题的数学模型为求两个线性方程组,即 0XAn314ba二 模型的求解可以用x1,x2=solve(s1,s2,v1,v2)来求方程组 的解 .0AX也可以用命令 rref( ),化 为上三角阵,再求解.A计算程序为A=1/4 1/3;3/4 2/3;X0=3/5;2/5;X2=A2*X0X5=A5*X0 X10=A10*X0运算结果为X2 =
4、0.3097 0.6903X5 =0.3077 0.6923X10 =0.3077 0.6923为了求 和 作为 R 公司和 S 公司稳定的初始市场份额,用命令 rref 来求解齐次方程组ab计算程序为format rat;rref(A-eye(2)运算结果为ans =1 -4/9 0 0 由此得化简后的方程为 94ba结合约束条件 1可以得到34a139b这就是使市场稳定的两家公司的初始份额.2 微积分方法模型实例问题分析及模型建立模型的求解3 微分方程模型本节以实例分析并建立微分方程模型,对模型作了解析解以及 MATLAB 数值解.而当函数以离散数据形式表示时,函数的数值微分就得借助差分来
5、计算,差分是微分的近似.故本节还分析了简单的差分方程模型.实例 1 温度冷却由物理学知道,物体冷却的速度与当时的物体温度和周围环境温度之差成正比.今 100的沸水注入杯里,放在室温为 20的环境冷却,5min 后测得水温为 60.求水温 与时间 的ut函数关系.一 问题分析及模型的建立设比例系数为 ,根据题意可得微分方程)0(k)2(udt60,150tt二 模型的求解此为简单的一阶可分离变量微分方程,可得解析解5).0(82tu另外,还可用 MATLAB 程序求其解析解和数值解 .解析解的程序为dsolve(Du+k*(u-20)=0,u(0)=100,t) %dsolve 为求常微分方程的
6、符号解函数运算结果为u =20+80*exp(-k*t)再由 ,可得 ,即605t 52lnk5).0(8tu数值解的程序为f=inline(-0.2*log(2)*(u-20),t,u);t,u=ode45(f,0, 100,100); %ode45 为龙格库塔法求微分方程的数值解plot(t,u) %绘制 0 到 100 分钟的温度随时间变化的图形图 温度随时间变化从图可看出温度随时间逐渐趋于 20.实例 2 动物种群的相互竞争与相互依存的模型在生物的种群关系中,一种生物以另一种生物为食的现象,称为捕食.一般说来,由于捕食关系,当捕食动物数量增长时,被捕食动物数量就逐渐下降,捕食动物由于食
7、物来源短缺,数量也随之下降,而被捕食动物数量却随之上升.这样周而复始,捕食动物与被捕食动物的数量随时间变化形成周期性的震荡.田鼠及其天敌的田间种群消长动态规律也是如此.实验调查数据表明:无论是田鼠还是其天敌的数量都呈周期性的变化,天鼠与天敌的作用系统随时间序列推移,田鼠密度逐渐增加,其天敌随之增加,但时间上落后一步.由于天敌密度增加,则田鼠密度降低,而田鼠密度的降低,则其天敌密度亦减少,如此往复循环,从而形成一定的周期.试用数学模型来概括这一现象,并总结出其数量变化的近似公式.一 问题分析及模型的建立设 和 分别表示 时刻田鼠与其天敌的数量,如果单独生活,田鼠的增长速度正比)(txyt于当时的
8、数量,即xdt而田鼠的天敌由于没有被捕食对象,其数量减少的速率正比于当时的数量,即yt现在田鼠与其天敌生活一起,田鼠一部分遭到其天敌的消灭,于是以一定的速率 减少,减少的数量正比于天敌的数量,因此有xydtx)(类似地,田鼠的天敌有了食物,数量减少的速率 减少 ,减少的量正比于田鼠的数量,因此有 yxdty)(上述公式,最后两个方程联合起来称为 Volterra-Lot 方程,这里 均为正数,初始条件,为00)(,)(yx现在通过实验调查所得到的数据如表,此数据为每隔两个月田间调查一次,得到的田鼠及其天敌种群数量的记录,数量的单位经过处理.试建立合理的数学模型.表 田鼠种群数量记录29.7 3
9、3.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.710.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5表 田鼠天敌种群数量记录1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.91.1 1.3 1.6 2.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3二 模型的求解
10、Volterra-Lotok 方程的解析解即 的显示解难求出,因此公式的参数方程不宜直接用yxMatlab 函数来拟合解,可用如下的方法来求其近似解.Volterra-Lotok 可转化为 dtxyd)(ln在区间 上积分,得1it iiii Stx11)(liiiiy2n这里, , , iitiydS1iitixS2m,于是得到方程组21BPA这里 immSttA122101 mmSttA21201P2PTmxB)ln,(l1011 TmyB)ln,(l101因此方程组参数的最小二乘解为111)(APT212)(BAPTT由于 和 均为未知,因此 用数值积分方法的梯形公式解)(txy2,Si
11、)(1111 iiiti ytydii)(21121 iiit xtxSii这样就可求得参数的近似值.模型参数求解的程序为clear all,clcX=29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 .34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 .10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5;Y=1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1
12、.2 0.9 .1.1 1.3 1.6 2.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3;N=X;Y;T=0:2:60;for i=1:30A(i,1)=T(i+1)-T(i);A(i,2 3)=(T(i+1)-T(i)/2)*-(N(1,i+1)+N(1,i),-(N(2,i+1)+N(2,i);B(i,1 2)=log(N(1,i+1)/N(1,i),log(N(2,i+1)/N(2,i);end;A1=A(:,1 3);P1=inv(A1*A1)*A1*B(:,1)A2=A(:,1 2);P2=inv(A2*A2)*A2*B(:,2)
13、上述结果代入 Volterra-Lotok 方程,用 MATLAB 函数 ode45 求方程在时间0,60的数值解.作图可看到田鼠及其天敌数量的周期震荡.求方程 Volterra-Lotok 的数值解的程序为定义函数 vlok 为vlok.mfunction dydt=vlok(T,Y)dydt=(0.8765-0.5468*Y(2)*Y(1);(-0.1037+0.0010*Y(1)*Y(2);clear all, clcX=29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 .34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.
14、6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 .10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5;Y=1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9 .1.1 1.3 1.6 2.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3;N=X,Y;T=0:2:60;t,Y=ode45(vlok,0:0.5:60,29.7 1.6);plot(t,Y(:,1)/100,k);hold on;plot(t,Y(:,2),-.k);title(田鼠及其天敌的 Volterra-Lotok 模型拟合曲线);xlabel(时间);ylabel(数量(只/每百);gtext(田鼠);gtext(天敌);l
