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1、变式研究出新意变式研究出新意誓-I 中小学数学坤学版一 t4,ll 高考研究深高中赏析 2011 年高考,E 京数学理科第 8 题北京宏志中学(100013)王芝平2011 年高考北京卷理科第 8 题:设 A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(tER).记 N(t)为平行四边形 ABCD 内部(不合边界)的整点的个数,其中整点是指横,纵坐标都是整数的点,则函数(t)的值域为().(A)9,10,11(B)9,10,12(C)9,11,12(D)10,11,12一,试题解析变式研究出新意解析 1:为理解题意,先画一个图(如图 1).C,D 是动点,它们在直线 Y=4 上运动
2、,且CD=4;又因为 A,曰两点都是轴上的顶点,且 AB=4,所以四边形 ABCD 是平行四边形(如图 1).这样问题就转化为:平行四边形 ABCD 一边AB 固定,对边 DC 在直线 Y:4 上运动,求其内部整点的个数.显然,所求的整点都在直线 Y=k(:1,2,3)落在四边形 ABCD 内部的线段上.因为这样的线段长度总等于 4,所以每条线段上的整点有 3 个或 4 个.所以 9N()12.当然,考虑到这是一道选择题,考试时结合选项,只要构造具体的四边形 ABCD,得到 N(t)的三个不同的取值就可获得正确的选项.实际上大多数考生也是这样做的.如图 2,当=0 时,N():9;如图 3,当
3、 0t1 时,v()=12;如图 4,当 f=,即直线 AD 过点 J(1,3)时,N()=11.根据选择项,可知选(c).一68 一上述解法,是利用已知条件得知 9N(t)12 后,再根据选择题“有且仅有一个选择项是正确的“的特点知“N(t)有且仅有三个不同取值“.让,J 从(0,4)点开始在直线 Y=4 上向右运动,即可发现 N(t)的值域.这是用构造法解决存在性问题.如果这不是选择题,而是一个填空题,那么就没有选择项可作参考了,当得到 N(t)的三个不同取值后,自然会继续思考:N(t)=10 是否能够取到?如果能够取到,何时 N(f):107 解析 1 并没有回答这个问题.为此,我们继续
4、分析.解析 2:由解析 1 知,ABCD 是平行四边形,且 AB=4,其内部的整点都在直线 Y=(k=1,2,3.下同)落在四边形 ABCD 内部的线段上.设 Y:k 与 AD 边的交点为 E,与 BC 边的交点为.则四边形 ABCD 内部的整点都在线段上(不含两端点).因为 IEFI=1ABI=4,所以线段上的整点有 3 或 4 个.显然,线段(后=1,2,3)上整点的个数与是否是整点有密切的联系,特别地,线段 E 上有 3个整点的充要条件是为整点(此时也为整点).下面的主攻方向自然就是讨论是否是整点了,为此先出点 E(t,1),(寺,2),(孚,3).根据,t,孚是否为整数,进行分类讨论.
5、当隹 Z 且 f(kz)时,E,E2,E3 都不是整点(如图 5),v(t)=12;当隹 z 且 t=七(kz)时,E.,E2,E3 中只有是整点(如图 6),N()=1;单高中高考研究l 中小学教学坤学版 I_当 t=4k(kz)时,E.,E2,E,均为整点(如图 7),|7,r():9;当 t=一 4+2(kz)时,中只有 E:是整点(如图 8),N(t)=11;当 t=4k1(kZ)时,都不是整点(如图 5),(t)=12.孽 y 攀上面 t 的所有取值构成了实数集 R,所以函数N()的值域为9,11,12.及时总结解题活动经验是学好数学的诀窍之一.回顾与反思上述思考过程,四边形 ABC
6、D 内部整点个数取决于边 AD 上的整点个数.故应集中精力讨论直线 Y=kx 所经过的整点情况.特别地,应弄清楚有几个满足 1Y3 的整点?请有兴趣的读者继续探究.作为选择题的压轴题,本题较好地延续了近几年北京卷在保持总体稳定的前提下,“破定势,考真功“的命题理念:返璞归真,支持课改;突破定势,考查真功.彰显了“规避特殊技巧,凸显数学本质,强调过程性评价,引导研究性学习“等特色.整点(又称“格点“)问题题型多样,形式活泼,能有效考查同学们的自主探索能力,实践操作能力,观察,归纳猜想的能力,获取新知识的能力,既有利于培养学生的探究意识和创新精神,又能很好地甄别学生的数学综合素养.由于本题操作性强
7、,趣味性浓,体现了“在玩中学,在学中思,在思中得“的理念,因而成为试卷中的一道靓丽的风景.本题对我们的教学启示是深远的:虽然与考前的模拟试题相比,这是一道变化较大的创新型试题,但是万变不离其宗,这个“宗“就是高中数学核心知识以及由内容反映的数学思想方法.教师必须在自己“理解数学“的基础上,努力帮助学生领悟数学基本概念及其蕴含的思想方法,引导学生养成“回到概念去“思考和解决问题的习惯,那么学生就会与数学“声气相通“,有能力识破考题的“七十二般变化“的“真身“,实现凤凰涅架,浴火重生.二,背景赏析寻幽探微见深功好的问题大都不是孤立的,而是存在于许多问题连结起来的网络上.本题就是这样,它虽然简单得几
8、乎仅涉及小学数学非常少的知识,但却具有深刻的数学背景:格点与面积.我们认为,数学教师如果能有意识地拓展自己的数学视野,那么就可以“大而化之“,在教学的适当时机向学生渗透一点数学史,用数学文化润泽课堂.在丰富学生的数学史知识的同时,激发他们学习和探索数学的热情.为此,我们介绍“格点与面积“的几个有趣的问题,供读者参考.计算一般曲边图形的面积,往往是件既重要又十分困难的事.直觉告诉我们,一个封闭图形的面积与它所覆盖的格点数应该有密切的关系,即大体来说,面积越大,它所覆盖的格点数就应该越多,反之亦然.那么其中存在定量关系吗?早在 1899 年,维也纳的皮克(Pick,18591943)就发现格点多边
9、形(顶点都是整点)的面积与所覆盖的格点数之间有一个实用而有趣联系,即皮克定理:设格点多边形内部含有个格点,边,界上含有个格点,则这个多边形的面积 S=N+一】.如图 9,在这个格点多边形中,:14,=10,+一1-l4+一 1=18,恰好是该多边形的面积为 S.图 9“千里之行,始于足下“.正如探寻其它数学公式那样,我们遵循由特殊到一般的思考方式,从一个恰当的特例开始,逐步寻幽探微,证明这个定理.因为“面积“的学习是按“单位正方形的面积定义为 1 个单位面积矩形面积三角形面积多边形面积“等顺序进行的.所以先考虑:情形 1:两边平行于坐标轴的格点四边形 ABCD.设 AB=m,CD:如图 10,
10、显然 N=(in 一 1)(n 一1),L=2(m+1)+2(17,一 1)=2(m+n),所以,+.69.II 中小学数予坤学版高考研究皂一 1=(m1)(n 一 1)+(,n+n)一 1=,nn=.s情形 2:考虑两直角边分别平行于坐标轴的格点直角_二角形 ABC.将其补成格点矩形 ABCD,即化归为情形 1,如图 10.由于矩形是中心对称图形,所以 AABC 与 ACDA 的面积,内部格点数和边界上的格点数分别相等.图 l0设 Ac 内部(不包含两端点)有个格点,则去掉这L1 个格点后,矩形内部的格点被平分到两个三角形中,即AABC点数为=.又这两个三角形边界上的格点数都等于 L=m+l
11、+,|,.所以+告一 1:+m+1+L1,nn22所以 AABC 的面积 5=+一 l情形 3:AABC 的边都不平行于坐标轴,但通过五个顶点的卣线围成一个情形 1 中的矩形 EFCD,如图 11.将矩形分割成原:角形和至多 3 个情形2 的角角形,利用情形 1lC-/7/,/rJi/图 11与情彤 2 的结论,证明该情形也符合皮克定理(略).当然,格点三角形在平面直角坐标系 E 的位置还有其它较为复杂的情形,对应的割补转化方式也就复杂起来了,但证明的基本思想方法同前面几种情形完成相同.限于篇幅,不再一一验证.请有兴趣的读者自行完成.综 h,平面上任意格点三角形的面积都符合皮克定.情形 4:任
12、意格点多边形,将其分割成若干格点三角形的和,可以验证任意格点多边形也符合皮克定理.(具体证明留给对此有兴趣的读者)对一个复杂问题,从其最特殊的情形出发,一步一个脚印,逐步推进,这似乎并不是什么了不起的,其实却是一种最基本,最有效的策略.所谓“大匠不,“似拙实巧“,就是指这种朴实无华的通性通法.一70,高中天下大事,必作于细.“天下难事,必作于易“.皮克定理的证明就是从简单情况入手,在分类上渐次深入,呈现出如下条理清晰,逻辑严谨的关系:(实线:问题发展方向;虚线:问题解决转化方向)情形 1:两边平行于坐标轴的格点四边形一I?情形 2:有两边分别平行于坐标轴的格点三角形J?情形 3:边都不平行于坐
13、标轴的三角形I7.臃珏;t喜古,t+t在实际应用中,我们需要计算的图形,往往并非格点多边形.在精度要求不十分高的情况下,可利刚“割补“的方法,将原多边形化为面积相近的格点多边形,然后再用皮克定理近似计算.对于一般的曲边形而言,显然,圆是最为特殊的图形.那么,格点与圆之间有何关系呢?关于圆内的格点问题有许多有趣的性质,人仃 J 感兴趣的是,对于任意给定的正整数 n,是否总存在这样的圆,其内部恰含有 n 个格点?出入意料的是,这个答案足肯定的!实际上,只要以点(2,3)(这样的点并不唯一)为圆心,就可以做到这一点.为此,先证明一个引理:以点(,)为圆心,以任意正数 r 为半径的圆剧卜,最多有一个格
14、点.假设(a,b),(c,d)是此圆上的两个格点,则(a 一42)+(b 一)=r.,(c 一)+(d 一 43)=r:,两式相减,得 a+b 一 c 一 d 一 2(ac)一2(bd)=0.令“,W 分别表示整数 2(ac),2(bd),a+b 一 c 一 d,则有+,=,两边平方,得 2uv=一 2u 一 3v.由整数性质,得 2uv:一 2u 一 3v=0.所以 u=0,即 a=c,b=d,于是(a,b)与(C,d)重合.该引理表明,平面上的格点到点 A(2,3)的距离互不相等,由此可以将平面上的所有格点按它到点A(,3)的距离由小到大进行排序.下面在此引理的基础上来构造恰好包含 n 个
15、格点的圆.高中距圆心(2,3)最近的格点是 B(1,2),取 r.=AB,则以 A(2,3)为圆心,以 r.为半径的圆(记作圆(A,)内格点个数是 0.在圆(,r.)外距 A 最近的格点是(2,2),令高考研究/2=AB:,则圆(A,r:)内的格点只能在圆(A,r)的圆周上,而由引理可知,圆(A,)的圆周上有且仅有一个格点曰,故圆(A,F2)内的格点数是 1.在圆(A,1“2)外距 A 最近的格点是(1,1),令 r=AB,同理可证圆(A,r3)内的格点数是 2(如图 l2).如此继续下去,由于这样每做一次只能增加一个格点,故圆(A,r+.)内恰好包含 n 个格点.与圆内格点有关的另一个基本问
16、题是,以原点 O为圆心,以 r 为半径的圆内的格点数 n(r)与其面积丌 r2 有何关系?这是一个自然而有趣的问题.公元 1800 年,年仅 23 岁的数学王子,德国数学家高斯(Gauss,17771855)发现了如下高斯定理:圆(0,r):.+Y=r(r)内的格点数 n(r)与半径平方(r)的比值,当 r 无限增大时趋向于叮 r,即lim:竹.令人惊奇的是,上述结论的证明却非常的简单,既不需要什么专门的数学知识,也没有什么特别的技巧.证明:若某一格点在圆(0,r)内,则将以该点为左下顶点的单位正方形涂上阴影.显然圆(0,r)内的格点数与阴影正方形一一对应,并且这些正方形一定在圆(0,r+2)内(如图 13),圆(0,r 一2)必完全在这些阴影正方形内(如图 14).图 13 图 14因为圆(0,r)内的格点数为 n(r),所以这些阴影
