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1、 全国大学生数学建模竞赛选拔试题第 1 页，共 5 页20092009 年全国大学生数学建模竞赛选拔试题年全国大学生数学建模竞赛选拔试题时量：180 分钟 满分：200 分系别： 专业： 学号： 姓名： 一、数学模型部分一、数学模型部分(共共 90 分分)1、 简述数学建模论文的基本结构。答：应该主要包含论文标题，摘要，问题重述，问题分析，模型建立，模型求解，模型验证，模型分析与改进，模型评价，参考文献等内容。2、 简述数学建模论文摘要的要求及其应包含的主要内容。答：摘要要用独立的一页来写，字数为 300 字左右。应该主要包含建模的思想，建模的方法，建立的模型，模型的求解，模型的改进，模型的评
2、价，以及主要创新点和亮点。3、 试建立桌子在四条腿脚呈长方形时的数学模型，以说明桌子能否在地面上放稳的问题。4、 请把 19 共 9 个数字填入 3 乘以 3 的正方形格子，使 3 个行中每个行的数字总和为15，3 个列中每个列的数字总和也 15，两条对角线数字总和也 15。(1) 中间格的数字应该为多少？并证明之。全国大学生数学建模竞赛选拔试题第 2 页，共 5 页(2) 用推理或建立模型方法求出其它数字(说明求解过程)，最终结果请填入右图。解: (1) 把第 2 行,第 2 列,两对角线所有数字相加,1,2,3,4,5,6,7,8,9 数字各出现 1 次,而中间数字记为 x 多出现了 3
3、次,列出方程 1543)987654321 (x解方程得 x=5, 中间格 x22为 5 (2) 数字 1 不能填对角,否则相应一个对角为 9 而 1 对应行,列总和为 14,而 14=6+8 仅有一种排法由对称性有右图填法 ( 2 分) 把余下数分 3 个一组,按总和为 15 分为 第一组(3,4,8)预放入第 1 行, 第 2 组(2,6,7) 预放入第 3 行 ( 2 分) 调整次序不难得出右图最终结果 (2)别一法:利用上图列出方程610141515kcnbmaknmcba解空间是 1 维, 取 k 为自由变量(k=2,3,4,6,7,8),取 k=2 时其它变量全为整数。 5、 设一
4、个鞋店平均每天卖出鞋 100 双，批发一次差旅费为每次 200 元，每双鞋每存储一天的费用为 0.01元。请建立数学模型寻求最佳进货方式。即该鞋店每隔多少天批发一次，每次进货量为多少时，使费用最少。解：设鞋店第隔 x 天批发一次货，每次进货量为 y，则在一个进货周期内的费用共有： xiiyyxC0)100(01. 0200),(只考虑不允许缺货的情况，即，则平均每天的费用有：，xy1002100*01. 0200),(x xxyxC考虑上式，当且仅当(天)时，平均每天的费用最小，此时每次进货 2000(双)。20100*01. 0200*2x6、 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西 100
5、 米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北 60 米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？解解 首首先先建建立立坐坐标标系系，兔兔子子在在 O O 处处， 狼狼在在 A A 处处。由由于于狼狼要要盯盯着着兔兔子子追追， 所所以以狼狼行行走走的的是是一一条条曲曲线线，且且在在同同 一一时时刻刻，曲曲线线上上狼狼的的位位置置与与兔兔子子的的 位位置置的的连连线线为为曲曲线线上上该该点点处处的的切切线线。 设设狼狼的的行行走走轨轨迹迹是是 y y= =f f( (x x) )，则则有有 1000xy，1000xy又又因因狼狼的的
6、速速度度是是兔兔子子的的两两倍倍， 所所以以在在相相同同时时间间内内狼狼走走的的距距离离为为兔兔子子走走 的的距距离离的的两两倍倍。假假设设在在某某一一时时刻刻，兔兔子子跑跑到到( (0 0, ,h h) )处处，而而狼狼在在( (x x, ,y y) )处处，则则有有1002( )021( ) xhyfxxhfx dx , , 整整理理得得: :22( )1( )(100)0,(100)0xfxfxff这这属属于于可可降降阶阶的的二二阶阶微微分分方方程程，解解得得狼狼的的行行走走轨轨迹迹 31 221200( )10303f xxx因因200(0)603f，所所以以狼狼追追不不上上兔兔子子。
7、 7、 设开始时的人口数为，时刻 的人口数为，若人口增长率是常数，则人口增长问题的马尔萨0xt)(txr斯模型应为 （1） 。若人口增长率受现有人数的制约，并设当前最多能容纳的人数为)(txabc159mnk834159672全国大学生数学建模竞赛选拔试题第 3 页，共 5 页，则 Logistic 模型为 （2） 。mx（1） （2） 0. 0dxrxdt xx 0(1) . 0mdxxrxdtxxx 8、 已知数学模型为，为求模型中的参数，测得数据如下表，请写出其 Matlab 程序。2yaxbxy20406080100x11412019276034134004format longt=2
8、0 40 60 80 100;n=1141 2019 2760 3413 4004;T=t./n;A=polyfit(n,T)Z=polyval(A,n);z=Z.*n;plot(n,t,k+,n,z,r)9、某人早上 8 时从山下旅店 A 处出发沿一条路径上山，下午 6 时到达山顶 B 处并留宿；次日早 8 时从山 顶 B 处沿同一条路径下山，下午 6 时回到旅店 A 处。问此人是否必在两天中的同一时刻经过路径中的同 一地点？为什么？解：我们从A点为始点记路程，设从A点到B点的路程 函数为，设从B点到A点的路程函数为。( )f t( )g t由题意有： (8)0,(18) |, (8) |,
9、 (18)0.ffABgABg( )( )( ),h tf tg t令则有(8)(8)(8)| 0,hfgAB (18)(18)(18) | 0.hfgAB又都是连续函数，因此也为连续函数， 由零点定理，一定存在某一时刻使( ), ( )f tg t( )h t0t000( )0,( )( ).h tf tg t即10、附加题：附加题：(可以在下面两题中任选一题做)(1)、报童每天订购的报纸，批发价是 a 元，零售价是 b 元，如果卖不出去将以 c 元的价格退回给发行单位，每天买报人数不定，报童订报份数如超过实际需要，就要受到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失。设 P(r)是售出 r
10、份报纸的概率，试确定合理的订报份数，使报童的期望损失最小。解：设报童每日采购 n 份报纸,当该日实际销售量 r 份时,报童每日的利润为:() ,( )()()(),ba n rny nba rac nr rn则报童每日的利润为:0( )()()() ( )()( )nrr nE yba rac nrp rba np r要使报童损失最小，或利润最在，则有：，0dndy全国大学生数学建模竞赛选拔试题第 5 页，共 5 页nndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()()()(dndG将将r视视为为连连续续变变量量0dndG cbba drrpdrrpnn )()(0nndrrpbad
11、rrpcb 0)()()()( ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba 0)()()()(2)、医院为病人配制营养餐，要求每餐中含有铁不低于 50 单位，蛋白质不低于 40 单位，钙不低于 42单位假设仅有两种食品 A 和 B 可供配餐，相关数据见下表试问，如何购买两种食品进行搭配，才能即使病人所需营养达到需求，又使总花费最低？试建立模型，不需求解。食品 营养含量A B（单位）铁 蛋白质 钙10 5 5 8 6 5（mg） (g) (mg)价格4 3(元/kg)解：设购买食品 A 的数量为kg，购买食品 B 的数量为kg，建立线性规划模型：1x2xLinDo 程序为： 0, 04256408550510. .34min2121212121xxxxxxxxtsxxZend425x26x1 3)408x25x1 2)505x210x1 1)st3x24x1 min
