重庆大学高数(下)期末试题四(含答案)

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1、重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1 页 共 1 页重庆大学2015 版试卷标准格式重庆大学高等数学（工学类）课程试卷20 20 学年第学期开课学院 : 数统学院课程号: 考试日期 : 考试方式：考试时间 : 120 分题 号一二三四五六七八九十总 分得 分一、选择题 (每小题 3 分,共 18分) 1. 设, ,a b c满足条件,a cb c则().(A) ac(B) abc(C) bc(D) ()abc知识点 :向量的运算 .难度等级 :1. 答案:(D) 分析:由a ba c得()0abc,a b c都非零 ,所以()abc. 2. 若 某 个 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次

2、微 分 方 程 的 通 解 为12,xxyCeC e其 中12,C C 为 独 立 的 任意 常 数 .则 该 方 程 为().(A)xyye(B) 20yy(C)0yy(D)0yy知识点 :微分方程通解 ,微分方程 ,难度等级 :1. 答案: (D) 分析:由通解中的两个独立解,xxe e知.方程对应的特征方程 的 特 征 根 为121,1.因 此 对 应 的 特 征 方 程 是2(1)(1)10.于是对应的微分方程应是0.yy故应选(D). 3. 设222:(1)1,xyz则223xxyzdV().(A)0(B)3(C)3(D)4知识点 :三重积分 ,对称性,难度等级 :2. 答案:(D)

3、 分析 : 积分区域关于yoz面对称 .22xxyz为关于x的奇函数 .积分值为0,余下为3倍体积 .球体体积为4/3,故选 D.4设有曲线积分22,4LydxxdyIxy其中L为不过原点的光滑闭曲线,并取正向 ,则I的值为().命 题 人: 组 题 人: 审 题 人: 命 题 时 间: 教 务 处 制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试; 2.考试作弊 ,留校察看 ,毕业当年不授学位 ;请人代考、替他 人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊 ,开除学籍 .重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1 页 共

4、1 页重庆大学2015 版试卷标准格式(A)0(B)2(C)2(D)知识点 :对坐标的曲线积分 ,难度等级 :2. 答案:(D) 分析: 由于内部含有不连续点 .不能直接用格林公式 .设曲线L到原点最小距离为2 ,a取曲线222:4Cxya的顺时针方向 .与曲线L构 成 闭 区 域 .在 该 闭 区 域 上 使 用 格 林 公 式 .结 果 为0.故22 2222220cossin22.4Caa ydxxdyIdxya选 D. 5. 经过两平面4310,xyz520xyz的交线作平面,并使与y轴平行的方程为().(A) 142130xy(B) 211430xz(C) 211430xz(D) 2

5、11430xz知识点 :平面方程 ,平面束.难度等级 :2. 答案:(C) 分 析 : 设 平 面的 方 程 为52( 431 )xyzxyz即(14 )(5)(31)20.xyz当5时211430xz与y轴平行. 6. 设( )f u具有连续导数 .是曲面22zxy与228zxy所围成立体表面之外侧 .则zdxdydzdxyxfxdydzyxfy)(1)(1=().(A) 16(B) 16(C) 8(D)因( )f u未知.故无法确定 . 知识点:对坐标的曲面积分 ,高斯公式 .难度等级 :2. 答案:(A) 分析: 利用高斯公式可得积分为所围成立体体积. 480416 ,yyDDVdydx

6、dzdydxdz选 A. 二、填空题 (每小题 3 分,共 18 分) 7. 设函数10( )0xf xxx在,上的傅立叶级数的和函数为( ),s x则(4 )s=_.知识点 :傅里叶级数 ,和.难度等级 :1. 答案:1.2分析 :傅立叶级数的和函数为( )s x是以2为周期的周期函数 . (00)(00)1(4 )(0).22ffss8. 设为平面1xyz在第四卦限的上侧.( , )f x y z为连续函数 .则( , , )d d2( , )d d( , )d d_.f x y zxy zf x y zyz xf x y zzx y知识点:对坐标的曲面积分 ,难度等级 :3. 答案:1.

7、2重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1 页 共 1 页重庆大学2015 版试卷标准格式分析:原积分1( , , ),2( , , ),( , , )1, 1,13f x y zxf x y zyf x y zzdS1()31.2xyDxyz dSdxdy9. 曲 线zxyy1在 点( 2,1, 2)处 的切 线与x轴 正 向 所成的 倾 角为_.知识点 :曲线的切线 ,夹角.难度等级 :2. 答案:.4分析 :曲线zxyy1在点(2,1,2)处的切线与x轴正向所成的倾角的 正 切 为zxy在 点( 2 , 1处 关 于x的 偏 导 数 的 值 . 即(2,1) (2,1)tan1,zyx所

8、以.410. 设L是从点0,eeA沿曲线cos , sin, tttxetyetze到点1,0,1B的弧段 , 则第一类曲线积分222LIxyzds的值为_.知识点 :对弧长的曲线积分 ,难度等级 :1. 答案:32 31 .3e分析: 222220() 3tttLIxyz dseeedt3231 .3e11. 由曲线2,2yxyx所围成的平面薄片其上各点的面密度为21,x则此薄片的质量M为_.知识点 :薄片的质量 ,难度等级 :2. 答案:153.20分析 :密度函数为被积函数 .积分区域为曲线所围 .故222 221153(1)(1).20xDxMx dxdydxx dy12. 设 积 分

9、 曲 面是 球 面222:2,xyzaz则 曲 面 积 分222()_ _ _ _ _ .xyzd S知识点 :对面积的曲面积分 ,难度等级 :2. 答案:48.a分析:由于投影面有重叠 .需将球面分为上下两个半球面计算.12,1:222,zaaxy222 2:.zaaxy在曲面上被积函数等于2,az计算合并化简得二重积分2222422248.xyaaadxdya axy重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1 页 共 1 页重庆大学2015 版试卷标准格式三、计算题 (每小题 6 分,共 24分) 13. 求初值问题00430,6,10xxyyyyy的解. 知识点 :二阶线性常系数微分方程的

10、初值问题,难度等级 :1. 分析:求特征根 ,写出通解 ,再求特解 . 解 : 特征方程为2430,其根121,3,故通解为123.xxyCeeC代 入 初 值 条 件 可 解 得124,2.CC从 而 特 解 为342.xxyee14. 求幂级数2211( !) (2 )!nnnx n的收敛域 . 知识点 :幂级数的收敛域 ,难度等级 :2 分析:比值法.并讨论端点的敛散性 .解: 2232221(1)!)(22)!limlim1( !)4 (2 )!nnnnnx xnnx n2.x当2x时,221221111( !)( !) 2(2 )!2(2 )!(2 )!(21)!nnnnnnxnnn

11、nn通项极限不为 0故发散 . 幂级数2211( !) (2 )!nnnx n的收敛域为2.x15.过两平面0134zyx和025zyx的交线作一平面过点(1,1,1),求该平面方程 . 难度等级 ：2；知识点：空间解析几何. 分析： 写出过已知直线的平面束方程. 解： 设所求的平面方程为431(52 )xyzxyz(1) 将点)1 ,1 , 1(代入(1)得57.将57代入(1)得所求的平面方程为233226170xyz. 16. 计算2(),Izx dydzzdxdy其中是抛物面)( 2122yxz介于0z及2z之间的部分的下侧 . 知识点 :对坐标的曲面积分 . 难度等级 :3 分析:直

12、接计算 ,化曲面积分为二重积分 . 解 : 首先,计算2(),zx dydz其中12,2 1:2,xzy前侧; 2 2:2,xzy后侧. 2()zx dydz22yz( 2,2)(2,2)yzo重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1 页 共 1 页重庆大学2015 版试卷标准格式12()zx dydz2)(2dydzxzyzyzDDdydzyzzdydzyzz)(2()2(22222222 22222224 .yzDyzy dydzdyzy dz其次,22 2220011()()4 .22 xyDzdxdyxydxdydrrdr于是,8 .I四、解答题 (每小题 6 分,共 12分) 17设

13、曲线积分Ldyxxxfdxxyf2)(2)(在右半平面)0(x内与路径无关,其中( ),(1)1,( ).f xff x可导 且求知识点 :对坐标的曲线积分 ,积分与路径无关 ,微分方程 . 难度等级 :2 分析: 利用积分与路径无关的条件得微分方程. 解:由积分与路径无关的条件知: 2( )2( ),yf xxf xxyx即有1( )( )1.2fxf xx解上面的微分方程得3212( )().3f xCx x将1)(xf代入上式得1. 3C所以11( )(2 ).3fxx x18设为不自交的光滑闭曲线 .求sin().gradxyzdr知识点 :梯度,曲线积分向量表示 .难度等级 :2 分

14、析: 斯托克斯公式解: . 记是以为边界的任意光滑曲面,其正侧与的正向按右手法则确定 .应用斯托克斯公式 .可得. 五、证明题 (每小题 6 分,共 12 分) 19设函数zf x y( , )在Pxy000(,)处有连续的偏导数 .证明它在P0处沿等值线的切线方向的方向导数为零. 知识点 :等值线 ,方向导数 ,难度等级 :2 分析 :等值线( ,)fx yC上一点000(,)Pxy处的法向量为(,),xyff所以切向量为(,).yxff由方向导数的计算公式0zz aa即可得到结sin()cos()()gradxyzxyz ijksin()cos()()gradxyzdrxyz dxdydz

15、0000dydzdzdxdxdy重庆大学高等数学（工学类）课程试卷第 1 页 共 1 页重庆大学2015 版试卷标准格式论. 证明 :函数zfx y( , )的等值线( , )f x yC上一点Pxy000(,)处的法向量为(,),xyff所以切向量为(,).yxaffzfx y( , )沿此方向的方向导数为0(,) (,)0.yx xyffzz affaaa20. 设)(xf在 点0x的 某 一 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数 .且0( )lim0. xf x x证明级数11nnf绝对收敛 . 知识点 :极限,泰勒中值定理 ,比较判别法 .难度等级 :3 分析:由已知 0( )l

16、im0 xf xx可得(0),(0)ff,利用泰勒中值定理建立函数( )f x与零点间的关系 . 证明:1. 0( )lim0 xf xx00( )(0)lim( )lim0. xxf xff xxx00()(0)( )(0)limlim0. xxfxff xfxx由泰勒中值定理 .存在1(0,),n使得2111()(0)(0)( ).2ffffnnn211()( ).2ffnn2.又)(xf在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数.故存在0,M使得( ).fxM2211(). 22MfM nnn级数11nnf绝对收敛. 六、应用题 (每小题 8 分,共 16分)21. 在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？知识点 :质心,难度等级 :2 分析:根据已知条件建立恰当坐标系.要求可得一