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1、武汉理工大学武汉理工大学 20142014 年数学建模课程论文年数学建模课程论文题目：金属板切割问题金属板切割问题姓名：学院： 专业：学号：选课老师： 年 月 日目录摘要.1一 、问题的重述.2二、 问题的分析.2三、数学建模和问题求解.33.1 模型假设：.33.2 符号说明：.33.3 问题求解.4四、批注.7五、结果分析和检验 .7六、模型的优缺点 .7七、结论 .8八、附录.8摘要摘要金属板切割问题是工厂生产中的一个大问题，它往往涉及到原料的使用总量和切割过程的生产费用。而本题中的金属板切割问题要求我们以订单所需小金属板的数量和尺寸为限制条件，对切割方式进行设计，通过数学建模来达到原料
2、最省这一目的，不考虑不同切割方案所带了的切割成本不一样这一因素。我先通过穷举的方法找到所有可能性，在所有可能性中保留最优的可能性。以这些可能性的方案为基础，以订单中小金属板的尺寸和数量为限制因素，将题中订单需求转化为求解金属原料此目标函数的约束条件。由于每种方案不同，导致不同的分配方式会有不同的时间开销。本文建立的数学模型对最少材料成本下的方案分配问题进行了研究。本问题中首先找出所有可能的切割方案，再以消耗的总金属板为目标函数，最后使用 matlab 对目标函数求最优解得出最终结果，最后通过计算检验证明，该模型求解出的切割方法和题目的要求是完全符合的。关键词：穷举法 转化 非线性 检验1一一
3、、问题的重述、问题的重述在一个金属板加工车间内将要从尺寸为48分米96分米的大块矩形金属板上切割下小块的金属板。此车间接到订单要求为：生产8块大小为36分米50分米的矩形金属板，13块大小为24分米36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米30分米的矩形金属板。这些金属板都需要从现有的大块金属板上切割下。为生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大块金属板？2、问题的分析问题的分析根据题目可知，即将原料 36 分米50 分米的矩形金属板切割成 36 分米50 分米的矩形金属板，13 块大小为 24 分米36 分米的矩形金属板，以及 15块大小为 18 分米30 分米的矩形金属板四种样
4、式的产品。由于题中所涉及数据量较少，因此因此我们可以先用穷举法找到所有可能且合理的切割方法，然后只需建立一个简单的非线性规划模型，求解目标函 Z 最优解即可。 在求解目标函数最优值的时候，根据订单所需的各项指标，采用原料使用量最少原则，以达到工厂经济效益的最大化2三、数学建模和问题求解三、数学建模和问题求解 3.1 模型假设：模型假设：1不使用切割后的余料2每次切割都很精确，不会出现意外而使金属板报废3忽略金属板切割线上的损耗4不考虑切割方式增加所带来的成本成本增加。作为简单的直线切割问题，5没有另外增加的订单3.2 符号说明：符号说明：Xi： 选用第 i 种方案的个数MinY： 使用大块金属
5、板的个数A：36 分米50 分米产品 B：24 分米36 分米产品C：18 分米30 分米产品 3.3 问题求解问题求解 3.3.1 分析找出所有的可能解决方案：分析找出所有的可能解决方案：方案123456789 A111000000 B120321401 C10334618633.3.2 构造方程1.变量变量 用 Xi 表示按照第 i 种方案（i=1 2 3.9）切割的原材料金属板的个数。 2.目标目标 以消耗的的大金属板个数最少为目标函数，则可得：MinY=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9订单条件订单条件 按照订单要求，按方案表应有：X1+ X2+X3=8X1+2X2
6、+3X4+2X5+X6+4X7+X9=13X1+3X3+3 X4+4X5+6X6+X7+8X8+6X9=15模型求解模型求解设 X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7、X8、X9 分别表示按照上述 9 种方案所用的大金属板块数，则：MinZ=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9X1+ X2+X3=8X1+2X2 +3X4+2X5+X6+4X7+X9=13X1+3X3+3 X4+4X5+6X6+X7+8X8+6X9=15Xi=0,j=1,2,3,8,9即按照模式 1,2,3,4,5,6,7,8 切割原材料金属板，使用的原材料数最少为10 张。结果表明：应该按第一个方案切 5 块
7、，第二个方案切 3 块，第三个方案切 1 块，第四个方案切 1 块，其他方案不接受。此时最佳，即最少可以使用 10块大金属板。4四、批注四、批注（1）X 后面的数字为下角标，前面数字为系数。（2）方案中颜色最深的代表 36 分米50 分米的矩形金属板,颜色第二深的代表 24 分米36 分米的矩形金属板，颜色最浅的代表 18 分米30 分米的矩形金属板五、结果分析和检验五、结果分析和检验 由运算结果可知，将 17 块金属板材分别用模式 1、2、3 进行切割，最终可得：12 块 A 型板，15 块 B 型板，9 块 C 型板，20 块 D 型板，虽然部分产品型号超过了订单需求，而使超过需求的部分成
8、为废料，但如此规划切割模式，仍然能使所用大金属板的数量达到最小。 在实际生产当中，成型的板材废料比切割过程中出现的边角废料的可利用率更高。因此，该模型求解结果依然具有较强的现实意义。 六、模型的优缺点六、模型的优缺点 模型优点：模型优点：1 在建立过程中，充分考虑了在解决此问题当中的工业生产的实际意义，确立了以所用原料大金属板最少的目标函数，使模型的大体方向正确，利于解决实际问题。 2 在类似的其它工业生产中，此模型也可使用。模型的缺点：模型的缺点：1 对于一个二维的非线性规划问题，如果题目要求更复杂，要考虑的因素非常之多，很难采用穷举法将所有可能的情况全部举例说明，而且在这种情况下很有可能遗
9、漏一些情况。2 因此，对待更加复杂的非线性规划问题，应该采用模型约束条件来限制目标函数。5七、结论七、结论 由运算结果可知，将 8 块金属板材分别用方式 3 进行切割，最终可得：8块 A 型板，16 块 B 型板，16 块 C 型板。多出了 3 块 B 型板和 1 块 A 型板。虽然部分产品型号超过了订单需求，但是我们根据严格的节约成本的原则，已经做了优化的选择。这个题目充分显示了，数学建模在实际应用中强大的生命力。八、附录八、附录 minz=1 1 1 1 1 1 1 1 1 a=1 1 1 0 0 0 0 0 0;1 2 0 3 2 1 4 0 1;1 0 3 3 4 6 1 8 6 b=8 13 15 lb=zeros(9,1) x,y=linprog(minz,-a,-b,lb)minz =111111111a =1 1 1 0 0 0 0 0 01 2 0 3 2 1 4 0 11 0 3 3 4 6 1 8 66b =81315lb =000000000Optimization terminated.x =0.00006.50001.50000.00000.00000.00000.00001.31250.0000y =9.3125
