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1、电子工程学院复数的应用:电磁学 流体力学 热学 弹性理论复数研究的发展:1545 年 ， 意 大 利 数 学 家 卡 丹 诺卡 丹 诺 （ Girolamo Cardano,1501年1576年）在大术一书中，首 先研究了虚数，并进行了一些计算。 1572年，意大利数学家邦别邦别RafaclBombclli,1525年 1650年）正式使用“实数”“虚数”这两个名词。 此后，德国数学家莱布尼兹莱布尼兹（Gottfried Wilbclm Lcibniz,1646 年 1716 年 ） 、 瑞 士 数 学 家 欧 拉欧 拉 （Leonhard Euler,1707年1783年）和法国数学家 棣莫
2、佛（Abrabam de Moivre,1667年1754年）等 又研究了虚数与对数函数、三角函数等之间的关 系，除解方程以外，还把它用于微积分等方面，得 出很多有价值的结果，使某些比较复杂的数学问题 变得简单而易于处理。复数研究的发展:大约在1777年，欧拉欧拉第一次用i来表示-1的平方根， 1832 年 ， 德 国 数 学 家 高 斯高 斯 （ Carl Fricdrich Gauss,1777年1855年）第一次引入复数概念，一 个复数可以用abi来表示，其中a，b是实数，i代表 虚数单位，这样就把虚数与实数统一起来了。高斯 还把复数与复平面内的点一一对应起来，给出了复 数的一种几何解释
3、。复数研究的发展:高斯欧拉主要内容:?复数和复变函数 ?解析函数 ?复变函数的积分 ?级数 ?留数 ?共形映射 ?场论教材参考教材第一讲第一讲复数域复数域 复数的几何表示复数的几何表示 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根复数域:每个复数具有z=x+iy的形式，其中x 、y R ，i 是虚数单位(-1的平方根)。 x和y分别称为的实部实部和虚部虚部，分别记作：如果 Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果 Imz0 ，那么称z为一个虚数； 如果 Imz0，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。zyzxIm,Re=212121,yyxxzz=复数相等：复数的四则运算复数的四则运算:?复数在四则运算这个代
4、数结构下，构成一个复数域复数域(对 加、减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以看成 实数域的扩张。)()()()(21212211bbiaaibaiba+=+)()()(122121212211babaibbaaibaiba+=+2 22 22112 2 22 221212211) )()( bababaibabbaa ibaiba +=+?加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律和分配律 均成立。共轭复数: iyxz+=,iyxz=互为共轭复数, zz =22yxz z+=,Re22zxzz=+ziiyzzIm22=2121zzzz+=+2121zzzz=2121 zz zz= 容易 验证设
5、、是两个复数，证明：1z2z21212121,zzzzzzzz=+=+11zz=222111,iyxziyxz+=+=证明：设)()(221121iyxiyxzz+=+则，)()(2121yyixx+=)()(2121yyixx+=212211zziyxiyx+=+=例1：)(221121iyxiyxzz+=则，)()(21212121xyyxiyyxx+=)()(21212121xyyxiyyxx+=212211)(zziyxiyx=111111ziyxiyxz=+=例1：例2 设、是两个复数，求证：1z2z),Re(2|212 22 12 21zzzzzz+=+)(|21212 21zzz
6、zzz+=+）（证明： ）（2121(zzzz+=21212211zzzzzzzz+=21212 22 1|zzzzzz+=)Re(2|212 22 1zzzz+=例3 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2为两个任意复数, 证明1 21 21 22Re().z zz zz z+=证1 21 211221122121221121212122112121 2()()()()()()()()2()2Re().z zz zxiyxiyxiyxiyx xy yi x yx yx xy yi x yx yx xy yz z+=+=+=+=或 1 21 21 21 21 22Re().z zz zz
7、zz zz z+=+=复平面:? 复数域C也可以理解成平面RxR，我们 称C为复平面复平面（z-平面，w-平面等）。 ?横轴称为实轴实轴；纵轴称为虚轴虚轴。一对有序实 数（x，y）平面上一点P复数 z = x + i y ?复数可以等同于平面中的向量。?向量的长度称为复数的模，定义为：?非零实轴之间的夹角称为 复数的辐角，记为：22|yxzr+=k=0,1, 2,zArg=),(yxozxyrcosrx =sinry =xyArgztg=)(kArgz21+=是其中的一个1+=在第负实轴当在虚轴上当在第三象限当在第二象限当在第一、四象限当zz2zarctanzarctanzarctanargx
8、yxyxyz?辐角主值argz满足-argz。?复数“零”的幅角没有意义，其模为零。复数的几种表示:复数的几种表示:非零复数的三角表示定义为：直角坐标定义为：()sincos)sin(cos|irArgziArgzzz+=+=iyxz+=非零复数的指数表示定义为：ireArgzzz=)exp(|利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。sincosiei+=将化为三角形式与指数形式()() ()()iiiiz223223 +=()()()i21 23ii23 212i2i32i2i31 2222 = += +=z：解例4：1=z6)33arctan(arg=z;1 2i2i32i2i3 2
9、= + =z：解()() ()()42624262223223+=+nnmmiiiiArgz()() ()()6223223arg=+ iiiiz62652=+=ll()6)33arctan(3arg=+i()6)33arctan(3arg=i()4) 1arctan(22arg=+ i()4) 1arctan(22arg= i复数运算的几何含义：复数运算的几何含义：?平 面 上 一 矢 量与一复数z构 成一一对应 ?复数的加减与 矢量的加减一 致。2z1z021zz +21zz 2z2z1z2z关于两个复数的和与差的模，有以下不等式： |) 1 (2121zzzz+、 | )2(2121zz
10、zz+ | ) 3(2121zzzz+ | )4(2121zzzz |Im| |,|Re| )5(zzzz zzz=2|)6(复球面与无穷大:球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。zP对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。NzPZ平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个 纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点。无穷远点:若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点扩充复平面 复平面L,=zz+=约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没
11、有意义；另外 , 0,等也没有意义。复数相乘:),sin(cos1111irz+=设)sin(cos2222irz+=)sin)(cossin(cos22112121iirrzz+=)sin()cos(212121+=irr定理2121zzzz=)()()(2121zArgzArgzzArg+=注意注意多值性多值性复数的乘幂与方根：)( 2121212121+=iiierrererzz)( 2121212121nni ni nii n errrerererzzz+=LLLL多个复数相乘：01z1 12 2zzzz =1 12 2zzzz=1 12 2Arg Arg Argzzzz+=,1212
12、 zzzz=12 12Arg- Arg Argzzzz=)(121212=ierr zz或者复数相除:n个相同复数z的乘积成为z的n次幂nz)sin(cosninrzzzznn+=L复数的方根复数的方根设irez=为已知复数，n为正整数，则称满足方程zwn=的所有w值为z的n次方根，并且记为nzw =复数的乘幂复数的乘幂设,iew =则iinnree=rn=iinee=,nr=,2kn+=L, 2, 1, 0=k即,nr=,2 nk+=L, 2, 1, 0=k)2sin2(cos12nkinkrerwnnkin+=+?可以看到，k=0,1,2,n-1时，可得n个不同的值， 即z有n个n次方根。
13、它们模相同，辐角相 差一个常数，均匀分 布于一个圆上。1w2w3w4w5woxy平面Z5=n例5、求所有值：解：由于4)1 (i+)4sin4(cos21ii+=+ 所以有)24(41sin)24(41cos2)1 (84kiki+=+)216sin()216cos(2)1 (84kiki+=+3 , 2 , 1 , 0=k有四个根。16sin16cos28 0i+=169sin169cos28 1i+=1617sin1617cos28 0i+=1625sin1625cos28 0i+=作业第31页 第1；2；14题Its The End！ Thank you！Complex Function TheoryDepartment of SEE
