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1、动力学（ MADE BY 水水）13 解：运动方程：tanly，其中kt。将运动方程对时间求导并将030代入得34coscos22lklklyv938cossin2232lklkya16 证明：质点做曲线运动，所以质点的加速度为：ntaaa, 设质点的速度为v，由图可知 : aavvyncos，所以 : yvvaan将cvy，2nva代入上式可得 cva3证毕17 证明：因为n2av， vaavasinn所以： va3v证毕110 x y o anavyvtay z o anax 解：设初始时 ,绳索 AB 的长度为L,时刻t时的长度 为s,则有关系式：tvLs0，并且222xls将上面两式对
2、时间求导得：0vs，xxss22由此解得： xsvx0（ a）(a)式可写成：svxx0，将该式对时间求导得：2 002vvsxxx(b) 将(a)式代入 (b)式可得：322 022 0 xlvxxvxax（负号说明滑块A 的加速度向上）取套筒 A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：gFFammN将该式在yx,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：NFFymFmgxmsincos其中：2222sin,cos lxllxx 0,322 0yxlvx将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：2 322 0)(1)(xlxlvgmF111 ovFNFgmy A xO AvA
3、 xO BvB R 解：设 B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以RvB，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即：cosABvv（a）因为xRx22 cos （b）将上式代入（ a）式得到A点速度的大小为：22RxxRvA （c）由于xvA， （c）式可写成：RxRxx22，将该式两边平方可得：222222)(xRRxx将上式两边对时间求导可得：xxRxxRxxx2232222)(2将上式消去x2后，可求得：22242)(RxxRx(d) 由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为22242)(RxxRaA取套筒 A为研究对象，
4、受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：gFFammN将该式在yx,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：mgFFymFxmNsincos其中：xRx xR22 cos,sin , 0,)(22242 yRxxRxxAvA O NFB R gmFy将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得25 25 )(, )(225222242RxxRmmgF RxxRmFN113 解：动点：套筒A；动系： OC 杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理reavvv有：eacosvv，因为 AB 杆平动，所以vva，由此可得：ecosvv，
5、OC 杆的角速度为 OAve， coslOA，所以 lv2cos当045时， OC 杆上 C 点速度的大小为： lavlavavC245cos02115 解：动点：销子M 动系 1：圆盘动系 2：OA 杆定系：机座；运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动avevrve1ve2vr2vr1vx 牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有r1e1a1vvv，r2e2a2vvv由于动点M 的绝对速度与动系的选取无关，即a1a2vv，由上两式可得：r1e1vvr2e2vv(a) 将（ a）式在向在x 轴投影 ,可得：0 r20 e20 e130cos30sin30sinvvv由此解得：smbOMvv
6、v/4 .0)93(30cos30sin)(30tan)(30tan020120 e1e20 r232. 02e2OMvsmvvvvM/529.02 2r2 e2a2117 解：动点：圆盘上的C 点；动系： O1A 杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动（平行于O1A 杆） ；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有reavvv（a）将（ a）式在垂直于O1A 杆的轴上投影以及在O1C 轴上投影得：0 e0 a30cos30cosvv，0 r0 a30sin30sinvvRvvae，Rvvra，5.0 2O1e 1RRCvavevrv根据加速度合成定理有Caaaaarn
7、 et ea（b）将（ b）式在垂直于O1A 杆的轴上投影得Caaaa0n e0t e0 a30sin30cos30sin其中：2 aRa，2 1n e2Ra，r12vaC由上式解得：2t e 11232Ra119 解：由于 ABM 弯杆平移，所以有MAMA,aavv取：动点：滑块M；动系： OC 摇杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理reavvv可求得：m/s2222eabvvvvAM，m/s2erbvv，rad/s324 5 .12211AOvA根据加速度合成定理Caaaaaarn et en at a将上式沿Ca方向投影可
8、得：aat ean earaCaavevrvn aarat aaCan eat eaCaaaat e0n a0t a45sin45cos由于22 1n am/s316la，2t em/s1ba，2 rm/s82 vaC，根据上式可得：2t a231527 316s/m.a ，2t a 1r ad / s1610. la1-20 解：取小环M为动点， OAB杆为动系运动分析绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，其中：rrOMv260cos0e根据速度合成定理：reavvv可以得到：rrvv3260tan2tan0
9、 ea，rvv4 60cos0e r加速度如图所示，其中：2 02 2 e260cosrrOMa ，2 r82rvaC根据加速度合成定理：Caaaarea将上式在 x轴上投影，可得：Caaacoscosea,由此求得 ：2 a14ra121 avM O A B rvev x CaaaM O A B ra ea解：求汽车B 相对汽车A 的速度是指以汽车A 为参考系观察汽车B 的速度。取：动点：汽车B；动系：汽车A（Ox y） ；定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动（汽车A 绕 O 做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理reavvv将上式沿绝对速度方向投
10、影可得：reavvv因此aervvv其中：AA BBRvRvvv,ea，由此可得：m/s9380 rBA ABvvRRv求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有：22 rn rrm/s78. 1BRvaa1-23 质量为m销钉 M由水平槽带动，使其在半径为r的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速 v向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。解：销钉M上作用有水平槽的约束力F和圆槽的约束力OF（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。O xye
11、vavrvyxn raO M rO vgmOFM rO vgmF根据速度合成定理有reavvv由此可求出： coscose avvv。再根据加速度合成定理有：reaaaa由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以0ea，并且上式可写成：rn at aaaa因为222 an acosrvrva，所以根据上式可求出: 32 n at acossintanrvaa。根据矢量形式的质点运动微分方程有：gFFaammO)(n at a将该式分别在水平轴上投影：cos)cossin(n at aOFaam由此求出：42cosrmvFO1-24 图示所示吊车下挂一重物M ，绳索长为l，初始时吊车与
12、重物静止。若吊车从静止以均加速度a沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物 M为动点。根据质点相对运动 微分方程有erFgFamm将上式在切向量方向投影有cosFsinmgmlmat re因为,eemamaFddddddddtt，所以上式可写成raevavrvM rO n aaM rO t aaaM teagmeFFcossinddmamgml整理上式可得dcosdsindagl将上式积分：caglsincos22其中c为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度lvr，上式可写成caglvsincos22 r初始时0，系统静
13、止，0eavv，根据速度合成定理可知0rv，由此确定gc。重物相对速度与摆角的关系式为：sin)1(cos22 raglv1-26 水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8 ） ，初始时小球相对静止且到转轴O 的距离为OR，求小球到转轴的距离为ORR时的相对速度。解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有：CmFFFaer将上式在rv上投影有cos ddert rFtvmma因为2 emRF，tR Rvtvdd ddddrr，cosdd rvtR，所以上式可写成R Ro O CFeFR Ro F rv
14、O cosddcos2r rmRRvmv整理该式可得：2r rddRRvv将该式积分有：cRv222 r2121初始时ORR,0rv, 由此确定积分常数22 21ORc，因此得到相对速度为22 rORRv1-27 重为 P的小环 M套在弯成2cxy形状的金属丝上， 该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度 转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。解： 取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为0ra，因为金属丝为曲线，所以0rv，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中 PFF,e分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方
15、程有：0ePFF其中：2 eygPF，将上式分别在yx,轴上投影有0cos0sineFFFP（a）以为 xyddtan， xcy2 ,22ddxcxy, 因此22 tanxc（b） 由（ a）式可得etanFP（c）xyM xyM FeFP将2 eygPF和式（ b）代入式（ c） ，并利用2cxy，可得：312231 24 ,gcygcx再由方程（ a）中的第一式可得34 24421111 gcP cxP tanP sinPF2-1 解：当摩擦系数f足够大时，平台AB 相对地面无滑动，此时摩擦力NfFF取整体为研究对象，受力如图，系统的动量：r2vpm将其在x轴上投影可得：btmvmpx2r
16、2根据动量定理有：gmmffFFbmtpNx)(dd212即：当摩擦系数 gmmbmf)(212时，平台AB 的加速度为零。当摩擦系数 gmmbmf)(212时，平台AB 将向左滑动，此时系统的动量为：vvvp1r2)(mm将上式在x轴投影有：vmmbtmvmvvmpx)()()(2121r2根据动量定理有：gmmffFFammbmtp Nx)()(dd 21212由此解得平台的加速度为：fgmmbma212（方向向左）2-2 取弹簧未变形时滑块A 的位置为x 坐标原点， 取整体为研究对象，受力如图所示 ,其中 F为作用在滑块A 上的弹簧拉力。系统的动量为：)(r111vvvvvpmmmm将上式在x 轴投影：)cos(1lxmxmpx根据动量定理有：vrvNFFg1mg2mx NFgmg1mFx vrvkxFlmxmmtpxsin)(dd2 11系统的运动微分方程为：tlmkxxmmsin)(2 1124 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为vtm，提起部分的速度为v，根据点的复合运动可
