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1、物理学报第 51 卷 第 7 期 2002 年 7 月 100023290200251 (07) 1467208Vol . 51 ,No . 7 ,J uly ,2002 2002 Chin. Phys. Soc .ACTA PHYSICA SINICA扩展的纽结量子引力态邵常贵1)肖俊华1)亮2)丹2)陈贻汉1)潘贵军1)邵邵1) ( 湖北大学理论物理研究所 ,武汉 430062)( Department of Physics , Ibaraki University , Mito 310 , J apan) (2000 年 6 月 19 日收到 ;2001 年 8 月 13 日收到修改稿)
2、2)给出了微分同胚群的表示 . 以扩展的 Gauss 不变量 G 和 Jones 多项式第二个系数 J 2 为基本片段 ,构造了满足22齐次微分同胚约束 ( D2约束) 的扩展 knot 不变量引力态 G 3 J 2 , ( 3 J 2 ) 和 ( 3 G) 3 J 2 . 得到了它们的具体表式 ,并通过具体计算 ,给出了它们满足齐次 D2约束的证明 .关键词 : 微分同胚约束 , 扩展 knot 不变量 , 量子引力态PACC : 0460无限维多重切场 X () 的集合 ,在圈表象中 ,是同圈本身一一对应的 :11 引言X () : = X , X () , X () ,11 2基于 As
3、htekar 新变量 1 ,2 的正 则 非 微 扰 量 子 引力理论的研究中 ,寻找量子引力态是目前关键的问 题之一. 这种引力态要求满足所有的约束方程. 特别地 ,首先要求在微分同胚群作用下的 D2约束作用其 上为零 . 而在量子引力的圈表象中 , D2约束是通过 考虑态空间中微分同胚 ( diff) 群的一个线性表示来定义 的 3 . 在 圈 表 象 中 , 态 函 数 是 圈 的 泛 函 . 而knot (纽结) 不变量亦正好是 diff 不变量的圈泛函 . 于是 ,可将 knot 不变量作为量子引力态的理想候选 者 4 ,5 . 本文先讨论圈表象中的 diff 群的表示 ,接着 引入
4、在其下不变的 knot 不变量. 由于 knot 不变量作为非微扰量子引力态具有局限性 ,我们着重探讨扩 展的 knot 不变量 . 本文利 用 星 乘 积 “ 3 ” 6 , 以 扩 展X1n () , ,式中 i = ( ai , xi ) ,矢量分量指标 ai = 1 ,2 ,3 . 空间位置坐标 xi . 考虑其基点 o 被固定的,当 经受微分 同 胚 xa x a = Da ( x) 时 ,有圈 = D () . 此时 可求 得圈上的多重切场的变换式为aan9 x1 19 xn 1 1 a xa xn n ( D) =X 1 i9 xb9 xbJ ( x )J ( xn )1n11n
5、Xb xb xn n () ,(1)1 1式中 J ( x) 为 J acobian 变换式 . 引入矩阵 D ,其分量 D1 n n , mD1Dn, 1 m1n19 Da( x )ay- 1( x - D ( y) )且D bx=bJ ( x) 7 ,8 9 x的 Gauss 不变量 G 和 Jones 多项式第二个系数J 2 为基本片段 ,构造了三个扩展 knot 不变量引力态a ( ) = 9 Dx ( D ( x) - y) .(2)b9 x22G 3 J 2 , ( 3 J 2 ) 和 ( 3G ) 3 J 2 . 求得它们的具体 表式并用具体计算证明了它们满足微分同胚群下的 齐次
6、 D2约束.将 (2) 式代入 (1) 式 ,得 1 nX ( D) =6 X () .(3)1 n1 mD1 m = 1m 8 利用 Einstein 广义的求和约定, (3) 式又可写为X ( D) = D X () .21 微分同胚群的表示(4)由 (4) 式知 , 定义在两个微分同胚圈上 的 多 重 切 场X ( D) 和 X () 是由与圈无关的线性变换 D 联系起来的 ,而且由多重切场的多重矢量性质可以知道 , D 是微分同胚群的一个无穷维线性表示 .2111 线性表示将 Ashtekar 引力的时空流形 M 做 “3 + 1” 分解 ,三维空间流形记为 . 令 为圈 ,则 上一个
7、协变矢量 g = ( g, g ,) 表示出来 ,即2121 非平庸线性表示11 ng (Y1 + Y2 ) = g ( Y1 ) + g ( Y2 ) .若 g 进一步具有性质 g = g T ,则该性质在 diff 变换下不变 ,当 g 是协变不变量多重切场 X 包含了所有与圈有关的信息 ,可考虑作为圈 坐 标 , 但 它 不 是 独 立 的 量. 用 来 构 造 knot 态 ,它应满足下述代数约束和微分约束 :- 1(11)g = g L= gDp ( , , ) 6 X k 1 nk X X 1k k +1 n=X 1n ,k +1时 ,物理量 () = g ( Y1 () Yn (
8、) ) ,(12)在 diff 变换下为pk(5),k 在所式中 Pk 为对连续 k 个 ( 广义) 指标 1 ,( )= g ( Y 1 ( ) Y n ( ) ) .有指标中做双重保持指标次序的所有置换 , 将 (10) 和 (11) 式代入 ( 12) 式 ,可得 ( ) = () .这表明 () 是 diff 不变量 ,换言之 ,() 是一个knot 不变量. 我们所知道的最简单的 knot 不变量是9 9 X 1a X 1 i ni n i9 xi i( xixi - 1 ) - ( xixi + 1 )=- Gauss 不变量 G () = g G ( Y1 () Y2 () )
9、= g 1i - 1i +1nX,(6)1 2Y 1 () Y 2 () ,若用 上的多重切场表示 ,则为式中点 xi - 1 , xi 与 xi + 1 ,当 i = 1 或 i = n 时 ,点xo 和 xn + 1 均为圈的基点 o .我们将满足微分约束所有矢量 W 构成的线性 空间记为 w ,将满足齐次微分约束所有矢量 V 构成 的线性空间记为 v ,它们之间有如下关系 :12 () .G ()(13)=g X 1 23121 扩展的 knot 态将多重切场 X () 一 般 化 为 一 般 的 场 X , 那么 ,相应的 knot 不变量就变为扩展的 knot 不变量 .利用多重切场
10、 , (13) 式应为(7)(8)V = T W ,W = V ,ax ax式中 T 为横向投影算子 (T = by - b , y , 为描述 场发散性的函数) ,为非对角矩阵 9 . 由前述内容 可知 , w 中的元素满足下列变换 : G= g X 1 2 . 1 2 常见的作为量子引力态的扩展的 knot 不变量还有Jones 多项式的第二 、 三个系数 :(9)W = D W .将 (7) 和 (8) 式代入 (9) 式 ,得V = T W = TD W = TDV式中 L D = T . J 2= g g X 1+h X 1 3 ,4 1 3 2 41 2 3= ( h g h -h
11、 g h )J 3= L DV ,1 2 3 41 4 2 3X1+ g4X1 5h(13245 ) c由于 w 空间和 v 空间存在一个同构关系 ,所以L D 也是微分同胚群的一个表示 , 不过这个表示是 由 的性质决定的 ,对于 knot 不变量引力态而言 , 是个非平庸无穷维表示 . 令 y 是 v 的一个子空间 ,其 中所有的元素 Y 均满足齐次代数约束 ,则 Y 亦有下 列变换性质 :+ (2 g g g 1 4 2 5 3 61 g ( c ) X ,+g g )1 6 21 32 5 4 6分别为 Chern2Simons 理论中的两点式中 gh 1 2 1 2 3传播子和三点传
12、播子 .( Y 1 Y n ) = L D ( Y1 Yn ) , (10) 41 构造的扩展 knot 态的具体表式Y 为正规化的横向场 , y 为微分同胚群的非平庸无穷线性表示空间.以 G , J 2 为基本片段 , 引入星乘积 “ 3 ”, 构造231 扩展的 knot 态出了混合 的 扩 展 的 knot 不 变 量 G 3 J 2 , ( 3 J 2 ),2( 3G) 3 J 2 作为量子引力态候选者 , 下面给出具 体结果.对于 G 3 J 2 ,其构成如下 :3111knot 不变量14697 期邵常贵等 :扩展的纽结量子引力态14717 期邵常贵等 :扩展的纽结量子引力态147
13、37 期邵常贵等 :扩展的纽结量子引力态第二项 g ax gbx + ( g g g g +152 3 5 6 2 6 3 5( bx )Fab 1 I2 X=F -E ,(28)27 c)+ ( g g +g g g ax gbx g g 2 5 3 6 142 5 4 62 4 5 6式中F = -+) g+ ( gg+ggggg ax bx 2 ( g g 2 6 4 5 133 6 4 53 5 4 6+g g 1 4 2 31 3 2 4( bx16 ) cg g ) g ax gbx X, g g ) g ax gbx + ( g 3 4 5 6 13g 1 2 2 4 561 32 5第三项 g g g g ) g ax gbx + ( bx )(29)1 5 2 3 1 2 3 5 46Fab 1 2 G2 X= - F ,3 8 c + ( g g g g g g )+第四项1 3 2 6 1 6 2 3 1 2 3 6 ( bx ) g ax gbx + ( g g g
