运用基本不等式解最值问题的变形技巧

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1、1运用基本不等式解最值问题的变形技巧运用基本不等式解最值问题的变形技巧谷城县一中 明昌文(441700) 运用基本不等式求最值是高中数学中常用方法之一，在使用时应注意基本不等式成立的条件“一正， 二定，三相等”.在解题的过程中，往往不能直接套用公式，即出现“变量是负数” ， “和（或积）不是定 值” ， “等号取不到”等情形，这时该怎么办？下面谈谈怎样变形才能运用基本不等式求解最值问题的常 见方法 一. 变量为正数时， “若和为定值，积有最大值；积为定值时，和有最小值”.当和（或积）不是常数 时，可以用凑项法，配系数法，拆项法，平方法，纳入根号法，取倒数法等 1拆项例 1 求函数的最小值)0(

2、632xxxy解：93333333322xxxxxxy当即时，等号成立xx3321x当时，1x9miny 2裂项例 2 设，求函数的最小值1x1)2)(5( xxxy解：9514) 1(251411 1) 1(4) 1(xxxxxxxy当即时，等号成立141xx1x当时，1x9miny 3添项例 求函数的最小值22 2163xxy解：6386216)2(326216)2(322 22xxxxy当即时，等号成立22 216)2(3xx2334x当时， .2334xminy638放入根号内或两边平方例 求函数的最大值) 10(122xxxy解：392)3122( 4)1 (2241 (132222

3、22 2422 xxxxxxxxxxy）当即时，等号成立22 12xx36x当时，.36x392 maxy分子常数化例 求函数的最大值)0(4332 xxxy2解：1 4 2233 4 223 43 43322232 xxx xxx xxxxy当即时，等号成立24 2xx2x当时，.2x1maxy 取倒数例 已知且，求最小值Ryx,134yxyx2解：3241)3322(121322 12113 2 yxx yxxyx当时，等号成立yx32由得 13432yxyx 96yx当时， . 96yx324)(min2yx二在求最值中，当变量是负数时，先利用相反数将其转化为正数，再利用基本不等式及不等

4、式性 质来解决例 已知，求的最大值10 xxxylg4lg解：10 x0lgx0lgx4lg4)lg(2)lg4(lgxxxxy4y当即时，等号成立xxlg4lg1001x当时，1001x4maxy三在求解的过程中，有时会出现凑出了常数却取不到等号的现象，可用均拆法，待定系 数法及非基本不等式法（如单调性法，配方法）求解例 求函数的最小值2, 0(sin2 2sinxxxy解法一：，)sin4(sin21 sin2 2sin xxxxy设，则且在上为减函数 1 , 0(sintx)4(21 tty 1 , 0(当即时，1t2x25 miny解法二当时，10t3)1(21)4(21 ttttty

5、 21tt3当且仅当时，等号成立1t 33t 当且仅当时，等号成立1t 得：当且仅当时，等号成立54tt1t 即 25)4(21tt25y当即时，.1t2x25 miny总之，在利用基本不等式求函数最值问题时，需要根据函数解析式的结构特征与数字特点，进行一 定的变形与转化，为使用基本不等式解题创造条件，要注意等号成立的条件必须存在，否则不能运用基 本不等式求函数最值. . 个人简历个人简历 姓名姓名: :明昌文 性别性别: :男 出生年月出生年月: :1965.9 工作单位工作单位: :湖北省谷城县一中 职务职务: :教师 职称职称: :中学一级 邮编邮编: :441700 电话电话:13871609668