《第4讲 配方法和换元法的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4讲 配方法和换元法的应用（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 5 讲讲 配方法和换元法的应用配方法和换元法的应用内容提要内容提要换元法和配方法是两种常用的数学解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据 问题的特点，进行巧妙的换元或配方，可以收到事半功倍的效果。通常说的换元法 ,是把 一个未知的代数式子用一个字母来表示 ,从而使原问题得到简化 .但有时 ,也需要把问题中 的某个确定的常值用字母来代替 ,使问题获得巧妙的解答。所谓配方，就是把一个解析式 利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。热身练习热身练习 【A】组题组题1将二次三项式 x2+2x2 进行配方，其结果为 。 2方程 x2+y2+4x2y+5=0
2、 的解是 。 3已知 M=x28x+22，N=x2+6x3，则 M、N 的大小关系为 。4.分解因式:.1)1 (2)(2nmnm5.用换元法解高次方程.解方程:.3)4)(3)(2)(1(xxxx6.求下列代数式的最大或最小值： x2+5x+1； 2x26x+1 . 7实数 x、y、z 满足 x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则 z 的最大值是 .28. 已知且，求证：例题分析例题分析例 1. 已知实数，且满足，.则ba ) 1(33) 1(2aa2) 1(3) 1(3bb的值为（ ）.baaabb（A）23 （B） （C） （D）23213 例 2用换元法解分式方程和无理方程 (1)x
3、4+(x4)4=626.(2)；02772222xxxx(3).01742)2(322xxx例 3.解方程组: . 323,18yxyx例 4已知 a，b，c 都是整数，且，求的值24ab210abc abc3思维提升【B】组题1 的值等于 。212172232（A）5-4， （B）4-1， （C）5， （D）1222.计算:)20111 31 211)(20121 31 21(LL.)20111 31 21)(20121 31 211 (LL3若，则的最小值为 0a 0b 10ab2249ab4已知有理数 x，y，z 满足，求(xyz)2的值)(2121zyxzyx5若多项式加上一个单项式后
4、，能成为一个含有的完全平方式，求所有满足条24m m件的单项式6已知为实数，且满足，则xyz，253xyz25xyz 的最小值为( ). 222xyz（A） （B）0 （C）5 （D）1 1154 114【C】组题1. 已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长 为_。 A. 2 B. C. 5 D. 63142若的最大值为 a，最小值为 b，则的值为 .112yxx22ab. 3、已知：a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值. 4、已知：x= . 3819求：1582316262234 xxxxxx答案51
5、2。 3。MN，MN3) 1(2x 12 yx021)27(22x4设,则原式= =ynm1)1 (22yy1222yy= = =322yy) 1)(3(yy) 1)(3(nmnm5 原方程可化为: .3)3)(2()4)(1(xxxx即.设,则方程化为:3)65)(45(22xxxxyxx552.解得,. 当时,3) 1)(1(yy2y2y. 解方程,得.2552 xx2135x当时, .,2y2552 xx0Q方程无实数根. 因此,原方程的根为.2135,213521xx6解：x2+5x+1x2+2x+12 5225 425（x+）2.25 421（x+）20，其中 0 是最小值.25即当
6、 x=时，x2+5x+1 有最小值.25 4212x26x+1 2（x2+3x-）21=2(x2+2x+) 23 49 49212（x+）2+23 2112（x+）20，其中 0 是最大值，23当 x=时，2x26x+1 有最大值.23 2117 7：解：解： ，313zyx535)5(3)(32zzzzyxzxy x、y 是关于 t 的一元二次方程035)5(22zztzt6的两实根. ，即，0)35(4)5(22zzz0131032zz. ，当时，.故 z 的最大值为.0) 1)(133(zz313z31 yx313z3138证明：因为且所以设则：即例 1 答答：选（B）a、b 是关于 x
7、 的方程03) 1(312xx的两个根，整理此方程，得， ， ，0152 xx04255ba.1ab故 a、b 均为负数. 因此.232222 ababbaababbaabbaabab baaabb例 2（1）解：（用平均值 代换，可化为双二次方程.）24 xx设 y= x2 ，则 x=y+2. 原方程化为 (y+2)4+(y2)4=626. (y+2)2(y2)2)22(y+2)2(y2)2626=0 整理，得 y4+24y2297=0. (这是关于 y 的双二次方程). (y2+33)(y29)=0. 当 y2+33=0 时， 无实根 ； 当 y29=0 时， y=3. 即 x2=3， x
8、=5；或 x=1.（2)原方程可化为: . 02)1(72)1(22 xxxx设,则方程化为: . yxx106722yy7解方程,得.当时，. 解得,.23, 221yy21y21xx21x当时,. 解得,或.232y231xx21x2x经检验,知,都是原方程的解.211x212x213x24x所以,原方程的解为,.211x212x213x24x(3)原方程可化为:. 设,则方程化为:08742)74(322xxxxyxx742. 解方程,得.08232yy34, 221yy当时, . 解得,. 当时,21y2742 xx3, 121xx342y.此方程无解. 经检验,知都是原方程的解. 3
9、4742 xx3, 121xx所以,原方程的解为. 3, 121xx例 3 解:设,则原方程组可化为:vyux2,3. 3,1722vuvu)2() 1 (由(2)得,. (3)vu 3将(3)代入(1),得.17)3(22vv解得,(不能为负,舍去). .4, 121vv2y4u得解得, . 12, 43yx . 1,19yx经检验,知是原方程组的解. 119 yx所以,原方程组的解为. 119 yx例例 4 将代入，得 2b2+4b+c2=0，ba24210abc 1 b，c 都是整数， 只能取 22622cb ; 1, 011 cb ; 1, 022 cb ; 1, 233 cb，相对应
10、 a1=4，a2=4，a3=，a4=0故所求的值有 4 个：5，3， 1, 244 cbabc18 3例 5设，为互不相等的实数，且满足关系式abc14162222aacb及 ， 求的取值范围542aabca解法解法 1 1：由2得，所以2()24(1)0bca1a当时，1a222216142(1)(7)0bcaaaa又当时，由，得， ， ab221614caa245acaa将两边平方，结合得， 2222161445aaaaa化简得 ，故 ，3224840250aaa2(65)(425)0aaa解得，或所以，的取值范围为且，65a4211aa1a65a4211a解法解法 2 2：因为，所以14
11、162222aacb542aabc，)54(214162)(222aaaacb4842 aa2) 1(4a所以 ) 1(2acb又，所以，为一元二次方程542aabcbc054) 1(222aaxax的两个不相等实数根，故，0)54(4) 1(422aaa所以当时，1a1a222216142(1)(7)0bcaaaa另外，当时，由式有，ab054) 1(222aaaaa即，或，05242 aa056 a解得，或4211a65a9EABCDP所以，的取值范围为且，a1a65a4211aB 组 1：原式=+=，选2121728121)83()28(（D） 。2解:设,则x20121 31 211L
12、原式=)201211()20121)(1(xxxx=201220121 201222xxxxxx=.201213【解】5 5如图，作线段，作，垂足为，10AB ACABA且；作，垂足为，且2AC BDABB3BD 在线段上任取一点，有ABP10APPB设，则APaPBb10ab由勾股定理，可知，2224PCACAPa2229PDPBBDb所以2249abPCPD显然当三点共线时，最短，即最小CPD、PCPD2249ab连接，过点作，交的延长线于点，可得CDAAECDBDEAECD在中，RtABE225 5AEABBE2249abPCPD5 5CD 43, 2, 1zyx(xyz)22555 设满足条件的单项式为，则A当时，；4A 2244mm10当时，；当时，4Am 2244(2)mmm416mA 242 242164mmm、均满足条件 4A 4m4m416m可以证明满足条件的单项式有且仅有以上 4 个.6。 【答】D解：解：由 可得 253 25xyz xyz ， ，31 2.xz yz ，于是 22221125xyzzz因此，当时，的最小值为1 11z 222xyz54 11C 组 1 解：设长方体长宽高分别为 x,y,z，由已知“长方体的全面积为 11
