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1、电磁场第三次数值仿真2012/12/9wy2012 年秋季学期电磁场第三次数值仿真2电磁场第三次数值仿真电磁场第三次数值仿真1. 题目叙述题目叙述为了获得一定区域上的匀强磁场，可采用多组 Helmholtz 线圈结构。一种两对线圈的结构如图 1 所示。线圈半径a1，a2，线圈间距h1，h2，以及线圈中通过电流i1，i2可变化量，如图 1（a）所示。为了定量衡量关注区域的磁场均压程度，过轴线做截面ABo1o2，取CD=0.8AB和Eo1 = 0.8o1o2，在CD和Eo1线段上每边均匀取 20 采样点，从而形成如图 1（b）所示的采样节点，定义z方向 B 的不均压系数为：2.( )211()N
2、n zz nzBBN Bd=- =其中，为所有采样点的 z 方向磁感应强度平均值；为第 n 个采zB( )n zB样点的 z 方向磁感应强度值。N 为采样点总数。如给定 a1 = 1 m， i1=1 A，且 h1 0.2 m， 情况下，如果21/3ii 要使得达到最小，线圈半径 a2，线圈间距 h1，h2，以及线圈中通过电流i2 应如何取值？2h12h2a2a1i1i1i2i2orzo1o4o2o3i1i1i2i2zo1o4o2o3ABC DE2012 年秋季学期电磁场第三次数值仿真3(a)线圈结构示意图（b）磁场采样节点示意图2. 初步工作初步工作2.1.推导和计算直线电流元在任意观察点的磁
3、感应强度推导和计算直线电流元在任意观察点的磁感应强度电磁场课上曾讲过相关推导过程与运算结果。柱坐标系下，对于下图：在观察点 A 出的磁感应强度为：0012 122222 12(sinsin)44IILLB LL 在直角坐标系下，相应的公式是：0 34(coscos)4IB u v对于以上两个公式，在直角坐标系下，有：cos 4= |cos 3= |ACAPAC uuu ruuu r2012 年秋季学期电磁场第三次数值仿真4ACAPACAP uuu ruuu ruuu ruuu r相应的相应的 MATLAB 代码如下：（记得说只保留了代码如下：（记得说只保留了 Z 方向分量）方向分量）2.2.积
4、分法计算线圈组在其内任一点的磁感应强度积分法计算线圈组在其内任一点的磁感应强度要算线圈组在其内任意一点的磁感应强度 B，必须先知道一个载流圆线圈在空间任一点产生的磁场情况。建立空间直角坐标系，作图如下：对于空间任意观察点 P，有以下推导：= cos + sin = + = sin = cos = =( cos ) sin + 2= 2+ 2+ 2 2cos = (- sin + cos )2012 年秋季学期电磁场第三次数值仿真5=04 3=0420( - sin + cos ) ( cos ) sin + )(2+ 2+ 2 2cos )3 2=0420zcos + zsin +( cos
5、)(2+ 2+ 2 2cos )3 2进而得出：=0420( cos )(2+ 2+ 2 2cos )3 2相应 matlab 代码如下：*请简述你编的几个函数的功能请简述你编的几个函数的功能每个函数都要说，每个函数用每个函数都要说，每个函数用“*”隔开隔开2.3.数值法计算线圈组在其内任一点的磁感应强度数值法计算线圈组在其内任一点的磁感应强度一方面，考虑到用积分法计算磁感应强度，运算步数多，运算时间长；另一方面，我们已经得出了直流电流元在任意观察点磁感应强度的表达式，基于相关表达式与函数，我们能够较为容易的得出正多边形线圈组在其内任一点的磁感应强度，进而用正多边形代替圆，在误差允许的范围内，
6、进一步减少运算步数，缩短运算时间。在直角坐标系下，对于下图的正多边形（以正六边形代替）：2012 年秋季学期电磁场第三次数值仿真6它第 i 条边的起点坐标是（） ，终点坐标是cos ( 1),sin ( 1)（） 。cos (),sin ()利用 2.1 中已经得出的 calculate_b_line 函数，我们循环算出每条边在观察点的 B，并将其叠加，就得到边数为 M 的正多边形线圈组，在它们内部任意一点的磁感应强度。相应 MATLAB 代码如下：* function B=multi_solve_point(a,M,destinationpoint,h1,C)b=0;for i=1:M si
7、ta=2*pi/M;x1=a*cos(i-1)*sita);y1=a*sin(i-1)*sita);x2=a*cos(i)*sita);y2=a*sin(i)*sita);bn1=calculate_b_line(x1 y1 h1,x2 y2 h1,destinationpoint,C);bn2=calculate_b_line(x1 y1 -h1,x2 y2 -h1,destinationpoint,C);b=b+bn1+bn2;endB=b; *2012 年秋季学期电磁场第三次数值仿真7这种方法的优点是在精度要求不太高的情况下，能用 M 较小的正多边形来代替圆形，计算时间较短。缺点是本方法
8、精度较小，如果要提高精度，就必须要增加边数 M，进而计算时间会提高。现用单个线圈轴线上的 B 来讨论 M 取不同的值时，运算精度和运算时间时间的变化。理论计算公式是 ，来源于课件有关题目。 =022(2+ 2)3 2运算结果如下：边数 M10501001000数值结果 B1/T5.6610e-0075.5268e-0075.5227e-0075.5213e-007理论结果 B2/T5.5213e-0075.5213e-0075.5213e-0075.5213e-007相对误差2.5314%0.0991%0.0248%0%运算时间 t/s0.0032790.0038570.0052060.031
9、530上表的结果验证了数值法的优缺点。由表中数据可得，在边数 M=50 时，运算精度和运算时间都较好。因此，在之后的运算中，均用 M=50 的正多边形来代替圆。2.4.不均压系数不均压系数 的计算。的计算。我们现在已经得到两个线圈中任一点磁感应强度 B 的计算公式，下面只需按照题目要求进行取点，再代入公式计算 即可。利用对称法进行优化利用对称法进行优化宏观的看，求解区域中磁场分布是对称的。由对称法的思想知如果我们只取上半部分的点，运算量会相应减少一半，而最终结果不变。证明如下：证明如下：首先，在 CD 和 Eo1 线段上取点的个数均是偶数。令 N 是总点数 400，则有：= = 400 = 1
10、()=2 = 200 = 1()= = 200 = 1() 2= 12012 年秋季学期电磁场第三次数值仿真8=1 = 400 = 1() )2|=2 = 200 = 1() 1)2|1|=1 2 = 200 = 1() 1)2|1| = 1编写新函数 fun_half 用来计算不均压系数 。程序思路比较简单，主体就是一个用来计算所有点 B 的 for 循环。但是在初次编程中出现了错误，原因是求解区域是随着 h1 的不同而变化的，最开始的时候我们把 h1 固定化了。MATLAB 代码如下（只截取 for 循环和我们出错的地方）：*function d=fun_half(x)N=20;r=lin
11、space(0,0.8,N);ini=0.8*x(1)-1.6*x(1)/19*9;z=linspace(ini,0.8*x(1),N/2);B=zeros(N,N/2);for i=0:N-1for j=0:N/2-1 b=multi_solve_point(1,50,-r(i+1) 0 z(j+1),x(1),1)+multi_solve_point(x(4),50,-r(i+1) 0 z(j+1),x(2),x(3);B(i+1,j+1)=b; endend *自此，我们已经得到用来计算 的函数。下面的工作就是讨论，在h1,h2,a2,I2 为何值时，取得最小的不均压系数 。3.采用数值
12、法与采用数值法与 fmincon 进行优化进行优化考虑到实际情况下，我们更倾向于在短时间优化出一个较为满意的结果。考虑计算时间因素，我们选用正多边形模型和 fmincon 算法对原问题进行优2012 年秋季学期电磁场第三次数值仿真9化。目标是在误差允许的范围内，用较短的时间优化出较好的结果。使用x,fv,ef,out,lag,grad,hess=fmincon(fun_half,x0,A,b, v1,v2) 对原问题进行优化。 3.1.初步尝试初步尝试将优化程序编好之后，我们随机选定了一些初值和约束条件进行尝试，但是结果并不理想。例如，当初值和约束条件为：x0=0.2 0.8 -2.5 1.1
13、;v1=0.2 0.4 -3 0;v2=1 2 3 2;A=1 -1 0 0;b=0;迭代一定步数后，会出现中间变量 meanB=NaN 的情况，超出范围，无法计算。除此之外，某些初值和运输条件虽然可以得出结果，但是一方面迭代次数多，运算时间长；另一方面，得到的优化结果又偏大，猜想很可能是局部最优解，并不是我们要的全局最优解。综上所述，由于函数 fun_half 本身的复杂性和 fmincon 本身功能的局限性，我们必须先人为地缩小初值和约束条件的范围，使二者的选取更有方向性，更趋近于全局最优解的位置，从而缩短运算时间，提高运算精度，得到更好地结果。3.2.对对 fmincon 初值和约束条件的优化初值和约束条件的优化我们要优化的一共有 4 个量：h1,h2,I2 和 a2。如果一起讨论这 4 个参数，难度过大，而且，这 4 个参数对结果的“影响力”很有可能也是不同的。很有可能某些参数对结果
