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1、淮北煤炭师范学院 论文分类号：O172.2172.2 2008 届学士学位论文 求求极极限限的的计计算算方方法法与与技技巧巧系别、专业 信息学院、数学与应用数学 研 究 方 向 数学分析 学 生 姓 名 郑福梅 学 号 200418440094 指导教师姓名 王信松 指导教师职称 教授 2008 年 5 月 3 日求极限的计算方法与技巧求极限的计算方法与技巧郑福梅淮北煤炭师范学院信息学院摘要摘要极限概念是高等数学中很重要的概念之一，其它所有的重要的数学概念如导数定积分 都是建立在极限概念的基础上的。因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限概念的高度抽象，致使我们很难用极限定义本身去求极限；又
2、由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的，所以掌握极限的方法非常重要。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以极限的方法是十分繁多的.针对这种情况，本文通过例题总结归纳了常见的求极限的方法及一些技巧。有关命题与结论在文中有详细地说明。关键词关键词：极限，计算方法，技巧Skills and methods of computing limitZheng FumeiSchool of information, Huaibei Coal Industry Teachers CollegeAbstract The limiting concept is one of
3、the very important concepts in advanced mathematics. The other important mathematical concepts, such as derivative, definite integral are based on this concept. Therefore limit is the basic operation in advanced mathematics. Because of most abstractness of limit, it is difficult to obtain limit by t
4、he concept of limit. Since the concept of limit exists in the whole advanced mathematics, and many important concepts are derived from the definition of limit, it is important to grasp the method of limit. On the other hand, we can also use these concepts to obtain some limits; therefore there are v
5、arious ways to obtain limits. From above descriptions, Common methods and some skills of obtaining limit are generalized through examples in this thesis. Some relevant propositions and conclusions are also extensively illustrated in this thesis.Keywords: limit，computing method，skill 目目 录录一、引言 1二相关定义
6、与定理 1三、极限的几个重要性质 31、收敛数列的一些性质 4 2、函数极限的相关性质 4 四、极限的计算方法与技巧及举例说明 5 1、利用极限定义验证极限52、利用等价无穷小求极限63、利用两个重要极限求极限74、利用数列与级数的关系求极限85、利用定积分概念求极限86、利用泰勒展开式求极限97、递推关系法98、拆项相消法 109、利用不等式 1010、洛必达法则1111、中值定理法1212、单调有界定理1313、利用极限的四则运算法则求极限1414、利用加权平均值定理求极限1415、拟和法1516、利用函数导数、连续的定义1617、化积为商法1718、构造新数列1719、Euler 常数法
7、18五、总结18 致谢 18 参考文献 19- 1 -一、引言一、引言在高等数学领域中极限是一个重要概念，求数列与函数的极限是数学分析的基本运算。如函数的连续导数定积分及级数的收敛等都是在极限理论的基础上建立的。求极限的主要方法有：定义法四则运算两边夹法则实数连续性公理数列的求和公式利用两个重要极限等。除这些常规方法外还有很多技巧，这些技巧隐含在函数的相关理论中，对这些技巧进行归纳探讨并就应用范围进行分析。求极限是大学理科学生必须练好的一门的基本功，然而面对错综复杂的极限计算题许多学生感到茫然不知所措，为了帮助学生学好极限，本文对其方法进行了简略地归纳和总结.二、相关定义与定理二、相关定义与定
8、理定义定义 1 1 设为定数。若对任意的正数，总存在正整数，1 na为数列,aN使得当时有则称数列 收敛于,定数称为数列的极Nn |,naa| naaa na限,并记作或lim,nnaa naan 读作“当趋于无穷大时,的极限等于或趋于”.若数列没有极限,nnaanaa na则称不收敛,或称为发散数列. na na定义定义 2 2 设为定义在上的函数,为定数.若对任意的,存在正2f, a A0数,使得当时有MaxM( )f xA则称函数当趋于时以为极限,记作fxA,或.lim( ) xf xA ( )f xAx 定义定义 3 3 设函数在点的某空心邻域内有定义,是一个确定f0x0 0;UxA常
9、数.若,总存在,满足,且，则称当0,0 x0oxx0( )f xA- 2 -时,以为极限,记为.0xx( )f xA0lim( ) xxf xA 定义定义 4 4 设函数在内有定义,是一个确定的常数，若( )f x,oUaA，,使当时,都有,则称函数在趋于0 0axa( )f xA( )f xx时右极限存在,并以为右极限记作.有时也记aAlim( ) xaf xA .(0)lim( ) xaf af x 定理定理 11单调有界定理单调有界定理在实系数中，有界的单调数列必有极限. 定理定理 22柯西收敛准则柯西收敛准则数列收敛的充要条件是：对任给的，存 na0在正整数，使得当时有.N, n mN
10、nmaa这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。定理定理 33致密性定理致密性定理有界数列必存在收敛子列。 定理定理 44施笃兹定理施笃兹定理 设数列单调递增趋于， ny（可11lim.nnnnnxxAyy以为无穷） ，则 .limnnnxAy定理定理 5 5有界变差数列收敛定理有界变差数列收敛定理若数列满足条件： 3 nx112212,3nnnnxxxxxxM nLL则称为有界变差数列，且有界变差数列一定收敛。 nx定理定理 66柯西准则柯西准则设函数在内有定义.存在的f0 0;Ux 0lim xxf x 充要条件是:任给,存在正数,使得对任何有0“0 0,;x xUx. “f xf
11、 x定理定理 7 7 设为定义在上的单调有界函数,则右极限存在.f 0 0Ux 0lim xxf x 定理定理 88拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理设函数满足如下条件: 4f- 3 -（1）在闭区间上连续；f, a b（2）在开区间内可导,则在()内至少存在一点,使f, a b, a b. ( )f bf afba定理定理 99积分第一中值定理积分第一中值定理设函数在闭区间上连续,则至少存在f, a b使得,a b. baf x dxfba定理定理 1010推广的积分第一中值定理推广的积分第一中值定理若与都在上连续,且在fg, a b g x上不变号, 则至少存在一点使得, a b,a b.
12、. bbaaf x g x dxfg x dx(当时,既为定理 9). 1g x 定理定理 1111欧拉定理欧拉定理序列收敛. 51111ln1,223nxn nn LL因此有公式式中称为欧拉常数,且1111ln23nCnnL0.577216C L当时，n 0n定理定理 1212级数收敛定理级数收敛定理若级数收敛,则 1n nulim0nnu 定理定理 1313归结原则归结原则设函数在内有定义. 存在的充要f0 0;Ux 0lim xxf x 条件是:对任何含于且以为极限的数列,极限都存在且0 0;Ux0x nx limnnf x 相等.注注 1 1 归结原则也可简叙为: 对任何有0lim( ) xxf xA 0nxxn . limnnf xA 注注 2 2 归结原则是联系数列与函数的桥梁. 三、极限的几个重要性质三、极限的几个重要性质- 4 -11收敛数列的一些性质收敛数列的一些性质（
