函数的最大（小）值与导数

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1、函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修 11 第 三章第三节的导数的应用 ， 函数的最大（小）值与导数是第 3 课时 教学内容分析教学内容分析 本节内容是在学习了函数的极值与导数的基础上学习函数的最大（小）值与导数，所 以需要注意极值与最值的关系，并根据极值和最值的关系来推导最值的存在和最值的求法。学法分析：学法分析： 学生在学了极值与导数的基础上，知道了利用导数求函数在局部的最值（极值） ，现 在将函数的范围扩宽，来学习函数在某个闭区间上的最大（小）值。学生可以类比利用导 数求极值的方法和极值与最值的关系来学习利

2、用导数求最值。 教学目标：教学目标： 知识与技能：知识与技能： 1、使学生 理解函数的最大值和最小值的概念； 2、使学生掌握用导数求函数的最值的方法和步骤； 过程与方法：过程与方法： 学会应用导数判断函数的单调性及最值，分析函数图象； 情感与态度：情感与态度： 培养学生类比推理的思维能力。 教学重点教学重点： 利用导数求函数的最大值和最小值的方法 教学难点教学难点： 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的关系 教学方法教学方法： 类比+探究式教学 教学工具教学工具： 多媒体辅助教学+常规工具 教学流程：教学流程：复习准备理解函数极值的概念和特点观察图形直观感受极值和最值的关系讨论关系从理

3、论上讨论极值和最值的关系探究规律从实例中体会函数的最值存在的规律归纳方法从极值与最值的关系以及最值存在的条件归纳出最值的求法例题巩固通过例题讲解学会利用函数的导数求函数的最值知识小结通过师生共同小结使学生更进一步理解函数最值的求法教学过程教学过程教 学 环 节教师活动学生活动教学评价温 故 知 新提问 1：请同学们回顾极值的定义？及利用导数求极值的解 题步骤？思考回答：让同学们复 习极值和求 解的方法， 为下面学习 最值和求解 方法做好准 备。用多媒体展示图形，提问 1：观察如图在闭区间上的函数的图ba,)(xfy 象，你能找出它的极大值，极小值吗？提问 2：你能找出在闭区间上的函数的最ba,

4、)(xfy 大值，最小值吗？观察图形 并回答问 题。 （可 能出现的 错误答案： 学生可能 会把极大 值点321,xxx作为极大 值的结果， 老师要及 时纠正。 ）让学生直观 感受函数的 极值和最值 的关系。从 而引出下面 的讨论。探 究 新 知和同学们一起讨论：在闭区间 函数 的“最值”ba,)(xf与“极值”的关系引导学生归纳结果，并将最值与极值的关系准确的表示出来。讨论最值 和极值的 关系并得 到一定的 结果。培养学生思 维能力及通 过讨论思考 形成概念。a1x2x3x4x05x6xbxy、 “最值”是整体概念；而“极值”是个局部概念、从个数上看，一个函数在给定的闭区间上的最值ba,是唯

5、一的；而极值可能有多个，也可能只有一个，还可能一个都没有；、在极值点处的导数=0，而最值点不一定，最0x 0xf 值有可能在极值点取得，也可能在端点处取得。3 3、探究：、探究：在图 2，图 3 中观察上的函数图象，它们ba,( )yf x在上有最大值，最小值吗？如果有分别是什么？ba,如果在开区间上呢？ba,通过观察 回答问题， 思考函数 最值的存 在性通过问题引 导学生，让 学生观察图 形总结规律。4、总结规律：一般地，如果在闭区间上函数的图像是一ba,( )yf x条连续不断的曲线，那么函数在上必有最( )yf xba,大值与最小值学生总结 并记录结 论。总结规律， 得出结论。5归纳方法

6、:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有)(xf的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了通过前面 的讨论， 得出最值 存在的位 置，归纳 出求最值 的方法。培养学生总 结归纳的能 力，让学生 知道最值的 一般求解方 法。例 题 巩 固例例 1 1 （课本例（课本例 5 5）求在的最大值 31443f xxx0,3与最小值奎屯王新敞新疆 学生思考 解题方法 并总结步 骤。让学生从实 例中感受求 最值的方法， 形成一种求xyaba1x2x3x4x5xbxyx（3）（2）解：解： 由例 4 可知，在上，当时，0,32x 有极小值，并且极小值为，( )f x4(2)3f 又由

7、于， 04f 31f因此，函数在的最大值是 4，最 31443f xxx0,3小值是4 3老师讲解过程并板书解题过程和解题的步骤：利用导数求函数的最值的步骤：一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如)(xfba,下：求在内的极值；)(xf( , )a b将的各极值与端点处的函数值、比较，)(xf)(af)(bf其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值奎屯王新敞新疆)(xfba,解的思路。变 式 练 习求函数在区间上的最大值与 5323xxxf2 , 2 最小值奎屯王新敞新疆解：先求导数，得 xxxf632/令0 即解得 xf/0632 xx, 0, 221xx导数的正负

8、以及，如下表 xf/)2(f)2(fX-2（-2,0）0（0,2）2 xf/+0 xf-1551从上表知，当时，函数有最大值 5，当时，函0x2x数有最小值-15 奎屯王新敞新疆学生动手 做，并叫 一位学生 上黑板上 来做。学 生可能会 没有极值 的分析而 直接比较)2(f，和)2(f的)0(f大小就 的结果。 老师要 纠正， 要强调 学生要 分析导培养学生动 手能力，掌 握最值的一 般解题方法。数为 0 的点是 否是极 值点。课 堂 练 习1下列说法正确的是( D ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D. 在闭区间上函数的图像是一

9、条连续不断ba,( )yf x的曲线，那么函数在上必有最大值与最小( )yf xba,值2、求在的最大值 = 0 ；最小 2362xxxf2 , 2值= -40 。学生思考， 回答问题检查学生对 本节知识的 掌握情况。小 结 作 业1一般地，如果在闭区间上函数的图像ba,( )yf x是一条连续不断的曲线，那么函数在上必( )yf xba,有最大值与最小值 2利用导数求函数的最值方法求在内的极值；)(xf( , )a b将的各极值与端点处的函数值、比)(xf)(af)(bf较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值奎屯王新敞新疆)(xfba,布置作业布置作业课本 P99 习题 3.3 A 组 6思考本节 课所学内 容，可以 彼此之间 交流自己 的小结， 回答教师 提问.（1）使学生 不仅能从知 识的角度看 所学过的内 容，还能体 会到寓于知 识中的数学 思想与方 法 （2）作业， 是为了让学 生巩固所学 知识附、板书设计附、板书设计例题板书练习板书知识板书