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1、1第十一章第十一章 微分方程微分方程 2004.8.5四、二阶线性方程解的结构四、二阶线性方程解的结构1二阶线性齐次微方程二阶线性齐次微方程的解的结构0(x)yyp(x)y 、设是方程的两个解，则也是(x)y(x),y212211ycyc的解 定义：函数线性相关，线性无关P320、如是方程的两个线性无关的特解，则(x)y(x),y21是的通解。 （为任意常数）2211ycycy21c,c例 1、cyyeyey0yy12x 2x 1 且 通解为x 2x 1ececy例 2、ccosxsinxsinxycosxy0yy21 通解：sinxccosxcy212o二次线性非齐次方程的通解f(x)(x)
2、yyp(x)y 定理设是的一个特解，为的通解，*yY则的通解为：*yYy即 线性非齐次方程的通解=线性齐次方程的通解+非奇一个特解如为的解，则为的解(x)y(x),y2121yy 如)(f(x)f(x)yyp(x)y21x 分别为：* 2* 1y,y(x)f(x)yyp(x)y1 的特解(x)f(x)yyp(x)y2 2则为的特解。* 2* 1yy 3o二阶常系数线性齐次方程的解法0cyybya 设为解，将代入方程及特征方程：rxey rx2rxery,rey 0cbrar2（1）当特征方程有两个不等根则方程04acb2f21rr,rr通解：xr 2xr 121ececy（2） 则通解为：2a
3、brr0,4acb212x)c(cey21rx（3），则通解为：04acb2pir1,2xsinccoscey21xx习题 17.(10)(3)0,y4y(2)0,2yyy(1) 18.4o二阶常系数线性非齐次方程的解法如：xsin(x)epf(x),(x)epf(x)(x),pf(x)x nx nn则 方程的特解通常用特定系数法求出例、求下列方程的通解（1）3x2yy2y 解：特征方程：022rr2sinx)ccosx(ceYi1r21x 1,2设0ya,yb,axy *代入方程：3x2b2a2ax3xb)2(ax2a比较同次幂系数：x12xy1b21a*通解：12xsinx)ccosx(c
4、ey21x3（2） 3xy2y 解：特征方程：2x 212eccY2r0r02rr设2ayb2axyb)x(axy *将代入方程比较同次幂系数： *y,yx45b,41ax45x41y2*通解为：45x 4xeccy2 2x 21（3）x2eyyy2 解：x 22x1212ececY1,r,21r0,1r2r设代入方程，及x*x*x*aey,aey,aey xx2e2ae x*ey1a通解： x*x xx 22x1axey2eyyeececy（i）rx n(x)epcyybya 解：设将代入原方程整理得：Q(x),eyrx* *,yy(x)pc)Qbr(arQb)(2arQan2 是特征方程的
5、重根是特征方程的单根不是特征方程的根r (x)eQxr (x)exQr (x)eQyrx n2rx nrx n *(4)xxeyy2y 解：x)c(ceY1,r0,12rr21x 1,22设x*b)e(axy4x*x*b)e2a(axyb)ea(axy将代入原方程并消去及 *y,y,yxex*1)e(x41y,41b41ax4b4a4ax通解：x 21x1)e(x41x)c(cey（5）xxe2yy3y 解：2x 2x 12ececY2r1,r023rr设代入原方程并比较同次幂 *x*y,y,b)ex(axy将x系数及1b21a 通解：x2 2x 2x 1ex2xececy （ii）xx)eB
6、sinx(Acoscyybya xx-ixi)eDe(Cei)x-(i)x(DeCe 是特征方程的根不是特征方程根iy xx* xebsinxx(acosix)ebsinxacos(6)sinx6yy7y 解：6x 2x 12ececY6r1,r067rr设bcosxasinxy*bcosxasinxybsinx,ascosxy *将代入方程及 *y,y,ysinx7a)cosx(5b5b)sinx(7a5247b245a07a5b15b7a7cosx)(5sinx241y*通解：7cosx)(5sinx241ececy6x 2x 1（7）P328 例 8.34(8)cos3xeyy2x 解：sinxccosxcYir01r212设代入方程 *2x*y,y,Bsin3x)e(Acos3xy将及sin3x403cos3x401ey2x*（9）cos2xe5yy2yx 解：sin2x)ccos2x(ceY2i1r21x设bsin2x)(Acos2xxeyx*
