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1、自然之秘自然之秘数学与自然数学与自然人类识自然，探索穷研，花明柳暗别有天。谲诡神奇满目是，气象万千。往事几百年，祖述前贤，瑕疵讹谬犹盈篇。蜂房秘奥未全揭，待咱向前。这是我国著名数学家华罗庚先生于 1964 年写的词自然奥秘 ，说的是神奇的自然界包含了无穷的奥秘，很多还有待于人类去探索。你有没有观察过一片叶子，对它能精确地分成两半而表示惊奇？你有没有注意到各种花的花瓣形成完美的星型？你有没有注意到某些贝壳和松果的螺旋形生长模式？ 面对奇迹纷呈的自然界，大多数人并未察觉这可以用数学来解释自然界中看起来很平常的事物或者现象。我们往往认为数学只是人类的专利，只有我们这些看似很聪明的人类懂得数学的奥妙，
2、知道什么是数学，怎样运用数学原理解决某些实际问题。但是，我们不禁要问，数学真的是我们的专利吗？答案或许是否定的！ 在自然界中存在着许许多多名不见经传的“数学家” ，它们可能极其渺小，但是它们的数学天赋却让我们不得不为之震惊。通过本章节的学习，我们将带领大家一起去领悟大自然中的某些“数学家”给我们创造的奇迹，并挖掘出里面所隐含的数学概念。 2.1 生命的曲线生命的曲线今天，在环境污染十分严重的城市，人们仰望星空，所能见到的星星已经很少了。但如果时光倒流几千年，美索不达米亚平原上的天文爱好者在宁静的夏夜里仰望浩瀚苍穹，他们能看到什么呢？在满天星斗中，螺线形星云赫然在目！螺线状星云 M51 英国艺术
3、家 A. C. Stewart 的作品：螺线星云 用数学语言来说，螺线指的就是在平面极坐系中，如果极径 随极角 的增加而成比例增加（或减少） ，这样的动点所形成的轨迹叫做螺线。螺线是出现在自然界中许多场所的数学形式，它既是一种迷人的数学对象，又触及我们生活的许多领域，比如螺丝钉、电磁波天线等等，而且它还是一种与生命相关的极为普遍的数学形态，有人曾把它誉为“生命的曲线” 。螺线的类型几乎与它在自然界和生活中出现的频数一样多，有平坦 热带气旋螺线、三维螺线、右旋和左旋螺线、等角螺线、双曲螺线、对数螺线、阿基米德螺线等等。当人们想到曲线时，最常浮现在脑海的可能是圆或者椭圆，但还有一些曲线也大量存在于
4、数学里或出现在自然界及自然现象的生成图案中，螺线便属于这种范畴。世间万物，各有其性，以植物而言，枝蔓茎干绝大多数都是直向生长的，而有一些植物却是盘旋生长的。例如，蔓生植物牵牛花需要缠绕在其它直立的植物或者支架上生长。仔细观察，我们不难发现，它缠绕的路径正好是螺线形式，而这种螺线就是圆柱螺线。怎样得到这样一个直观的圆柱螺线呢？大家不妨动手试试看！取一张长方形的纸片，画出其对角线，然后把纸卷成圆柱形，这时，刚刚画出的对角线就形成了圆柱面上的一条曲线，这条曲线是一种三维螺旋线，说得更确切的话就是圆柱螺线。如果大家有机会能目睹松鼠绕着树往上爬走的路线的话，我们会发现它的爬走轨迹也是圆柱螺线。牵牛花 松
5、鼠牵牛花藤蔓是用最短的距离缠绕在支架上生长的，而松鼠在爬树的过程中，所选择的路径也是最短的。这样一来，我们不禁要问了，为什么它们会选择这样的螺线形式呢？其中隐含着一定的数学知识，因为圆柱螺线是圆柱面上最短的路径。当我们把圆柱面沿着一条直线剪开并展开成一个平面时，构成圆柱螺线的这些点就会落在一条直线上，通过上面得到圆柱螺线的过程，这一点是很容易理解的。而我们知道两点之间线段最短，因此，圆柱面上不在一条母线、也不在垂直于母线的圆上的两点 P 和 Q，以通过 P 和 Q 的螺线距离最短。所以，我们可以知道牵牛花的藤蔓是用最短的距离缠绕在其它树枝上生长的，而松鼠在爬树的过程中，所选择的路径也是最短的。
6、但是，还值得一提的是，不同的植物它缠绕的方向也是有区别的，像上面所说的牵牛花，它缠绕其它植物或支架的方向是从右向左旋的，如果人为地将其缠成左旋，它生出新藤后仍然不会改变其右旋特性。数学上把这样旋转的螺线称为右旋螺线。当然有右旋螺线，就会对应的有左旋螺线，即旋转方向自左向右形成的螺线，比如说五味子。令人惊奇的是，还有极少数的植物藤蔓的螺旋方式是左右兼有的，比如葡萄就是靠卷须缠住树枝攀援而上，它的方向忽左忽右，既没有规律也没有定式。英国著名科学家科克曾把植物的螺 五味子旋线称为“生命的曲线” 。植物的枝蔓茎干为什么会出现左右旋转生长的现象呢?一般认为，这是由于南北半球的地球引力和磁力线共同作用的结
7、果。自然界中最普遍存在的螺线是对数螺线，也叫做等角螺线。等角螺线有以下几个特性：螺线切线同螺线半径所形成的角是全等的；以几何速率增大，因此任何半径被螺线分割成的线段形成几何级数；长大时形状不变。其极坐标方程为。brae10.80.60.40.20.20.40.60.81.510.50.511.5f = 1200 e400对数螺线如果想要得到这样一个优美的对数螺线，我们也可以自己动手做做看，在一根绳子的一端拴住一个石子，将整段绳子缠绕在石子上，在头顶上方旋转挥舞，让绳子慢慢松开，绳子的长度不断增加，它增加的长度与石子转过的角度会成正比，此时，石子运动的轨迹就是一条对数螺线。我们下面不妨来看看自然
8、界中的对数螺线吧！ 这是一叶载着珍珠的小舟，行驶在万里无云的汪洋。这爱冒险的小舟飞驰前方，在甜蜜的夏日展开紫色的翅膀。她沉醉于迷人的海湾，那里有塞壬的歌声悠扬；碧波中的珊瑚礁熠熠生光，美人鱼离开水府的闺房，飘散着长长的秀发，沐浴着暖暖的骄阳。 O. W. Holmes这是美国诗人福尔摩斯（O. W. Holmes, 18091894）吟咏鹦鹉螺的诗句。鹦鹉螺之吸引诗人，并激起他的丰富的想象，在于螺壳独特的形状一条等角螺线。也许正是这神奇的形状，让苏格兰博物学家和数学家汤普森（DArcy Thompson, 18601948）语出惊人：地球上所有动物和植物只有通过数学才能理解！鹦鹉螺 汤普森与鹦
9、鹉螺壳那么，为什么鹦鹉螺身上的纹路会是对数螺线呢？这是因为这种动物的发育模式与拴在绳子上转动的石头相似，它们在生长过程中，螺壳每转过一定角度，螺身也按特定的比例发育。马达加斯加总统拉齐拉卡于 1985 年赠国家主席李先念的鹦鹉螺化石（菊石），重 15kg。实际上，许多贝壳动物身上都有这种曲线。此外，象鼻、羊角、鹦鹉的爪子等也都成等角螺线形。圆网蛛也能织出这种曲线。圆网蛛自然界到处都是这样出色的数学天才。向日葵、菠萝、松果、雏菊等植物花果中都有这种曲线。法国著名昆虫学家法布尔曾经说过：“几何，以及面积上的和谐，支配着一切。几何存在于松果鳞片的布置中，也存在与圆网蛛的黏胶丝上；蜗牛的螺旋上升斜线里
10、有几何，蜘蛛网的念珠里有几何，行星轨道里也有几何；几何到处存在，不管在原子世界里还是在无限辽阔的宇宙中，几何都是非常高明的！” 法布尔蜗牛 向日葵 松果对数螺线最早是由笛卡尔 1638 年引进的，后来许多数学家又做了研究，尤其是瑞士的数学家雅各贝努利（Jacob Bernoulli, 16541705）曾经深入地探讨过。雅各发现对数螺线这条奇妙的曲线在经过诸多数学变换后仍然还是对数螺线。比如，不管把对数螺线怎样放大或者缩小，结果总是得到对数螺线，对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。这些变换会把一般的曲线变得面目全非，但是，对于对数螺线来说，形状仍然
11、不会变，仅仅是位置有所改变。贝努利对这些有趣的性质惊叹不已，最后竟在他的遗嘱里面吩咐到：要把对数螺线刻在自己的墓碑上，并且还要附上一句一语双关的美妙颂词：Eademmutata resurgo（虽然改变了，我还是和原来一样！） 。但是遗憾的是，贝努利的愿望并没有实现，因为刻碑人技术不够高明，刻出来的曲线又像阿基米德螺线，又像圆的渐伸线，但显然不是对数螺线，因为圈与圈之间的距离没有越转越大。雅各伯努利 伯努利的墓碑2.2 蜜蜂的智慧蜜蜂的智慧圆网蛛没有学过对数螺线，但却能织出优美的对数螺线；同样，蜜蜂也没有学过镶嵌理论，却能造出完美的蜂房！对此，我们不得不为之感到惊讶！伟大的生物学家达尔文曾经说
12、过这样一句话：“蜂房的精巧构造十分符合需要，如果一个人看到蜂房而不倍加赞赏的话，那他一定是个糊涂虫。 ”蜜蜂制造蜂房遵循最大值和最小值原理早在公元 3 世纪末，希腊数学家帕普斯（Pappus）在数学汇编第 5 卷序言中这样写道：“尽管上帝赋予了人类最好的、最完美的智慧和数学的理解力，但他同时也把一部分分配给某些没有理智的动物。对于赋予了理性的人类，他认为他们理所当然应该按照理性和证明来做每一件事情；但对于别的没有理性的动物，他只给予了这样的天赋：他们中的每一个应该按照某种自然的考虑，去获得维持生命所必需的东西。尽管我们可以观察到许多种动物都有这种本能，但在蜜蜂身上，这种本能尤其引人注目。它们的
13、竟井然秩序，它们对于管理着它们共同财富的蜂王的俯首听命，的确十分令人钦佩；但更令人钦佩的是它们采蜜时的争先恐后和一尘不染，以及保护蜂蜜的深谋远虑和良苦用心。无疑，它们相信自己身负重任，要从神那里把一份美食带给更有文化的人类，它们认为，不小心把美食倒在地上或木头上或任何其他不适宜的和不规则的材料上是不对的，它们蜜蜂采集最甜蜜的花朵上最洁净的部分采集地球上最甜蜜的花朵上最洁净的部分，用它们建造容器，贮藏蜂蜜。这种容器名叫蜂房，其中每一个单元都是相等的、相似的、相连的，形状为六边形。我们可以推断：它们是按照某种几何思想来构造蜂房的。它们必定认为，所有图形【即蜂房中的单元】都必须彼此相连、并具有公共边
14、，才能确保没有别的东西落入空隙，弄脏了它们的作品。由于绕同一点只有正三角形、正方形和正六边形这三种图形能填满空间，蜜蜂以其智慧选择了具有最多的角的那种，因为它们知道它比另外两种图形能装更多的蜜。”以色列莱霍夫地区发现的三千年前的蜂窝 纸蜂窝那么，蜜蜂只是知道这个对它们有用的事实，即花费同样的材料建造蜂巢时，正六边形比正三角形和正方形蜂巢大，从而可以储存更多的蜂蜜。但是自认为在智慧方面比蜜蜂更胜一筹的我们将研究范围稍微广泛一些的问题，即周长相等的等边等角的平面图形中，角越多的面积越大，其中面积最大的是具有相同周长的圆。我们不妨从蜂房的正面看，如右图所示的是蜂窝，它们都是排列整齐的正六边形。我们也
15、知道正三角形、正方形和正六边形是仅有的三种自镶嵌多边形。而对于给定面积来说，正六边形的周长是最小的。这也就意味着，蜜蜂在建造蜂房的六角柱巢室时，用正六边形的话，可以用同样的原材料，建造出比正三角形、正方形具有更大的面积，从而储存更多的蜂蜜。 蜂 房 =10929但是，蜂房的奇妙之处不仅仅只在于正六边形的巧妙运用。进一步观察，会发现，每一个储藏室都是一个六棱柱。这些六棱柱的背面，同样有许多形状相同的小洞。换句话说，整个立体的蜂房背面具有左右两侧的储藏室。如果一组洞的开口朝南，那么另一组洞的开口就朝北。这两组洞彼此不相通，中间用蜡板隔开。这些隔板是由大小相同的菱形所组成的，如图所示。1712 年，法国科学家马拉尔迪在他的蜜蜂的观察和研究中指出了蜂巢底部的这种菱形结构，并测得菱形的钝角为 10928，锐角为 7032。蜂房为什么会有这样奇特的构造呢？法国科学家雷奥米尔作了这样的一个猜想：用这样的角度构造出来的蜂房，在相同容积下，它的表面积是最小的，因此可以用更少的原材料构造出容积最大的储存室。因此，雷奥米尔还专门请教了一位瑞士的数学家柯尼希：怎样用三个完全一样的菱形为顶部来把这样的六棱柱完全封盖起来，并且要使该六棱柱在体积相同的情况下
