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1、东莞电子计算培训中心1第一章函数、极限和连续 1.1 函数 一、主要内容 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), xD 定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 21 )()( DxxgDxxfy3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) x=(y)=f-1(y)y=f-1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),xD,x1、x2D当 x1
2、x2时, 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内单调增加( )；若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内单调减少( )；若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内严格单调增加( )； 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内严格单调减少( )。2.函数的奇偶性： 首先要证明定义域对称：才有下面，否则是非奇非偶 偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+)周期：T最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数（六个基本初等函数，1.常数函数
3、，2.幂函数，3.指数函数，4.对数函数，5.三角函数，6.反 三角函数。 ） 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的 函数（重点要记住，初等函数在定义域里连续。函数（重点要记住，初等函数在定义域里连续。 1.2 极 限 一、主要内容 极限的概念东莞电子计算培训中心21.1. 数列的极限: Ayn n lim称数列以常数 A 为极限; ny或称数列
4、收敛于 A. ny定理: 若的极限存在必定有界.（反过来就不一定成立，自己想想） ny ny2.函数的极限：当时，的极限：x)(xfAxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim当时，的极限：0xx )(xf左极限： 右极限：Axfxx)(lim0Axfxx)(lim 0 Axfxx)(lim 0函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim 000上述定理通常用于证明极限是否存在。 无穷大量和无穷小量1 1无穷大量： 称在该变化过程中为无穷大量。)(limxf)(xfX 再某个变化过程是指： 2 2无穷小量： 称在该变化过程中为无穷小量。0)(
5、limxf)(xf3 3无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)(,)(1lim0)(limxfxfxf无穷大量与无穷小量是倒数关系。无穷大量与无穷小量是倒数关系。4 4无穷小量的比较：0lim,0lim无穷小量和无穷大量的性质无穷小量和无穷大量的性质 上述要理解。上述要理解。定理：若：；，2211则：21 21limlim 两面夹定理（又称夹逼定理） 1数列极限存在的判定准则：设： （n=1、2、3）nnnzxy东莞电子计算培训中心3且： 则： azynnnnlimlimaxnnlim2函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0的某个邻域内的一切点（点 x0除外）有： )()()(xhxfxg且
6、： 则：Axhxgxxxx)(lim)(lim 00Axfxx)(lim 0极限的运算规则 是极限的性质，在读专科的时候就要熟悉。是极限的性质，在读专科的时候就要熟悉。两个重要极限1 或 1sinlim0xx x1)()(sinlim0)(xx x 2 exx x)11(limexx x10)1(lim在证明 0/0 型极限的时候大家要用无穷小代换定理和 1.3 连续 一、主要内容 函数的连续性1. 函数在处连续：在的邻域内有定义，0x)(xf0x1o0)()(limlim0000xfxxfyxx2o)()(lim00xfxfxx左连续：)()(lim00xfxfxx右连续：)()(lim00
7、xfxfxx2. 函数在处连续的必要条件：0x定理：定理：在在处连续处连续在在处极限存在处极限存在)(xf0x)(xf0x函数在处连续的充要条件：0x定理：)()(lim)(lim)()(lim00 000xfxfxfxfxfxxxxxx3. 函数在上连续：ba,在上每一点都连续。)(xfba,在端点和连续是指： 左端点右连续；ab)()(limafxfax右端点左连续。 注意区分区间联系和点联系的定义。注意区分区间联系和点联系的定义。)()(limbfxfbx4.函数的间断点：东莞电子计算培训中心4若在处不连续，则为的间断点。)(xf0x0x)(xf间断点有三种情况： 两类间断点的判断：1o
8、第一类间断点：2o第二类间断点： 3无穷间断点： 函数在处连续的性质0x1.连续函数的四则运算：（自己看书。不在列出来） 2.复合函数的连续性： 3.反函数的连续性：以上看书。书上重点列出。函数在上连续的性质,ba1.最大值与最小值定理：在上连续在上一定存在最大值与最小值。)(xf,ba)(xf,ba（1）先求驻点， （2）求出驻点和 A 点及 B 点的函数值。 （3）最大为最大值，最小为最小值。2.2. 有界定理： 3.介值定理：在上连续在内至少存在一点 ，使得：)(xf,ba),(ba， 推论：cf)(在上连续，且与异号)(xf,ba)(af)(bf在内至少存在一点，使得：。),(ba0)
9、(f4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学（重点）2.1 导数与微分 一、主要内容 导数的概念1导数：在的某个邻域内有定义，)(xfy 0xxxfxxfxy xx )()(limlim00 0000)()(lim 0xxxfxf xx00)(0xxxxdxdyxfy 2左导数：000)()(lim)( 0xxxfxfxfxx 东莞电子计算培训中心5右导数：000)()(lim)( 0xxxfxfxfxx 定理：在的左（或右）邻域上连续在)(xf0x其内可导，且极限存在；则：)(lim)( 00xfxfxx （或：）)(lim)( 00xfxfxx 3.
10、函数可导的必要条件： 定理：在处可导在处连续)(xf0x)(xf0x4. 函数可导的充要条件： 定理：存在)(00xfyxx ，)()(00xfxf 且存在。 求导法则1.基本求导公式：（要自己全部推导一遍）2.导数的四则运算（要理解） 。 3.复合函数的导数：)(),(),(xfyxuufy ，或 dxdu dudy dxdy )()()(xxfxf 注意与的区别：)( xf )(xf 表示复合函数对自变量求导；)( xf x表示复合函数对中间变量求导。)(xf )(x4.高阶导数：)(),(),()3(xfxfxf或或 )4,3,2(,)()()1()(L nxfxfnn函数的 n 阶导数
11、等于其 n-1 导数的导数。 微分的概念1.微分：在的某个邻域内有定义，)(xfx)()(xoxxAy 其中：与无关，是比较高 阶的无穷小量，即：)(xAx )(xo x则称在处可微，记作： 0)(lim0 xxo x)(xfy xxxAdy )(dxxAdy)( )0(x东莞电子计算培训中心62.导数与微分的等价关系：定理：在处可微在处可导，且：)(xfx)(xfx)()(xAxf 3.微分形式不变性：不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形duufdy)( dy式。 重点要自己练习导数，推出导数的所有过程。 2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 中值定理1.罗尔定理
12、: 满足条件:)(xf.0)(,),().()(3;),(2,10.0.0. fbabfafbaba使使得得存存在在一一点点内内至至少少在在内内可可导导在在上上连连续续；在在2.拉格朗日定理：满足条件:)(xfabafbffba baba )()()(),( ),(2,1 00，使使得得：在在一一点点内内至至少少存存在在 内内可可导导；在在上上连连续续，在在罗必塔法则：（ 型未定式） （重点用无穷小量代换。或者无穷小与罗法则同用） ,00定理：和满足条件：)(xf)(xg1o；）或）或 (0)(lim(0)(lim xgxfaxax2o在点 a 的某个邻域内可导，且；0)( xg3o）（或,)
13、()(lim)(Axgxfax则：）（或,)()(lim)()(lim)()(Axgxf xgxfaxax注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2o若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是型或型时，不可求导。00 3o应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。东莞电子计算培训中心74o若和还满足法则的条件，)(xf )(xg可以继续使用法则，即：）（或或 Axgxf xgxf xgxf axaxax)()(lim)()(lim)()(lim)()()(5o若函数是型可采用代数变形，化成或型；若是型可 ,000 00,0,1采用对数或指数变形，化成或型。00 导数的应用 1 切线方程和法线方程：设：切线方程：),(),(00yxMxfy 法线方程：)(000xxxfyy )0)(),()(1 0000 xfxxxfyy2 曲线的单调性： ),(0)(baxxf 内内单单调调增增加加；在在),()(baxf),(0)(baxxf 内内单单调调减减少少；在在),()(baxf),(0)(baxxf 内内严严格格单单调调增增加加；在在),(ba),(0)(baxxf 内内严严格格单单调调减减少少
