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1、基于基于MATLAB的概率统计数值实验的概率统计数值实验 古典概型古典概型MATLAB常用的及与随机数产生相关的函数实验常用的及与随机数产生相关的函数实验1：计算超几何分布实验：计算超几何分布实验2：频率稳定性实验实验：频率稳定性实验实验3：蒲丰投针实验，利用频率估计圆周率实验：蒲丰投针实验，利用频率估计圆周率实验4：生日悖论实验：生日悖论实验1MATLAB常用的随机数产生函数常用的随机数产生函数利用利用MATLAB 软件的图形可视功能将概率统计的内容用图形表示出来， 以加深对概率的理解软件的图形可视功能将概率统计的内容用图形表示出来， 以加深对概率的理解MATLAB常用的及与随机数产生相关的
2、函数常用的及与随机数产生相关的函数factorial(n) ：阶乘，：阶乘，n!，可通过阶乘来计算排列组合数，可通过阶乘来计算排列组合数1.rand(m,n)：生成：生成mn的随机矩阵，每个元素都在的随机矩阵，每个元素都在(0,1)间，生成方式为 均匀分布。间，生成方式为 均匀分布。2.randn(m,n)：生成：生成mn的随机矩阵，每个元素都在的随机矩阵，每个元素都在(0,1)间，生成方式为 正态分布间，生成方式为 正态分布3.randperm(m)：生成一个：生成一个1m的随机整数排列的随机整数排列4.perms(1:n)：生成一个：生成一个1n的全排列，共的全排列，共n!个个5.取整函数
3、系列： （取整函数系列： （1）fix(x)：截尾法取整； （：截尾法取整； （2）floor(x)：退一法取整（不超过：退一法取整（不超过x的最大整数）；向负方向舍入 （的最大整数）；向负方向舍入 （3）ceil(x)：进一法取整（：进一法取整（= floor(x)+1）；向正方向舍入 （）；向正方向舍入 （4）round(x)：四舍五入法取整。：四舍五入法取整。6.unique(a)：合并：合并a中相同的项中相同的项7.prod(x)：向量：向量x的所有分量元素的积的所有分量元素的积2示例： rand(1) %生成一个(0,1)间的随机数 ans = 0.8147 rand(2,2) %生
4、成一个22阶(0,1)间的随机数矩阵 ans = 0.9134 0.0975 0.6324 0.2785 randperm(5) %生成一个15的随机整数排列 ans = 4 1 5 2 3 a=1 2 4 2 3 3 2; unique(a) ans = 1 2 3 43实验实验 1：设有设有N件产品，其中件产品，其中D件次品，今从中任取件次品，今从中任取n件件问其中恰有问其中恰有k(k D)件次品的概率是多少？件次品的概率是多少？（令（令N=10，D=3，n=4，k=2）解：编辑组合函数解：编辑组合函数Com.m文件文件function y=Com(n,r)y=factorial(n)/(
5、factorial(r)*factorial(n-r)计算如下：计算如下： N=10; D=3; n=4; k=2;p=Com(3,2)*Com(10-3,4-2)/Com(10,4)=0.3nkNkn DND CCC 4实验实验 1：计算超几何分布：计算超几何分布随机投掷均匀硬币，观察国徽朝上与国徽朝下的频率随机投掷均匀硬币，观察国徽朝上与国徽朝下的频率解解 n= 3000100000000;m=0; for i=1:nt=randperm(2);%生成一个生成一个12的随机整数排列的随机整数排列x=t-1;%生成一个生成一个01的随机整数排列的随机整数排列y=x(1); %取取x排列的第一
6、个值排列的第一个值if y=0;m=m+1;endendp1=m/np2=1-p15实验实验 2: 频率稳定性实验频率稳定性实验试验次数n300050001万万2万万3万万国徽朝上 频率0.50400.50060.48790.49990.5046国徽朝下 频率0.49600.49940.51210.50010.4954试验次数n5万万10万万100万万100万万1亿亿国徽朝上 频率0.50210.49990.49990.50010.5000国徽朝下 频率0.49790.50010.50010.49990.5000 APAfnn可见当时，可见当时，6在画有许多间距为在画有许多间距为d的等距平行线
7、的白纸上，随机投掷一根长为的等距平行线的白纸上，随机投掷一根长为l(l d) 的均匀直针，求针与平行线相交的概率，并计算的均匀直针，求针与平行线相交的概率，并计算 的近似值的近似值解：设针与平行线的夹角为解：设针与平行线的夹角为 (0 )，针的中心与最近直线的距离为，针的中心与最近直线的距离为 x(0 x d/2)。针与平行线相交的充要条件是。针与平行线相交的充要条件是x (l/2)sin ，这里，这里x(0 x d/2并且并且 0 。建立直角坐标系。建立直角坐标系,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域， 总的区域即上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域， 总的区域即x和和
8、所有可能取值构成的矩形区域，且所有可能取值是机会均等 的，符合几何概型，则所求概率为所有可能取值构成的矩形区域，且所有可能取值是机会均等 的，符合几何概型，则所求概率为故可得故可得 的近似计算公式，其中的近似计算公式，其中n为随机试验次数，为随机试验次数，m为针与平行线 相交的次数。为针与平行线 相交的次数。nm dl ddlGp 22sin2g0 的面积的面积mdnl27实验实验 3：蒲丰：蒲丰(Buffon)投针实验投针实验解解 clear,clfn=10000000;l=0.5;m=0;d=1;for i=1:nx=(l/2)*sin(rand(1)*pi); y=rand(1)*d/2
9、;if x=ym=m+1;endendp1=m/npai=2*n*l/(m*d)确定针与平 行线的角度确定针与平 行线的角度确定针中心 点的位置确定针中心 点的位置8试验次数n5千千1万万10万万100万万1000万万针长l/平行间 距d3/103/103/103/103/10相交频率0.18360.19710.18870.19050.1912的近似值3.26803.04413.17983.14983.1387试验次数n5千千1万万10万万100万万1000万万针长l/平行间 距d2/52/52/52/52/5相交频率0.24960.25620.25490.25440.2543的近似值3.20
10、513.12263.13863.14513.1433 9试验次数n5千千1万万10万万100万万1000万万针长l/平行间 距d1/21/21/21/21/2相交频率0.32540.31480.31580.31780.3183的近似值3.07313.17663.16673.14703.1417试验次数n5千千1万万10万万100万万1000万万针长l/平行间 距d4/54/54/54/54/5相交频率0.51420.51340.50860.50930.5093的近似值3.11163.11653.14603.14183.1418 10试验次数n5千千1万万10万万100万万1000万万针长l/平
11、行间 距d17/2017/2017/2017/2017/20相交频率0.54320.54520.54200.54120.5410的近似值3.12963.11813.13663.14133.1426试验次数n5千千1万万10万万100万万1000万万针长l/平行间 距d9/109/109/109/109/10相交频率0.58600.57000.57560.57330.5731的近似值3.07173.15793.12723.13953.141011在100个人的团体中，不考虑年龄差异，研究是否有两个以上的人 生日相同。假设每人的生日在一年365天中的任意一天是等可能的， 那么随机找n个人(不超过3
12、65人)。在100个人的团体中，不考虑年龄差异，研究是否有两个以上的人 生日相同。假设每人的生日在一年365天中的任意一天是等可能的， 那么随机找n个人(不超过365人)。(1)求这n个人生日各不相同的概率是多少？从而求这n个人中 至少有两个人生日相同这一随机事件发生的概率是多少？(1)求这n个人生日各不相同的概率是多少？从而求这n个人中 至少有两个人生日相同这一随机事件发生的概率是多少？(2)仿真计算在30名学生的一个班中至少有两个人生日相同的 概率是多少(2)仿真计算在30名学生的一个班中至少有两个人生日相同的 概率是多少12实验实验4: 生日悖论实验生日悖论实验解解: (1) clear
13、,clffor n=1:100p0(n)=prod(365:-1:365-n+1)/365n;p1(n)=1-p0(n);endp1=ones(1,100)-p0;n=1:100;plot(n,p0,n,p1,-)xlabel(人数人数),ylabel(概率概率)legend(生日各不相同的概率生日各不相同的概率,至少两人生日相同的概率至少两人生日相同的概率)axis(0 100 -0.1 1.199),grid on13010203040506070809010000.20.40.60.81人 人概概生 生 生 生 生 生 生 概 概 至 至 至 人 生 生 生 生 生 概 概p1(30)=
14、0.706314(2) 在在30名学生中至少两人生日相同的概率为名学生中至少两人生日相同的概率为70.63。下面进行计算机仿真。下面进行计算机仿真。随机产生随机产生30个正整数，代表一个班个正整数，代表一个班30名学生的生日，然后观察是否有两人以上生日 相同。当名学生的生日，然后观察是否有两人以上生日 相同。当30个人中有两人生日相同时，输出“个人中有两人生日相同时，输出“1”，否则输出“”，否则输出“0”。如此重复观察”。如此重复观察 100次，计算出这一事件发生的频率次，计算出这一事件发生的频率f100 clear,clfn=0;for m=1:100 %做做100次随机试验次随机试验y=0;x=1+fix(365*rand(1,30); %产生产生30个随机数个随机数for i=1:29 %用二重循环寻找用二重循环寻找30个随机数 中是否有相同数个随机数 中是否有相同数for j=i+1:30if x(i)=x(j)y=1;break;end endend n=n+y; %累计有两人生日相同的试验次数累计有两人生日相同的试验次数endf=n/m %计算频率计算频率 15作业作业求求15个人中至少两人生日相同的概率个人中至少两人生日相同的概率16
