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1、 第 1 页 共 6 页学院领导 审批并签名A 卷第一学期考试卷高等数学（A 卷） （90 学时）参考解答与评分标准题 次一二三四五六七八总 分 分 数151512128151310100 得 分 评卷人一填空题（每小题 3 分，本大题满分 15 分）1 0 xxxsinlim2设函数, 其中可微, 则(ln )yfx( )f xdy (ln )dfxxx3曲线上点处的切线斜率为 1 sinyx(0,0)k4设, 则( )xf xxe(2006)( )fx 2006xxxee5质点以速度米/秒作直线运动, 则从时刻秒到秒内)sin(2tt21t2t质点所经过的路程等于 0.5 米. 二选择题
2、(每小题 3 分, 本大题满分 15 分)1. 当时，无穷小量是的( C ).1x (1)x2(1)xA. 高阶无穷小; B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小; D. 同阶但不等价无穷小.2. 是函数的( B )间断点.0x 1arctanyxA. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡.第 2 页 共 6 页3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( A ).A. B. ;3, 2,65)(2xxxxf;2, 0, ) 1(1)( 32 x xxfC. D. ;1, 0,)(xexfx.1, 1,)(xxxf4. 设函数的导函数为，且，则( D ).( )yy xcosx(0)1
3、y( )y x A. ; B. ; C. ; D. .cosxsin xcos1xsin1x5. 若，则( A ).22001()d( )d2axf xxf xxa A. ; B. ; C. ; D. .421 21三解答下列各题（每小题 6 分，本大题满分 12 分）1，求.21sin ()xeyxy解：。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分112sin(sin)xxeeyxx。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
4、。 。4 分1112sincos()xxxeee xxx。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6212(1)sinxxxxeee xx分2设由参数方程所确定, 求和.)(xyy 2ln(1) arctanxt ytt d dy x22dd xy解：。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分22211d(arctan )1 2dln(1)2 1ytttt txt t 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
5、 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分222221( )d122 2dln(1)4 1t yt txtt t 第 3 页 共 6 页四解答下列各题（每小题 6 分，本大题满分 12 分）1求极限 .10lim(1)xxxxe 00ln(1)ln(1)lim01lim11lim.2.5.6xxxxx xxxexe xxxxee xeeeeee 与与与与=与与与解: 原式.6 分10lim(1)xxxexexxee 2设函数在上处处连续、可导，22(1 cos ),0( ) 1,0axxf xx xbxx (,) 求的值., a b连续性可知：(0)1,( )ff
6、x与与与与.3 分2001lim( )1lim(1 cos )22xxaf xxaax 与与.4 分201 1(0)lim0xxbxfbx .5 分202(1 cos ) 1 (0)lim00xxxfx .6 分0b 五 （本题满分 8 分）求函数的单调区间、极植，凹凸区间和拐点.xxyln1解： .2 分232211111112(1),(1)yyxxxxxxxx 时， 所以区间是函数的单调增区间 3 分1x 0,y )1,+时，所以区间是函数的单调减区间 4 分01x0,y (0,1单调增减区间知 x=1 是函数的极值点，极小值.5 分y与与(1)y与1，所以区间(0,2)是函数的凹区间6
7、分0 20yx时，所以区间是函数的凸区间.7 分0 2yx时，），（2第 4 页 共 6 页由凹凸区间可知点（2，）为函数的拐点.8 分ln21 2六计算下列积分（每小题 5 分，本大题满分 15 分）1.21d413xxxx 22222 2211d(413)1dd .24132413413 11ln(413)d(2).32(2)9 112ln(413)arctan.5233xxxxxxxxxxxxxxx xxxC 与与与与与2, 其中2220daxaxx0.a /2/22222222422000/2404/2 04sin (0)2dsincosd( sin )sincos d .31(1 c
8、os4 )d8 11(sin4 )84.16axattxaxxat atatatt tat ta tta 与与与与与.5与3.21arctandxxx解: 1 分21arctandxxx11arctan d( )xx 2 分121arctan1d(1)xxxxx 3 分211()d41xxxx4 分2 11lnln(1)42xx.5 分1ln242第 5 页 共 6 页七 （本题满分 13 分）设直线与抛物线所围图形的面积为，它们与直线(01)yaxa2yx1S所围图形的面积为.1x 2S(1) 试确定的值使达到最小；a12SS(2) 求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积.x1S
9、2SOxy2yxyax1交点为（0，0） ， （a,a）.1 分2yaxyx与(1)与122 1203()d()d .3111.5323aaSSaxxxxaxxaa与与与31111)0,.73232aaa 与(与与达到最小。.8 分121(0,1)2aSS与与与与（2）设绕轴旋转所得旋转体的体积是1Sx1V绕轴旋转所得旋转体的体积是2Sx 2V10 分1 242 1011 11()d()22 1220Vxxx12 分142 12 2111111() d()230122202Vxxx对应的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积：x.13 分12111()15230VV第 6 页 共 6 页八证明题（每
10、小题 5 分，本大题满分 10 分）1证明：当.0ln(1)1xxxx时，证明一：设显然在区间上满足 Lagrange 中值定理( )ln(1),f xx( )f x0, x的条件，根据定理，应该有：，即：( )(0)( )(0),0f xffxx3 分ln(1)1xx0,ln(1).5111xxxxxxx与与与与证明二: 令, 则( )f x ln(1)1xxx.2 分211( )1(1)fxxx2(1)x x当时, , 因此在区间单调增加4 分0x ( )0fx)(xf0,)当时, 即得所证.5 分0x 0)0()( fxf2设当时，连续，且.1x ( )fx210( )fxx证明：数列的极限存在.( )nxf n证明：在区间上是单调增加函数( )0( )fxf x1,+)是单调增加数列2 分( )f n1( )(1)( )dnf nff tt211(1)+dxftt.4 分1(1) 1(1) 1ffn 因此数列单调增加, 且有上界, 所以存在.5 分nxnnx lim
