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1、1第第 10 讲讲 不等式不等式不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。一、知识整合 1解不等式的核心问题是不等式的同解变
2、形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰2整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相
3、关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用3在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰 4证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点比较法的一般步骤是：作差(商)变形判断符号(值)5证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构
4、特点、内在联系，选择适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因” ，后者是“由因导果” ，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的6不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利用平均值不等式求函数的最值时，要特别2注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用题的基本步骤：1.审题，
5、2.建立不等式模型，3.解数学问题，4.作答。7通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识二、方法技巧1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解， 。2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。3不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用
6、放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。4根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。三、例题分析b)M，且对 M 中的其它元素(c，d)，总有 ca，则 a=_分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口怎样理解“对 M 中的其它元素(c，d)，总有 ca”？M 中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3)|y-1|+(y+3)(2)当 1y3 时，所以当 y=1 时，= 4minx简评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质即求集合 M 中的元素满足关系式3例 2已知非负实数，满足且，则的最大
7、值是（ ） xy2380xy3270xyxyA B C D 7 38 323解：画出图象，由线性规划知识可得，选 D例 3数列由下列条件确定： nx Nnxaxxaxnnn,21, 011（1）证明：对于,axnn总有, 2（2）证明：对于1, 2nnxxn总有证明：（1）)()(21, 0)(210111Nnaxaxxaxxxxaxxaxnn nnnn nnn从而知及成立时当axnn2（2）当时，2n)(21),(21, 011n nnn nnnnxxaxxxaxxax=。成立时12 ,2. 021nn nnxxnxxa例 4解关于的不等式：x0922 aaaxx分析：本例主要复习含绝对值不
8、等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨a论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当029929222aaxxaxaaxxaxax即时，不等式可转化为abxa173402992)(222aaxxaxaxaaxaxax即时不等式可化为当。 aaaaxaax6173,32 3,(32 3故不等式的解集为或例 5若二次函数 y=f(x)的图象经过原点，且 1f(-1)2，3f(1)4，求 f(-2)的范围分析：要求 f(-2)的取值范围，只需找到含人 f(-2)的不等式(组)由于 y=f(x)是二次函数，所以应先
9、将 f(x)的表达形式写出来即可求得 f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有 f(-2)的不等式(组)，即可求解解：因为 y=f(x)的图象经过原点，所以可设 y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组()变形得()所以 f(-2)的取值范围是6，10解法二(数形结合)建立直角坐标系 aob，作出不等式组()所表示的区域，如图 6 中的阴影部分因为 f(-2)=4a-2b，所以 4a-2b-f(-2)=0 表示斜率为 2 的直线系如图 6，当直线 4a-2b-f(-2)=0 过点 A(2，1)，B(3，1)时，分别取得 f(-2)的最小值 6，最大值 10即 f(
10、-2)的取值范围是：6f(-2)105解法三(利用方程的思想)又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4， 所以 33f(-1)6 +得 43f(-1)+f(1)10，即 6f(-2)10简评：(1)在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解：2b，84a12，-3-2b-1，所以 5f(-2)11(2)对这类问题的求解关键一步是，找到 f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高例 6设函数 f(x)
11、=ax2+bx+c 的图象与两直线 y=x，y=x，均不相交.试证明对一切都xR有.21 4axbxca分析：因为 xR，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)证明：由题意知，a0设 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则又二次方程 ax2+bx+c=x 无实根，故1=(b+1)2-4ac0，2=(b-1)2-4ac0所以(b+1)2+(b-1)2-8ac0，即 2b2+2-8ac0，即 b2-4ac-1，所以|b2-4ac|16简评：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同
12、形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径例 7某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设 2001 年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车1a.,32aa万辆。由题意得x)06. 0(94. 006. 094. 011xaxaxaannnn即万辆过即每年新增汽车不应超应有满足故要对一切自然数上式趋于时且当的减函数上式右端是关于解得令6 . 3, 6 . 3,606 . 3,06. 0)94. 013030(,6006. 094. 0)06. 030(11xannnxaxxannn nn
