二项式定理中展开式系数的六种常见类型

《二项式定理中展开式系数的六种常见类型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项式定理中展开式系数的六种常见类型（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 1 / 5二项式定理中展开式系数的六种常见类型二项式定理中展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一一 、)()(Nnban型型例例 110(2 )xy的展开式中64x y项的系数是（ ）（A）840 （B）840 （C）210 （D）210解析：在通项公式1rT10 10(2 )rrrCyx中令r =4，即得10(2 )xy的展开式中64x y项的系数为44 10(2)C=840,故选 A。 例例 28)1(xx 展开式中5x的系数为 。解析：通项公式rrrrrr rxCxxCT23888

2、 81) 1()1( ，由题意得5238r，则2r，故所求5x的系数为28) 1(2 82C。评注：评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。二二 、),()()(Nmndcbamn型型例例 3843)1()2(xxxx的展开式中整理后的常数项等于 .解析；342()xx的通项公式为3 412 4 1442() ()( 2)rrrrrr rTCxCxx ,令0412 r，则3r,这时得342()xx的展开式中的常数项为33 42C=32, 81()xx的通项公式为88 2 1881( )kkkkk kTCxC xx ,令028 k，则4k,这时得81

3、()xx的展开式中的常数项为4 8C =70，故843)1()2(xxxx的展开式中常数项等于387032。例例 4在65)1 ()1 (xx的展开式中，含3x的项的系数是（ ）(A)5 (B) 5 (C) 10 (D) 102 / 5解析：5)1 (x中3x的系数3 5C10, 6)1 (x中3x的系数为33 6( 1)C 20,故65)1 ()1 (xx的展开式中3x的系数为10,故选 D 。评注：评注：求型如),()()(Nmndcbamn的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。三三 、),()()(Nmndcbamn型型例例 572)2)(1(xx

4、的展开式中3x项的系数是 。解析：7)2( x的展开式中x、3x的系数分别为61 7)2(C和43 7)2(C，故72)2)(1(xx的展开式中3x项的系数为61 7)2(C+43 7)2(C=1008。例例 6811xx的展开式中5x的系数是（ ） （A ）14 （B ）14 （C ）28 （D） 28略解：8) 1( x的展开式中4x、5x的系数分别为4 8C 和5 8C ,故811xx 展开式中5x的系数为45 8814CC,故选 B。评注：评注：求型如),()()(Nmndcbamn的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。四四 、)()(Nncban

5、型型例例 75)21 2(xx的展开式中整理后的常数项为 .解法一：5)21 2(xx=5 2)1 2( xx，通项公式52 1512 ()2k kk kxTCx , 51()2kx x的通项公式为5(5) 152rrk rk r rkTCx x 5 25 52rr kk r kCx ,令025kr，则52 rk，可得2, 1rk或1, 3rk或0, 5rk。当2, 1rk时，得展开式中项为1 1222 5415 22 22C C；当1, 3rk时,，得展开式中项为311 522 2 220 2C C；3 / 5当0, 5rk时，得展开式中项为5 54 24 2C。综上，5)21 2(xx的展

6、开式中整理后的常数项为15 263 220 24 222。解法二：5)21 2(xx=52 )2222(xxx=552)2()2( xx =510)2()2( xx ，对于二项式10)2( x中，rrr rxCT)2(10 101 ，要得到常数项需510 r，即5r。所以，常数项为2263 2)2(555 10C。解法三：5)21 2(xx是 5 个三项式1(2)2x x相乘。常数项的产生有三种情况：在 5 个相乘的三项式1(2)2x x中，从其中一个取2x，从另外 4 个三项式中选一个取1 x，从剩余的 3 个三项式中取常数项相乘，可得1133 5431( 2)20 22CCC；从其中两个取

7、2x，从另外 3 个三项式中选两个取1 x，从剩余的 1 个三项式中取常数项相乘，可得222 53115( )2222CC；从 5个相乘的三项式1(2)2x x中取常数项相乘，可得55 5( 2)C =4 2。综上，5)21 2(xx的展开式中整理后的常数项为15 263 220 24 222。评注：评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五五 、1()()() ( ,1)mmnabababm nNmnL 型型例例 8在62)1 ()1 ()1

8、(xxxL的展开式中，2x项的系数是 。 （用数字作答）解析：由题意得2x项的系数为352 62 52 42 32 2CCCCC。4 / 5例例 9在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含 x3的项的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C) 74 (D) 121解析：(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8=5459(1) 1 (1) (1)(1) 1 (1)xxxx xx5)1 (x中4x的系数为4 55C ，9)1 (x中4x的系数为4 9126C ,126+5= 121,故选 D。评注：评注：例 8 的解法是先求出各展开式中2x项的系数，然后再相加；例 9 则从整

9、体出发，把原式看作首相为(1x)5，公比为(1x)的等比数列的前 4 项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例 8 和例 9 的解答方法是求1()()() ( ,1)mmnabababm nNmnL的展开式中某特定项系数的两种常规方法。六六 、求展开式中若干项系数的和或差、求展开式中若干项系数的和或差例例 10若2004 20042 2102004.)21 (xaxaxaax)(Rx，则_)()()()(20040302010aaaaaaaaL。(用数字作答)解析：在2004 20042 2102004.)21 (xaxaxaax中，令0x，则10a，令1x，则1) 1(2004 20

10、043210aaaaaL故)()()()(20040302010aaaaaaaaL=20030a+200420043210aaaaaL。例例 114234 01234(23)xaa xa xa xa x，则2 312 420)()(aaaaa的值为（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2解析：在4234 01234(23)xaa xa xa xa x中，5 / 5令1x，可得43210aaaaa4)32( ，令1x，可得43210aaaaa4)32( 所以，2 312 420)()(aaaaa=)(3142031420aaaaaaaaaa=)(4321043210aaaaaaaaaa=4)32( 4)32( =1,故选 A。评注：评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。