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1、 11 1、用提公因式法把多项式进行因式分解、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）a xabxacxaxmmmm2213（2）a ababaab ba()
2、()()32222分析：分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“”号后，多项式的各项都要变号。解：解： a xabxacxaxaxaxbxcxmmmmm221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n 为自然数时，是在因式分解过程中常用的因式变换。()()()()abbaabbannnn 222121；解：解：a ababaab ba()()()32222)243)(2)(2)()(2)(2)(222223bbababaabbaababaabaabbaabaa2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算13
3、68987521136898745613689872681368987123分析：分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。987 13682解：解：原式)521456268123(1368987987 136813689873. 在多项式恒等变形中的应用在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组，求代数式的值。23 532xy xy ()()()22332xyxyxxy分析：分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是 3 和2xy53xy，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含22xy有和的式子，即可求出结果。2xy53xy解
4、：解：()()()()()()()223322233253xyxyxxyxyxyxxyxy把和分别为 3 和带入上式，求得代数式的值是。2xy53xy264. 在代数证明题中的应用在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数 n，一定是 10 的倍数。323222nnnn分析：分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10 的倍数即可。323233222222nnnnnnnn3312211035222nnnn()()对任意自然数 n，和都是 10 的倍数。Q103n52n一定是 10 的倍数323222nnnn5、中考点拨：、中考点拨：例 1。因式分解322x xx()(
5、)解：解：322x xx()()3222 31x xxxx()()()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因 式，若没有，看是否能通过变形转换得到。3例 2分解因式：412132qpp()()解：解：412132qpp()()412 12 12112 12213222qpppqppqpq()()() ()() ()说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：题型展示：例 1. 计算：200020012001200120002000精析与解答：设，则2000 a20011a2000200120012001200
6、02000 aaaaaa a aa a a a()()()() ()() ()()10000111 10000 110001110001 11000110001 0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001 重复出现，又有的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运200120001算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例 2. 已知：（b、c 为整数）是及的公因xbxc2xx426253428542xxx式，求 b、c 的值。分析：分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求 b、c，但比较麻烦。注意到是及的因式
7、。因而也是xbxc2362542()xx3428542xxx的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。()3428542xxx解：解：是及的公因式Q xbxc2362542()xx3428542xxx也是多项式的二次因式3625342854242()()xxxxx4而362534285142542422()()()xxxxxxxb、c 为整数Q得：xbxcxx2225 bc25，说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式，从而简便求1428702xx得。xbxc2例 3. 设 x 为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。1052xx x()解：解：1052xx x()5 222
8、 5()()()()xx xxx都是大于 1 的自然数Q xx25，是合数()()xx2 5说明：在大于 1 的正数中，除了 1 和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被 1 和本身整除的数叫质数。【实战模拟实战模拟】1. 分解因式：（1）41222332m nm nmn（2）（n 为正整数）a xabxacxadxnnnn2211（3）a ababaab ba()()()3222222. 计算：的结果是（ ）()() 221110A. B. C. D. 2100210213. 已知 x、y 都是正整数，且，求 x、y。x xyy yx()() 124. 证明：能被 45 整除。8
9、1279791355. 化简：，且当时，求原式的值。111121995xxxxxxx()()()x 02 2、运用公式法进行因式分解、运用公式法进行因式分解【知识精读知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式abab ab22()()完全平方公式aabbab2222()6立方和、立方差公式ababaabb3322() ()m补充：欧拉公式：abcabcabc abcabbcca3332223()()1 2222()()()() abcabbcca特别地：（1）当时，有abc 0abcabc3333（2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。c 0运用公式法分解因式的关
10、键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析分类解析】1. 把分解因式的结果是（ ）aabb2222A. B. ()()()ab ab22()()ab ab 2C. D. ()()ab ab 2()()ab ba2222分析：。aabbaabbab22222222212111 ()()再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择 B。()()ab ab 2说明：解
11、这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式有一个因式是，求的值。232xxm21x m分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。m解：根据已知条件，设221322xxmxxaxb()()则222123232xxmxaxab xb()()7由此可得21112023aabmb ( )( )( )由（1）得a 1把代入（2） ，得a 1b 1 2把代入（3） ，得b
12、 1 2m 1 23. 在几何题中的应用。在几何题中的应用。例：已知是的三条边，且满足，试判abc、 、ABCabcabbcac2220断的形状。ABC分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成abab22、 ab。所以两边同乘以 2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为 0，从而得解。2ab解：Q abcabbcac22202222220222abcabbcac()()()aabbbbcccaca2222222220()()()abbcca2220Q ()()()abbcca222000，abbcca000，abc为等边三角形。ABC4. 在代数证明题中应用在代数证明题中应用例：两个
13、连续奇数的平方差一定是 8 的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为（为整数）2123nn，n则()()232122nn8()()()()2321 23212 4481nnnnnn由此可见，一定是 8 的倍数。()()232122nn5、中考点拨：、中考点拨：例 1：因式分解：_。xxy324解：xxyx xyx xy xy32224422()()()说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例 2：分解因式：_。2883223x yx yxy解：288244322322x yx yxyxy xxyy()2
14、22xy xy()说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：题型展示：例 1. 已知：，ambmcm1 211 221 23，求的值。aabbaccbc222222解：aabbaccbc222222()()abc abc222()abc2Q ambmcm1 211 221 23，原式()abc2 ()()()1 211 221 231 422mmmm9说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例 2. 已知，abcabc00333，求证：abc5550证明：Q abcabcabc abcabbcca3332223()()把代入上式，abcabc00333，可得，即或或abc 0a 0b 0c 0若，则，a 0bc abc5550若或，同理也有b 0c 0abc5550说明：利用补充公式确定的值，命题得证。abc， ，例 3. 若，求的值。xyxxyy3322279，
