自考高等数学一元函数的导数与微分

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1、第 三 章一元函数的导数与微分 一、考核内容 1.知道导数，左导数，右导数的概念及它们之间的关系。知道导数的几何意义和物 理意义。知道函数可导和连续的关系。 2.熟记基本初等函数的导数公式，熟记导数的四则运算公式和复合函数求导公式， 掌握初等函数求导数的方法 3.知道高阶导数的概念，会求函数的二阶导数，会求某些函数的高阶导数。 4.会求函数的微分 5.知道边际函数和弹性函数的概念。二、基本概念，主要定理和公式。典型例题。 （一）导数的概念 用 表示变量 u 的初值， u 表示变量 u 的终值， 则符号叫变量 u 的增量或变 化量。若 y 与 x 之间有函数关系且 y=f(x)，则 y0=f(

2、)这时有仍旧表示 y 的改变量与 x 的改变量的比。定义一： 若极限存在 就说极限是函数 y=f(x)在点处的导数，记作即：函数 y=f(x)在点处的导数还可表示为典型例题例二：已知 g(x)在点 x=a 连续，f(x)=(x-a)g(x),求定义一：也可表示为下面形式定义二：例三：己知函数 f(x)在点的导数，求极限例三的结果可以作为公式使用。例四：已知，计算（二）基本初等函数导数公式和导数的四则运算公式定义：若极限存在，就说此极限是函数 y=f(x)的导数，记作。下面的结果是数学工作者根据导数的定义计算的结果，学员应熟记下面重要公式：以上 16 个结果，希望同学们能够通过做练习熟练掌握住，

3、因为要用导数的定义求 得 16 个基本数的导数，比较麻烦，用了导数公式表，如果碰到是基本初等函数求导， 不用导数的定义，用导数公式表即可， 因此用导数的定义求导数，多数是分段函数或 者必须用导数定义求导数的情况。典型例题 例一：填空幂函数的写法：下面第二节 导数的四则运算公式与极限的四则运算公式有区别， 我们不加推导地用定义的形式 介绍如下： 定理：若函数 u(x)与 v(x)都有导数，则如果两个函数中，其中有一个是常数，根据乘法公式：两项和，第一项是第一个函 数的导数乘以第二个函数，第二项是第一个函数乘以第二个函数的导数，由于常数的导 数等于零，常数乘以该函数的导数就为零，所以，如果一个系数

4、乘以一个函数求导数， 系数照常写，只要求该函数的导数即可。例二：求下列函数的导数以后，我们也将函数 f(x)在点 x=a 处的导数称为导数在点 x=a 处的值，简称函 数 f(x)在 x=a 处的导数（值）。例三：已知 解：因为是导数在 x=1 处的值，所以，第一步先求导数第二步，再求导数在 x=1 处的值 =2+1=3 今后，若函数 f(x)在点 的导数值存在，就说函数 f(x)在点 可导；反之，若函 数 f(x)在点 导数值不存在，就说函数 f(x)在点 不可导。 一个函数 f(x)在某一点 可导与该点 连续有下面的关系：证：因为 f(x)在 x= 可导请学员注意，本定理只说明函数 f(x

5、)在某一点可导，则在该点一定连续，即可导是 连续的充分条件，反过来未必正确，我们可以举一个例子说明函数 f(x)在一点连续，在 该点未必可导，请看：关于导数，左导数，右导数有下面关系：用定义求函数 f(x)的左右导数是很不方便，但是在特殊情况下可以比较方便的求函 数的左导数和右导数上面的定理说明， f(x)的左导数值等于 f(x)在点的左函数的导 数值；右导数值等于 f(x)的右函数在点的导数值。典型例题证：()()f(a)=0 f(x)在 x=a 连续本例再一次说明连续函数不一定可导（三）导数的几何意义和物理意义 （1）导数的几何意义 若曲线 y=f(x)在其上一点处有切线(见下图)， 则可

6、证明切线的斜率 K 与函数 f(x)在点处的导数值相等。即因而有曲线在点处的切线方程为，其中 曲线在点处的法线方程为例一：（1）求曲线(2)求曲线的平行于直线的切线方程。 解：先求切点，因为直线的斜率就是 x 的系数，所以的斜率为 4。 由 于的切线与直线平行，所以切线的斜率与直线的斜率相 等，得，解得。 当时，这时的切线为； 当时，这时的切线为下面第三节 例二：（1）己知在点（-1，0）相切，求 a，b，c. 解：切点（）是曲线上的点，代入曲线方程，（i） （）两曲线在（-1，0）相切，它们在点（-1，0）的切线斜率相等，即3+a=-2b 解得 a=-1，b=-1，c=1 （2）巳知 解：设

7、切点为（），所以切点处两曲线的斜率相同，得ln2a=-1（2）导数的力学意义 若质点在直线上的运动路程 s 与时间 t 的关系为 s=s（t），则该质点的运动速度为：例三： 质点在直线上的运动方程为， 求质点的速度及在时刻 t=2 的瞬时速 度：（四）复合函数的导数公式和对数求导法。 （1）复合函数的导数公式 下面，我们不加推导的介绍复合函数的导数公式：上面的公式叫链导公式，其中典型例题解：先写出复合过程， 解：先写出复合过程，在经过多次练习对链导公式掌握熟练以后，复合过程可以记在心里而不必写出， 直 接用链导公式写出结果。今后，我们用表示函数表示 。 （解一）：先写出复合过程，（解二）直接用

8、链导公式求导（解一）先写出复合过程（解二）直接用链导公式求导 如果复合函数由三个可导函数复合而成，链导公式可以推广为：（解一）先写出复合过程（解二）直接用链导公式解：直接用链导公式当函数 y=f(x)中同时既有四则运算又有复合运算，而且四则运算在外层时，应先进 行四则运算。例十四：求： 解：形为的函数叫幂指函数，它可以转化为指数函数为下：(2)先取对数后求导数的方法，故称对数求导法。 在求复合函数的导数时，有下面结果：解：先将上式取对数，然后化简得：然后将上两边对 x 求导数将上式两边都对 X 求导数高阶导数 定义：，叫 y 的二阶导数； ，叫 y 的三阶导数； ,叫 y 的四阶导数；，叫 y

9、 的五阶导数； , 叫 y 的 n 阶导数。 要求学员会用高阶导数的定义求一些简单情形下的 n 阶导数。例一：,求 y 的各阶导数，因为次数最高为 10，所以所有高于 10 的函数的导数都为零。下面第五节上面的结果，可以归纳为下面的分式：例七填空 _ _ _ _ _解：7!, 0，、5!、，例八：求下列函数的二阶导数例九：已知函数 y=f(x)的八阶导数，求它的十阶导数例十：验算，满足方程：（五）微分 （1）在介绍导数的定义时，我们把符号X 叫 X 的增加量，当X0 时，就说 X 是 X 的微小增加量，这时也可将X 记作 dx,而 dx 是 X 的微小增加量。 下面我们把 dx 叫函数 y=f

10、(x)的微分，记作 dy，即 y 的微分等于 y 的导数乘 X 的 微小增加量 dx，即：，dx 也叫 x 的微分 由微分定义知道：y 的导数也可以理解为 y 的微分 dy 与 x 的微分 dx 的商，因此也叫微商。同样地，我们将 y 在 x 处的导数乘以 X 的微分 dx 叫函数 y 在点处的微分，记作：（2）近似计算公式 可以证明，y 的增加量yy-y0与 y 在点处的微分，当x0 时，近似相等，即：x很小时，或x很小时，即：|x|很小时，我们用x1 很小时，表示X 很小 则有：x1 时， 或：x1 时， x1 时， 特别情形：时，有： x1 时，例一证明：x1 时， 证：令|x|1， 将

11、x 用文字 X 替换得 x1 时，例二证明|x|1 时，当|x|1 时，|x|1 时，用 X 替代X 得：|x|1 时，例三：证明：|x|1 时，例四：证明上面的结果总结一下，在近似计算中可以作为公式使用。下面是第六节 典型例题：例二：填空 ln1.01 解：例三：求的近似值。 x 很小的时候，sinx=x，x 的单位：弧度注意：在近似计算公式 Sinx 中，X 的角度必须用弧度。例四：求的近似值经济名词介绍： （1）在经济学当中常用： C 表示产品的总成本； R 表示产品的收入； L 表示产品的利润； Q 或 X 表示产量； D 表示产品的需求量或销售量，在产销平衡时 D 和 Q 相同，可不

12、加区别； P 表示产品每单位的售价，商品价格，它们的关系为：LRC，RPQ。 （2）微积分学的导数在经济中叫边际，边际就是导数，导数就是边际。 若成本是产量的函数 C=C(Q)，则收入对产量的导数叫边际成本，记作 MC， 即 MC=； 若收入是产量的函数 RR(Q)，则收入对产量的导数叫边际收入，记作 MR， 即 MR=； 同样，利润 L 对产量 Q 的导数叫做边际利润，记作 ML，即 ML=。（3）若产品的供给量 S 是价格 P 的函数，则叫产量的供给弹性，记作 ES/EP，即若产品的需求量 D 是价格 P 的函数 D=D(P)，则叫产品的需求弹性，记作ED/EP，即 需求弹性在等号右边添负

13、号，是因为需求量 D 是价格的减函数，添负 号后可是 ED/EP0。 需求弹性 ED/EP 的经济意义是：当价格 P 增加 1%时，需求量减少 ED/EP%典型例题 例一：例二：已知产品的供给量 s=100+0.02P2，求供给弹性及价格p=10时的供给弹性值。例三：已知产品的需求量 D=1000-2P，求产品的需求弹性，并计算 （1）P200 时的弹性和 P=200 时的收入，说明它的经济意义； （2）P250 时的弹性和 P=250 时的收入，说明它的经济意义； （3）P300 时的弹性和 P=300 时的收入，说明它的经济意义。（1）它说明价格 p 增加 1时，售量 D 减少 当 P20

14、0 时，售量 D1000-400600收入 RPD200600120000（2）P250 时它说明价格 P 增加 1时，售量减少 1 当 P250 时，售量 D500 收入 RDP500250125000（3）P300 时，它说明价格增加 1时，售量减少（3/2）% 当 P300 时，售量 D400 收入 RPD300400120000 由本例可见，价格过高过低收入都低，只有需求弹性为 1 时的收入最高。例四：证明（1）即这时价格增加会使收入增加。（2），即这时价格增加反而会使收入减少。（3）是驻点而且是极大值点。因为只有一个极大值，所以 ED/EP1 是最大值点，即 ED/EP1 时，收入最多。三、同步练习题（2） 若g （x） 在x1处不可导， 但在x1处有极限且（5）求曲线 ylnx 在点 xe 的切线和法线方程。 （6）在曲线上求一点，使过该点的切线与直线 y5x1 平行，并求出 该切线方程。 （7）已知相切，求 a，并写出切线方程。 （8）质点的运动方程为，求时刻 t2 时的速度。；ln0.98（36）填空 则 则 答案：（三）同步练习题答案切线与直线 y=5x+1 平行，所以它的斜率相同，由于 y=5x+1 的斜率为 5，所以 切线的斜率也是 5，得：（7）设切点为() （）（） 在切点处它们的斜率相等。代入上式得：