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1、人之所以能，是相信能！人之所以能，是相信能！1第第 11 章、全等三角形章、全等三角形 1.全等三角形：全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形。全等三角形的有关概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角 形重合在一起，重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。 2.三角形全等的判定： 、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称 SSS)。 、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。 、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。 、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 。 、直角三角
2、形全等条件有：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 。 3.角平分线的性质： 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三 边的距离相等。 拓展知识：拓展知识： 1.寻找全等三角形对应边、对应角的规律： 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角 有公共边的，公共边一定是对应边 有公共角的，公共角一定是对应角 有对顶角的，对顶角是对应角全等三角形中的最大边(角)
3、是对应边(角)，最小边(角) 是对应边(角) 2找全等三角形的方法 （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形 中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 一、例一、例题讲题讲解及答解及答题规题规范：范：例 1已知，求证：。证明：人之所以能，是相信能！人之所以能，是相信能！2例 2：求证：等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边。已知：如图，求证：. 证明： 二、三角形中常二、三角形中常见辅见辅助助线线的作法的作法
4、1、延长中线延长中线构造全等三角形 例 1 如图 1，已知ABC 中，AD 是ABC 的中线，AB=8，AC=6，求 AD 的取值范围 提示：延长 AD 至 A，使 ADAD，连结 BA根据“SAS”易证ABD ACD，得 ACAB这样将 AC 转移到ABA 中，根据三角形三边关系定理可解2、引平行线引平行线构造全等三角形 例 2 如图 2，已知ABC 中，ABAC，D 在 AB 上，E 是 AC 延长线上一点，且 BDCE，DE 与 BC 交于点 F求证：DF=EF 提示：此题辅助线作法较多，如： 作 DGAE 交 BC 于 G； 作 EHBA 交 BC 的延长线于 H；人之所以能，是相信能
5、！人之所以能，是相信能！3再通过证三角形全等得 DFEF 3、作连线作连线构造等腰三角形 例 3 如图 3，已知 RTACB 中，C=90，AC=BC，AD=AC，DEAB，垂足为 D，交 BC 于 E求证：BD=DE=CE提示：连结 DC，证ECD 是等腰三角形4、利用翻折利用翻折，构造全等三角形 例 4 如图 4，已知ABC 中，B2C，AD 平分BAC 交 BC 于 D求证： ACABBD提示：将ADB 沿 AD 翻折，使 B 点落在 AC 上点 B处，再证 BD=BDBC，易得ADBADB，BDC 是等腰三角形，于是结论可证5、作三角形的中位线作三角形的中位线 例 5 如图 5，已知四
6、边形 ABCD 中，ABCD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，BA、CD 的延长线交 EF 的延长线于点 M、N求证：BMECNE 提示：连结 AC 并取中点 O，再连结 OE、OF 则 OEAB，OFCD， 故1BME，2CNE 、 且 OE=OF，故12，可得证人之所以能，是相信能！人之所以能，是相信能！4【同步练习同步练习】 1、选择题 1、如图，ABCBAD，点 A 和点 B，点 C 和点 D 是对应点，如果 AB=6，BD=5，AD=4，那么 BC 的长是（ ） A、4； B、5； C、6； D、无法确定. 2、使两个直角三角形全等的条件是（ ） A、一锐角对应相等； B、两锐角
7、对应相等； C、一条边对应相等； D、两条边对应相等. 3下列命题中正确的是（ ） 全等三角形对应边相等； 三个角对应相等的两个三角形全等； 三边对应相等的两三角形全等；有两边对应相等的两三角形全等。 A4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 二、填空题 4、如图，1=2，要使ABEACE，还需添加一个条件是 （填上你认 为适当的一个条件即可）.5、如图，ACBD 于 O，BO=OD，图中共有全等三角形 对. 三、证明题 6、如图，D、E 在 BC 上，且 BD=CE，AD=AE，ADE=AED，求证:AB=AC.8、如图，BD=CD，BFAC，CEAB.求证:点 D 在BAC 的平分线上
8、.ACDBACEB2 B1 B第 4 题图ACBDE第 5 题 图人之所以能，是相信能！人之所以能，是相信能！5第第 12 章、轴对称章、轴对称 1、图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图 形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 2、轴对称与轴对称图形的区别、轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形 是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全 等形，并且成轴对称 3、线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，
9、叫做这条线段的垂直平分线（或线段的 中垂线） （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个 端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此线段的垂直平分线可以看成与线段两 个端点距离相等的所有点的集合 4、作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点 （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形 5、用坐标表示轴对称 关于坐关于坐标轴对标轴对称称点 P（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标是（x，-y） 点 P（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标是（-x，y） 关于原点关于原点对对称称点 P（x，y）关于原点对
10、称的点的坐标是（-x，-y） 关于坐关于坐标轴夹标轴夹角平分角平分线对线对称称点 P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 y=x 对称的点的坐标是（y，x） 点 P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 y= -x 对称的点的坐标是（-y，-x） 关于平行于坐关于平行于坐标轴标轴的直的直线对线对称称点 P（x，y）关于直线 x=m 对称的点的坐标是（2m-x，y） ； 点 P（x，y）关于直线 y=n 对称的点的坐标是（x，2n-y） ； 6、等腰三角形 （1） 、等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ） 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上
11、的中线、底边上的高互相重合等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 特别提醒： 等腰三角形是轴对称图形. 等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.（ （2）、等腰三角形的判定定理）、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ） 特别提醒： （1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形 （2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形 （3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形 （4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形 7、等边三角形人之所以能，是相信能！人之所以能，是相信能！
12、6三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60。 等边三角形的判定方法等边三角形的判定方法 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形8、角平分线的性质、角平分线的性质 角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.ABCPMNOOP 平分AOB，PMOA 于 M，PNOB 于 N， PM=PN 【同步练习同步练习】 一、判断题 ( )1.全等的两图形必须关于某一直线对称. ( )2.关于某一条直线对称的两个图形叫轴对称图形. ( )3
13、.等腰三角形底边中线是等腰三角形的对称轴. ( )4.若两个三角形三个顶点分别关于同一直线对称则两个三角形关于该直线轴对称. ( )5.轴对称图形的对称轴有且只有一条. ( )6.正方形的对称轴有四条. 二、选择题1.ABC 中C=Rt，有一点既在 BC 的对称轴上，又在 AC 对称轴上，则该点一定是( ) A.C 点 B.BC 中点 C.AC 中点 D.AB 中点 2.在角、线段、等边三角形、钝角三角形中，轴对称图形有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.下列说法正确的是( ) A.等边三角形只有一条对称轴 B.等腰三角形对称轴为底边上的高 C.直线 AB 不是轴对称图
14、形 D.等腰三角形对称轴为底边中线所在直线 4.下列图不是轴对称图形的是( ) A.圆 B.正方形 C.直角三角形 D.等腰三角形 5.O 为锐角ABC 的C 平分线上一点，O 关于 AC、BC 的对称点分别为 P、Q，则 POQ 一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.下列各命题的逆命题成立的是( ) A.若两图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的中垂线 B.两图形若关于某直线对称，则两图形全等. C.等腰三角形是轴对称图形 D.线段对称轴有二条人之所以能，是相信能！人之所以能，是相信能！7三、填空题 1.两图形关于直线对称，则两个图形一定
15、 . 2.若两图形关于直线对称，则图形上的对应点连线段被对称轴 . 3.等边三角形的对称轴有 条. 4.轴对称图形是对 个图形而言的，而轴对称是对 个图形而言的. 5.两图形关于某直线对称，若它们的对应线段相交，交点必在 上. 6.线段的对称轴除了它的中垂线外，还有 . 四、解答题 1.如图，线段 AB 的对称轴为直线 MN.P、Q 在 MN 上，求证PAQPBQ.2.如图，AD 为ABC 的角平分线，直线 MNAD 于 A.E 为 MN 上一点，ABC 周长记 为 PA，EBC 周长记为 PE.求证 PEPA.【 【实际实际运用运用】 】1.以树干为对称轴，画出树的另一半如图2.草原上两个居民点 A、B 在河
