《六自由度外弹道方程组的快速数值方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六自由度外弹道方程组的快速数值方法（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 1 4 年 9月 高等学 校计算数学 学报 第 3 6卷第 3期 一 ， 自由度外弹道方程组的快速数值方法 杨青 ( 中国船舶工业集团公司船舶系统工程部， 北京 1 0 0 0 9 4 ) 李若 蔡振宁 ( 北京大学数学科学学院， 北京 1 0 0 8 7 1 ) A FAST N UM ERI CAL M ETH 0D F0R THE S I X D EGREES oF FREED oM M oDEL I N TH E EXTERN AL BALLI S TI CS Y a n g Qi n g ( De p a r t me n t o f S y s t e ms E n g i
2、 n e e r i n g ， C h i n a S t a t e S h i p b u i l d i n g C o r p o r a t i o n ， B e i j i n g 1 0 0 0 9 4 ) Li Ru o Ca i Z h e n n i n g ( S c h o o l o f Ma t h e ma t i c a l S c i e n c e s ， P e k in g U n i v e r s i t y ， B e ij in g 1 0 0 8 7 1 ) Abs t r ae t Thi s p a pe r c o nc e nt r
3、 a t e s o n t h e nu me r i c a l s o l u t i o n O t h e e xt e r i o r t r a - j e c t o r y o f g r e n a d e s We c o n s i d e r t h e mo d e l wi t h s i x d e g r e e s o f f r e e d o m， wh i c h i s a n i ni t i a l v a l u e p r o bl e m of a n o r di n a r y di ff e r e nt i a l s y s t
4、e m wi t h t we l v e v a r i a b l e s Du e t o t he h i g h o s c i l l a t i ng p r o pe r t y o f t h e e q ua t i o n s ，o nl y v e r y s ma l l t i me s t e p s mus t be us e d wh e n t h e e xp l i c i t Ru ng e Ku t t a me t h od s a r e a pp l i e d，whi c h l e a d s t o a n un s a t i s f
5、y i ng e ffic i e n c yI n t hi s pa pe r ，we us e t h e s k i l l o f a s y mpt o t i c e x pa n s i o n t o o bt a i n t h e a na l yt i c a l e x pr e s s i o ns o f t h e a pp r o x i ma t e s o l ut i o n s of t wo v a r i a bl e s Th u s t h e o s c i l l a t i o ns i n t he s o l u t i o n s
6、a r e s i g n i fic a n t l y r e duc e d，a nd t he t i m e s t e p c a n be e nl a r g e d i nt r i n s i c a l l y Nume r i c a l e x a mpl e s s ho w t h a t t he e ffic i e nc y i s e ff e c t i v e l y e nha n c e d b y t hi s me t h od 收稿日期： 2 0 1 3 一 O l 一 0 1 2 5 4 杨青等： 六自由度外弹道方程组的快速数值方法 第 3
7、期 Ke y wo r d s e x t e r i o r t r a j e c t o r y ， R u n g e K u t t a ， a s y mp t o t i c e x p a n s i o n A MS ( 2 0 0 0 ) s u b j e c t c l a s s i fi c a t i o n s 3 4 E 0 5 ， 6 5 L 0 5 中图法分类号O2 4 ， 02 9 1 模型描述 在现代海上战争中，为提高舰炮的射击命中概率，精确实时地求解炮弹弹道是舰炮 系统的一项核心任务 在 目前大多数系统之中， 为 了加快求解速度， 一般将炮弹当成一个
8、 质点进行处理，即忽略弹丸飞行期间产生的进动 、章动和 自转 ， 仅保留炮弹空间坐标三 个自由度来求解弹道 ( 参见 4 ) 这样虽然大大提高了求解速度， 但却损失了一定的解的 精度本文将炮弹作为一个刚体看待 ，给出了求解炮弹六 自由度刚体弹道方程组一个快 速算法， 使求解炮弹弹道的实时性要求在增加三个 自由度的条件下也能够得到很好的满 足 考虑如下适用于轴对称炮弹的六自由度刚体弹道方程组 ( 7 j 6 ) ( T) dv一 出一 仇 。 一dO a一 F d t m f J c o s 2 。 ： dt f r t V 警= ， ：去 一 t a I 1 =去 坂 + ( t a n ：
9、d t C O S 2 d 2 d t 一 “ ， 面dx V COS 2 c。s ， dy ? 2 C OS 2 s i n 。， dz ， 面 ” n 2 ， =一 ( ) ， 其中V 为炮弹速率， 0 。 为速度高低角， 于是它们的初值应分别为炮弹的初速和射角 ( X ， Y ， ) 构成了炮弹的空间坐标， Y表示高度 为避免繁琐，其余各变量的物理意义及数学表达式 、 i i ) ) i ) 0 l 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 11 11 l 1 ，L，I；，；，L，l， ，L 2 0 1 4 年 9月 高 等 学 校 计 算
10、数 学 学 报 2 5 5 我们将在附录 A中给出这里仅给出我们所关心的两个力矩分量的表达式 ( 分别位于弟 ( 1 5 ) 式和第 ( 1 6 ) 式 中) =譬 一 z 2rl Tp S ld m , 面 1 忡 (1 13 ) M ( = 一 譬 一 z a ) - Tp S l d m , 面 1 吩 ( 1 _1 4 ) 对问题 ( T )的快速求解是实现六 自由度弹道方程实时性 的首要条件 假设初速率V O及 射角 。 给定 ， 在选定合适的坐标系后， 方程组的初值条件为 n= 2 0 ， ， 0 ， 0 ， ( 11 5 ) n= 。 。 ， 2= 0 ，X = 0 m ，Y=
11、0 m，z= 0 m，P= 1 0 Pa 2 常微分方程组的求解 2 1解的形态及求解的困难 我们考虑使用显式 R u n g e K u t t a型的方法来求解弹道方程。 为对解的形态有一大致 认识 ， 我们首先用古典四级四阶 Ru n g e K u t t a 方法对问题 ( T ) 采用小的时间步长求解 ( 参 见 2 ) ， 从而得到较为精确的数值解 为方便描述 ， 记问题 ( T ) 为 J _ 9 (y )， ， f2 1 l y( 0 ) =yf o ) 作为数值实验 ，取 = 9 8 0 m s ， 。 。= 7 r 6 ， = 0 ，再根据 ( 1 1 5 )式给出 Y
12、叭，取 At ：h：0 0 1 s ，采用如下古典四级四阶 Ru n g e Ku t t a公式求解 ( 2 1 ) y( n + 1 ) -y( n + ( K1 +2 K2 +2 K3 + ) ， K1 =9 ( y( ) ) ， = 9( y + 2 ) ，(2 2 ) = 9 Y cn + ) ， K4 ：g f y(n +A r K3 1 求解过程直至 0 ： 0 ， ( 2 1 2 ) 并应用公式 ( 2 1 1 ) ， 就得到 =等+ 1 0 w o ( O o,J1d t O t + 等O t ) + - (2 1 3 ) 】 2 一 1 ， 以及 = 可0 200 + 2
13、0 2w o + 1 可0 2W o ( 可0 209 1 + 2 0 2CQ 1 + 1E 0 5w_；2i ) + _ (2 14d t O t O t ) 2 芒 。 E 亡1 2 2 亡l 。 、 。 a 亡1a 亡2 。 E 2 ； l 。 。 将 ( 2 1 3 ) 和 ( 2 1 4 ) 代入 ( 2 9 ) ， 即有 0 嘲20, 0 + 2 02 0 2 0 + 1可0 2co 0 ) + gs+ k ( 等十 兰 + 刍 等) + + 1 0 w o ( + 1 O W 1 +f 0 +E 】 ) + 一A f +E 2 f 2 6 0 杨青等： 六自由度外弹道方程组的快速
14、数值方法 第 3期 取 冥中 ( 1 ) 量级 的项做 匹配 ，得到 + 00 o O t + 。 ( 2 1 6 ) 2。 2。 一 一 “ 由此可解出 u 。 ( t z ) ： e 。 ( 。 。 ( ) c 。 s 。 + 6 。 ( ) s in t ) ， ( 2 1 7 ) 其中 a o ( t 1 ) 和 b o ( t 1 ) 需要满足 的初值条件 在 ( 2 3 )中，设初值条件为 ( 0 ) =c o ( o ) ， 那么方程组 ( 2 9 )的初值条件应为 ( O ) = ， ( 0 ) =Aw( 。 +， ( O ) ， ( 2 1 8 ) 其中 ( 。 ) 和 Aw
15、( 。 ) 的部分应 由大小为 O( 1 )量级的部分 0来满足， 即 ( 筹+ 1 0 w o ) = (2 1 9 ) 于是 a O ( t 1 ) ， b o ( t 1 ) 所应满足的条件为 。 。 ( 0 ) = 叭， 。 ( 0 ) +b 。 ( 0 ) =Aw( U 1 ( 2 2 0 ) 类似地 ， 我们对 ( 2 1 5 )中 0( E ) 量级的项做匹配 ， 为了匹配成功， 须令 ：1 于是有 2 02 O ,) 0+ 可0 20)1 + ( + ) = 一 f一 2 十 可十 十 十 一 A (2 1 将 ( 2 1 7 ) 代入上式 ， 得到 等+ = ( 。 1) C。 s s n
