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1、第 1 章 有限元分析方法及 NX Nastran 的由来1.1 有限元分析方法介绍计算机软硬件技术的迅猛发展，给工程分析、科学研究以至人类社会带来急剧的革命 性变化，数值模拟即为这一技术革命在工程分析、设计和科学研究中的具体表现。数值模 拟技术通过汲取当今计算数学、力学、计算机图形学和计算机硬件发展的最新成果，根据 不同行业的需求，不断扩充、更新和完善。1.1.1 有限单元法的形成近三十年来，计算机计算能力的飞速提高和数值计算技术的长足进步，诞生了商业化 的有限元数值分析软件，并发展成为一门专门的学科计算机辅助工程 CAE（Computer Aided Engineering） 。这些商品化
2、的 CAE 软件具有越来越人性化的操作界面和易用性，使 得这一工具的使用者由学校或研究所的专业人员逐步扩展到企业的产品设计人员或分析人 员，CAE 在各个工业领域的应用也得到不断普及并逐步向纵深发展，CAE 工程仿真在工 业设计中的作用变得日益重要。许多行业中已经将 CAE 分析方法和计算要求设置在产品 研发流程中，作为产品上市前必不可少的环节。CAE 仿真在产品开发、研制与设计及科 学研究中已显示出明显的优越性：CAE 仿真可有效缩短新产品的开发研究周期。虚拟样机的引入减少了实物样机的试验次数。大幅度地降低产品研发成本。在精确的分析结果指导下制造出高质量的产品。能够快速对设计变更作出反应。能
3、充分和 CAD 模型相结合并对不同类型的问题进行分析。能够精确预测出产品的性能。增加产品和工程的可靠性。采用优化设计，降低材料的消耗或成本。在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题。模拟各种试验方案，减少试验时间和经费。进行机械事故分析，查找事故原因。 当前流行的商业化 CAE 软件有很多种，国际上早在 20 世纪 50 年代末、60 年代初就 投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国 家宇航局（NASA）在 1965 年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的 NastranNX Nastran 基础分析指南2有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个
4、版本，是目前世界上规模最大、功能最强的 有限元分析系统。从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也发展了一批专用或通用有 限元分析软件，除了 Nastran 以外，主要还有德国的 ASKA、英国的 PAFEC、法国的 SYSTUS、美国的 ABAQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC 和 STARDYNE 等公司的产品。虽然软件种类繁多，但是万变不离其宗，其核心求解方法都 是有限单元法，也简称为有限元法（Finite Element Method） 。 在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。其中的第一类问题，可以归结为有 限个已知单元体
5、的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构，把这类 问题称为离散系统。如图 1-1 所示的平面桁架结构，是由 6 个承受轴向力的“杆单元”组 成。这种简单的离散系统可以手工进行求解，而且可以得到其精确的理论解。而对于类似 图 1-2 所示的这类复杂的离散系统，虽然理论上来说是可解的，但是由于计算工作量非常 庞大，就需要借助计算机技术。图 1-1 平面桁架系统 图 1-2 某车身有限元模型第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。 例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是 无限小的单元，这类问题称为连续系统。这里
6、以热传导问题为例做一个简单的说明。 下面是热传导问题的控制方程与换热边界条件：（1-1）QTTTTcxxyyzzt初始温度场也可以是不均匀的，但各点温度值是已知的：（1-2） 00x,y,zTTt通常的热边界有三种，第三类边界条件如下形式：（1-3）fTh TTn 尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单 问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。为了解决这一困难， 工程师们和数学家们提出了许多近似方法。第 1 章 有限元分析方法及 NX Nastran 的由来3在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的 结
7、果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到 20 世纪 50 年代，来源于固体力学中矩阵 结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标 准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。 1956 年，M.J.Turner，R.W.Clough，H.C.Martin，L.J.Topp 在纽约举行的航空学会年 会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把连续几何 模型划分成一个个三角形和矩形的“单元” ，并为所使用的单元指定近似位移函数，进而 求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。19541955 年，J.H.Arg
8、yris 在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1960 年，Clough 在著名的题为“The Finite Element in plane stress analysis”的论文中 首次提出了有限元（Finite Element）这一术语，并在后来被广泛地引用，成为这种数值方 法的标准称谓。 与此同时，数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和 加权余量法，这为有限元方法在以后的发展奠定了数学和理论基础。 在 1963 年前后，经过 J.F.Besseling，R.J.Melosh，R.E.Jones，R.H.Gallaher，T.H.H.Pian（卞学
9、磺）等许多人的工 作，人们认识到有限元法就是变分原理中 Ritz 近似法的一种变形，从而发展了使用各种 不同变分原理导出的有限元计算公式。 1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung（张佑启）发现，对于所有的场问题，只要能 将其转换为相应的变分形式，即可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。 1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指出可以用加权余量法特别是迦辽金（Galerkin）法， 导出标准的有限元过程来求解非结构问题。 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈 伯屏（结构矩阵方法） ，钱令希（余能原理） ，钱伟
10、长（广义变分原理） ，胡海昌（广义变 分原理） ，冯康（有限单元法理论） 。1.1.2 有限元法的基本思路有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元 提出一个近似解，再将所有单元按标准方法加以组合，从而形成原有系统的一个数值近似 系统，也就是形成相应的数值模型。 下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。 等截面直杆在自重作用下的材料力学解答： 受自重作用的等截面直杆如图 1-3 所示，杆的长度为 L，截面积为 A，弹性模量为 E，单位长度的重量为 q，杆的内力为 N。试求：杆的位移分布、杆的应变和应力。 ( )()N xq LxNX Nastran
11、基础分析指南4( )d()dd ( )N xxq LxxL xEAEA（1-4）20( )d( )()2xN xxqxu xLxEAEAd()dxuqLxxEA)(xLAqExx图 1-3 受自重作用的等截面直杆 图 1-4 离散后的直杆等截面直杆在自重作用下的有限元法解答： （1）连续系统离散化 如图 1-4 所示，将直杆划分成 n 个有限段，有限段之间通过公共点相连接。在有限元 法中将两段之间的公共连接点称为节点，将每个有限段称为单元。节点和单元组成的离散 模型就称为对应于连续系统的“有限元模型” 。 有限元模型中的第 i 个单元，其长度为 Li，包含第 i，i+1 个节点。 （2）用单元
12、节点位移表示单元内部位移 第 i 个单元中的位移用所包含的节点位移来表示：（1-5）)()(1 i iii ixxLuuuxu其中为第 i 节点的位移，为第 i 节点的坐标。第 i 个单元的应变为，应力为，iuixii内力为：iN（1-6）1d dii i iuuu xL（1-7）iii iiLuuEE)(1（1-8）iii iiLuuEAAN)(1第 1 章 有限元分析方法及 NX Nastran 的由来5（3）把外载荷归集到节点上把第 i 单元和第 i+1 单元重量的一半，归集到第 i+1 节点上，如图 1-52)(1iiLLq所示。图 1-5 集中单元重量（4）建立节点的力平衡方程 对于
13、第 i+1 节点，由力的平衡方程可得：（1-9）2)(1 1 ii iiLLqNN令，并将（1-8）代入得：1ii iLL（1-10）2 21)11 (2)1 (i iiiiiiLEAquuu根据约束条件，。01u对于第 n+1 个节点，2n nqLN （1-11）EAqLuun nn221建立所有节点的力平衡方程，可以得到由 n+1 个方程构成的方程组，可解出 n+1 个 未知的节点位移。1.1.3 有限元法的计算步骤有限元法的计算步骤归纳为以下 3 个基本步骤：网格划分、单元分析、整体分析。 （1）网格划分NX Nastran 基础分析指南6有限元法的基本做法是用有限个单元体的集合来代替原
14、有的连续体。因此首先要对弹 性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过节点相 连接。由单元、节点、节点连线构成的集合称为网格。 通常把三维实体划分成四面体或六面体单元的实体网格，平面问题划分成三角形或四 边形单元的面网格，如图 1-6图 1-14 所示。图 1-6 四面体四节点单元 图 1-7 六面体八节点单元图 1-8 三维实体的四面体单元划分 图 1-9 三维实体的六面体单元划分图 1-10 三角形三节点单元 图 1-11 四边形四节点单元第 1 章 有限元分析方法及 NX Nastran 的由来7图 1-12 平面问题的三角形单元划分 图 1-13 平面问题
15、的四边形单元划分图 1-14 二维及三维混合网格划分（2）单元分析 对于弹性力学问题，单元分析就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。 由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一 个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。 以平面问题的三角形三节点单元为例。如图 1-15 所示，单元有三个节点 I、J、M， 每个节点有两个位移 u、v 和两个节点力 U、V。 单元的所有节点位移、节点力，可以表示为节点位移向量（Vector）：NX Nastran 基础分析指南8节点位移节点力 mmjjiievuvuvu mmjjiieVUVUVUF图 1-15 三角形三节点单元单元的节点位移和节点力之间的关系用张量（Tensor）来表示，（1-12） eeeFK（3）整体分析 对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与节点位移的关系，以解出节点 位移，这个过程称为整体分析。同样以弹性力学的平面问题为例，如图 1-16 所示，在边界节点 i 上受到集中
