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1、求磁场区域最小面积的三类问题求磁场区域最小面积的三类问题1、右图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 B=2010-3T,在 X 轴上距坐标原点 L=050m 的 P 处为离子的入射口，在 Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以 v=35104m/s 的速率从 P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点 L=050m 的 M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为 m,电量为 q,不记其重力。（1）求上述粒子的比荷；（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿 y 轴正方向做匀速直
2、线运动，求匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在 M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。2、如图所示，在竖直平面内，虚线 MO 与水平线 PQ 相交于 O，二者夹角 =30，在 MOP 范围内存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，MOQ 上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，O 点处在磁场的边界上，现有一群质量为 m、电量为+q 的带电粒子在纸面内以速度 v（0v）垂直于 MO 从 O 点射入磁场，所有粒子通过BE直线 MO 时，
3、速度方向均平行于 PQ 向左，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。求： （1）速度最大的粒子在磁场中运动的时间； （2）速度最大的粒子打在水平线 POQ 上的位置离 O 点的距离； （3）磁场区域的最小面积。3、如图，ABCD 是边长为 a 的正方形。质量为 m、电荷量为 e 的电子以大小为 v0的初速度沿纸面垂直于 BC 变射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从 BC 边上的任意点入射，都只能从 A 点射出磁场。不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。4、如图所示，在 xoy 坐标系第一象限内有一个与 x 轴相切于 Q 点的
4、有理想边界圆形匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向外，一带电粒子（不计重力）质量为 m，带电荷量为+q，以初速度 v0从 P 点进入第一象限，已知 =30经过该圆形有界磁场时速度方向改变了=60，并从 x 轴上的 Q 点射出试求：（1）该圆形磁场区域的半径 R；（2）该粒子在磁场中的运动时间 t（3）使带电粒子不能穿过 x 轴时圆形磁场区域的最小半径 r解析：第（1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。第（2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。（1）设粒子在磁场中的运动半径为r。如图甲，依题意 M、P 连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的
5、直径，由几何关系得22Lr 由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得rvmqvB2 联立并代入数据得=49107C/kg（或 50107C/kg） mq（2）设所加电场的场强大小为 E。如图乙，当粒子子经过 Q 点时，速度沿 y 轴正方向，依题意，在此时加入沿 x 轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有qvBqE 代入数据得CNE/70所加电场的长枪方向沿 x 轴正方向。由几何关系可知，圆弧 PQ 所对应的圆心角为 45，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为 T，所求时间为t，则有Tt0035045vrT2联立并代入数据得st6109 . 7（3）如图丙，所求的最小矩形是
6、，该区域面积PPMM1122rS 联立并代入数据得 225. 0mS 矩形如图丙中（虚线）PPMM11解：（1）因粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左，说明粒子速度方向改变了，由几何关系可得粒子的运动轨迹如图所示。设32粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t1因为qBmT2所以 qBmTt32 311（2）由，得 RmvqvB2 2qBmE qBmvR设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，设匀速运动的距离为s，由几何关系知： 23 tanqBmERS过MO后粒子在电场中做类平抛运动，设运动的时间为t2，则：得： 220 2130
7、sintmqERRqBmt32 由几何关系知，速度最大的粒子打在水平线POQ上的位置离O点的距离2222223533 23cosqBmE qBmE qBmE qBmEvtsROPL（3）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积是速度最大的粒子在S磁场中的轨迹与ON所围成的面积扇形的面积 NOO2 31RS的面积为：NOO2002 4330sin30cosRRS SSS4222 )43 3(BqEmS解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为 B。令圆弧是自 C点垂直于 BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力Bevf
8、0应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在 CB 边或其延长线上。依题意，圆心在 A、C 连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为 a 按照牛顿定律有 220vmf 联立式得 eamvB0（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自 C 点垂直于 BC入射电子在 A 点沿 DA 方向射出，且自 BC 边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在 BAEC 区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中 A点的电子的速度方向与 BA 的延长线交角为 （不妨设）的20情形。该电子的运动轨迹 qpA 如图所示图中，圆的圆心为 O，pq 垂直于 BC 边，由式知，圆弧的半径仍为 a，在 D 为原点、DC 为 x 轴，AD 为 y 轴的坐标系中，P 点的坐标为sinax cos)cos(aaaay这意味着，在范围内，p 点形成以 D 为圆心、a 为半径的四分20之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以 B 和 D 为圆心、a 为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为
