概率论与数理统计各章重点与公式

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1、第一章 随机事件和概率 （1）排列组 合公式从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。（2）加法和 乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常 见排列重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题（4）随机试 验和随

2、机事 件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事 件、样本空 间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具 有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，表示事件，它们是 的子

3、集。 为必然事件， 为不可能事件。 不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的 关系与运算关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生）：如果同时有 ， ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可 表示为 A-AB 或者 ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A

4、B，或者 AB。A B=，则表示 A 与 B 不可能同时发生， 称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 。它表示 A 不发生的事 件。互斥未必对立。 运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)德摩根率： ，（7）概率的 公理化定义设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数 P(A)，若满足下列三 个条件：1 0P(A)1， 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件 ， ，有常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)

5、为事件 的概率。（8）古典概 型1 ， 2 。 设任一事件 ，它是由 组成的，则有 P(A)= =（9）几何概 型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本 空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为 几何概型。对任一事件 A， 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。（10）加法 公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法 公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A= 时，P( )=1- P(B)（12）条件 概

6、率定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)（13）乘法 公式乘法公式： 更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有 。（14）独立 性两个事件的独立性 设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。 若事件 、 相互独立，且 ，则有若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。 必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性 设

7、ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。（15）全概 公式设事件 满足 1 两两互不相容， ， 2 ，则有 。（16）贝叶 斯公式设事件 ， ， 及 满足 1 ， ， 两两互不相容， 0， 1，2， ， 2 ， ， 则 ，i=1，2，n。 此公式即为贝叶斯公式。 ， （ ， ， ） ，通常叫先验概率。 ， （ ， ， ） ，通常称为后验概率。贝 叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔

8、因”的推断。（17）伯努 利概型我们作了 次试验，且满足 u 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生； u 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样； u 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不 影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。 用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出 现 次的概率， ， 。第二章 随机变量及其分布 （1） 离散 型随 机变 量的 分布 律设离散型随机变量 的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的 概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,， 则称

9、上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 。 显然分布律应满足下列条件： （1） ， ， （2） 。（2） 连续 型随 机变 量的 分布 密度设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有 ， 则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1 。 2 。（3） 离散 与连 续型 随机 变量 的关 系积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用 相类似。（4） 分布设 为随机变量， 是任意实数，则函数函数 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。可以

10、得到 X 落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。分布函数具有如下性质： 1 ； 2 是单调不减的函数，即 时，有 ； 3 ， ； 4 ，即 是右连续的； 5 。 对于离散型随机变量， ； 对于连续型随机变量， 。0-1 分 布P(X=1)=p, P(X=0)=q二 项 分 布在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ， 则 可能取值为 。 ， 其中 ， 则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。 当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊 松 分 布设随机变量 的分布律为 ， ， ， 则称

11、随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者 P( )。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n） 。超 几 何 分 布随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几 何 分 布，其中 p0，q=1-p。 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。（5） 八大 分布均 匀 分 布设随机变量 的值只落在a，b内，其密度函数 在a，b上为常数 ，即axb其他， 则称随机变量 在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。 分布函数为axb0， xb。当 ax1x1 时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1 时，有 F(x,y2) F(x,

12、y1); （3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即（4） （5）对于 .（4）离散 型与连续 型的关系离散型X 的边缘分布为 ； Y 的边缘分布为 。（5）边缘 分布连续型X 的边缘分布密度为Y 的边缘分布密度为（6）条件 分布离散型在已知 X=xi 的条件下，Y 取值的条件分布为在已知 Y=yj 的条件下，X 取值的条件分布为连续型在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为 ； 在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形

13、二维正态分布 0（7）独立 性随机变量的函数若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn 相互独立， h,g 为连续函 数，则： h（X1，X2,Xm）和 g（Xm+1,Xn）相互独立。 特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。 例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。（8）二维 均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中 SD 为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为 （X，Y）U（D） 。 例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。 y 1D1 O 1 x图 3.1yD211O 2 x图 3.2yD3dc O a b x 图 3.

14、3（9）二维 正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中 是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 记为（X，Y）N（ 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（ 但是若 XN（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。Z=X+Y根据定义计算： 对于连续型，fZ(z) 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ） 。 n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分 布。 ， Z=max,min(X1,X2,Xn) 若 相互独立，其分布函数分别为 ，则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：（10）函 数分布分布设 n 个随机变量 相互独立

15、，且服从标准正态分布， 可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 分布，记为 W ，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机 变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设则t 分布设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n)。F 分布设 ，且 X 与 Y 独立，可以证明 的概率密度函数为我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个 自由度为 n2 的 F 分布，记为 Ff(n1, n2).第四章 随机变量的数字特征离散型连续型期望 期望就是平均值设 X 是离散型随机变量，其 分布律为 P( ) pk，k=1,2,n，（要求绝对收敛）设 X 是连续型随机变量， 其概率密度为 f(x)，（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X)Y=g(X)方差 D(X)=EX-E(X)2， 标准差 ，矩对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即 k=E(Xk)= , k=1,2, . 对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数 学期望为 X 的 k 阶中心矩， 记为 ，即= ， k=1,2, .对于正整数 k，称随机变 量 X 的 k 次幂的