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1、集合间的基本关系教案集合间的基本关系教案112 集合间的基本关系整体设计教学分析本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念在安排这部分内容时,本注重体现逻辑思考的方法,如类比等值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用 Venn 图,这有助于学生通过体会直观图示理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如与的区别三维目标1 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力2 在具体情境中,了
2、解空集的含义,掌握并能使用 Venn 图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想重点难点教学重点:理解集合间包含与相等的含义教学难点:理解空集的含义 时安排1 时教学过程导入新思路 1 实数有相等、大小关系,如=,7,3 等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)欲知谁正确,让我们一起观察、研探思路 2 复习元素与集合的关系属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1R类比实数的大小关系,如7,22,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1);(2);(3)推进新新知探究
3、提出问题(1)观察下面几个例子:A=1,2,3,B=1,2,3,4,;设 A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合;设=x|x 是两条边相等的三角形,D=x|x 是等腰三角形;E=2,4,6,F=6,4,2你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子中集合 A 是集合 B 的子集,例子中集合 E 是集合 F 的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子,类比实数中的结论:“若 ab,且 ba,则 a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然试想一下,根
4、据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？()试用 Venn 图表示例子中集合 A 和集合 B(6)已知 AB,试用 Venn 图表示集合 A 和 B 的关系(7)任何方程的解都能组成集合,那么 x2+1=0 的实数根也能组成集合,你能用 Venn 图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若 ab,且 b,则 a”相类比,在集合中,你能得出什么结论?活动：教师从以下方面引导学生:(1)观察两个集合间元素的特点(2)从它们含有的元素间的关系考虑规定:如果 A B,但存在 xB,且x
5、 A,我们称集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A)(3)实数中的“”类比集合中的 (4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图()封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制(6)分类讨论:当 A B 时,A B 或 A=B(7)方程 x2+1=0 没有实数解(8)空集记为 ,并规定:空集是任何集合的子集,即 A;空集是任何非空集合的真子集,即 A(A )(9)类比子集讨论结果：(1)集合 A 中的元素都在集合 B
6、 中;集合 A 中的元素都在集合 B 中;集合中的元素都在集合 D 中;集合 E 中的元素都在集合 F 中可以发现:对于任意两个集合 A,B 有下列关系:集合 A 中的元素都在集合 B 中;或集合 B 中的元素都在集合 A 中(2)例子中 A B,但有一个元素 4B,且 4 A;而例子中集合 E 和集合 F 中的元素完全相同(3)若 A B,且 B A,则 A=B(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部表示集合()如图 1121 所示表示集合 A,如图 1122 所示表示集合 B图 1-1-2-1 图 1-1-2-2(6)如图 1-1-2-3 和图 1-1-2-4 所示图 1-1-2-3
7、图 1-1-2-4(7)不能因为方程 x2+1=0 没有实数解(8)空集(9)若 A B,B ,则 A ;若 A B,B ,则 A 应用示例思路 11 某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格若用A 表示合格产品的集合,B 表示重量合格的产品的集合,表示长度合格的产品的集合已知集合 A、B、均不是空集(1)则下列包含关系哪些成立？A B,B A,A , A(2)试用 Venn 图表示集合 A、B、间的关系活动：学生思考集合间的关系以及 Venn 图的表示形式当集合 A中的元素都属于集合 B 时,则 A B 成立,否则 A B 不成立用相同的方法判断其他包含关系是否成立教师提示学生以
8、下两点:(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格(2)根据集合 A、B、间的关系画出 Venn 图解：(1)包含关系成立的有:B A, A(2)集合 A、B、间的关系用 Venn 图表示,如图 1-1-2-所示图 1-1-2-变式训练本 P7 练习 3点评：本题主要考查集合间的包含关系其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么判断两个集合 A、B 之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B 中的元素,再分析集合 A、B 中的元素之间的关系,得:当集合 A中的元素都属于集合 B 时,有 A B;当集合 A 中的元素都
9、属于集合 B,当集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A 时,有 A B;当集合 A 中的元素都属于集合 B,并且集合 B 中的元素也都属于集合 A 时,有 A=B;当集合 A 中至少有一个元素不属于集合 B,并且集合 B 中至少有一个元素也不属于集合 A 时,有 A B,且 B A,即集合 A、B 互不包含2 写出集合a,b的所有子集,并指出哪些是它的真子集活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集按集合a,b的子集所含元素的个数分类讨论解：集合a,b的所有子集为 ,a,b,a,b真子集为 ,a,b变式训练2007 东济宁一模,1 已知集合
10、 P=1,2,那么满足 Q P 的集合 Q 的个数是( )A4 B3 2 D1分析:集合 P=1,2含有 2 个元素,其子集有 22=4 个,又集合 Q P,所以集合 Q 有 4 个答案：A点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想通常按子集中所含元素的个数写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏思考:集合 A 中含有 n 个元素,那么集合 A 有多少个子集？多少个真子集？解：当 n=0 时,即空集的子集为 ,即子集的个数是 1=20;当 n=1 时,即含有一个元素的集合如a的子集为 ,a,即子集的个数是 2=21;当 n=2 时,即含有一个元素的集合如a,b的子集为 ,a
11、,b,a,b,即子集的个数是 4=22集合 A 中含有 n 个元素,那么集合 A 有 2n 个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合 A 有(2n-1)个真子集思路 212006 上海高考,理 1 已知集合 A=-1,3,2-1,集合 B=3,2若 B A,则实数=_活动：先让学生思考 B A 的含义,根据 B A,知集合 B 中的元素都属于集合 A,集合元素的互异性,列出方程求实数的值因为 B A,所以3A,2A 对 2 的值分类讨论解：B A,3A,2A2=-1(舍去)或 2=2-1 解得=1=1答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性本题容易出现 2=3,
12、其原因是忽视了集合元素的互异性避免此类错误的方法是解得的值后,再代入验证讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式变式训练已知集合=x|2-x0,集合 N=x|ax=1,若 N ,求实数 a 的取值范围分析:集合 N 是关于 x 的方程 ax=1 的解集,集合=x|x2 ,由于N ,则 N= 或 N ,要对集合 N 是否为空集分类讨论解：由题意得=x|x2 ,则 N= 或 N 当 N= 时,关于 x 的方程 ax=1 中无解,则有 a=0;当 N 时,关于 x 的方程 ax=1 中有解,则 a0,此时 x= ,又N , 20a 综上所得,实数 a
13、 的取值范围是 a=0 或 0a ,即实数 a 的取值范围是a|0a 2(1)分别写出下列集合的子集及其个数: , a,a,b,a,b,(2)由(1)你发现集合中含有 n 个元素,则集合有多少个子集？活动：学生思考子集的含义,并试着写出子集(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2)由(1)总结当 n=0,n=1,n=2,n=3 时子集的个数规律,归纳猜想出结论答案：(1) 的子集有: ,即有 1 个子集;a的子集有: 、a,即a有 2 个子集;a,b的子集有: 、a、b、a,b,即a,b有 4 个子集;a,b,的子集有: 、a、b、a,b、a,、b,、a,b,即a,b,有 8 个子集(2
14、)由(1)可得:当 n=0 时,有 1=20 个子集;当 n=1 时,集合有 2=21 个子集;当 n=2 时,集合有 4=22 个子集;当 n=3 时,集合有 8=23 个子集;因此含有 n 个元素的集合有 2n 个子集 x b 1 变式训练已知集合 A 2,3,7,且 A 中至多有一个奇数,则这样的集合 A有( )A3 个 B4 个 个 D6 个分析:对集合 A 所含元素的个数分类讨论A= 或2或3或7或2,3或2,7共有 6 个答案：D点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力集合中含有 n 个元素,则集合有 2n 个子集,有 2n-1 个真子集,记住这个结论,可以提高解题
15、速度写一个集合的子集时,按子集中元素的个数写不易发生重复和遗漏现象知能训练本 P7 练习 1、2【补充练习】1 判断正误:(1)空集没有子集 ( )(2)空集是任何一个集合的真子集 ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集 ( )(4)若 B A,那么凡不属于集合 A 的元素,则必不属于 B ( )分析:关于判断题应确实把握好概念的实质解：该题的个命题,只有(4)是正确的,其余全错对于(1)、(2)讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集对于(3)讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集对于(4)讲,当 xB 时必有 xA,则 x A 时也必有 x B2 集合 A=x|-1x3,xZ,写出 A 的真子集分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有 n 个元素的子集有 2n 个,真子集有 2n-1 个,则该题先找该集合元素,后找真子集解：因-1x3,xZ,故 x=0,1,2,即 a=x|-1x3,xZ=0,1,2真子集: 、1、2、0、0,1、0,2、1,2,共 7 个3(1)下列命题正确的是 ( )A 无限集的真子集是有限集B 任何一个集合必定有两个子集自然数集是整数集的真子集D1是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为 ( )10,1,2 1,-3=-3,1 0,1,2 1,0,2
