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1、- 1 - 线性代数基本内容、方法及要求线性代数基本内容、方法及要求第一部分第一部分 行列式行列式 【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用克拉默法则2、方阵的行列式3、几个重要公式：（1）； （2）； （3）TAA AA11； AkkAn（4）； （5）； （6）； 1*nAABAAB BABA BA0* *0（7） ； （8） jijiAAaniijij， 01 jijiAAanjijij与与01（其中为阶方阵，为常数）BA,nk4、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1
2、、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。2、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算 3-5 阶行列式的值。3、会计算简单的阶行列式。n4、知道并会用克拉默法则。第二部分第二部分 矩阵矩阵 【主要内容】 1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆） 。3、阶矩阵可逆nA0A- 2 -nAR)(只有零解0AX有唯一解bAX 的行（列）向量组线性无关A的特征值全不为零。A4、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。5、等价矩阵的定义、性质、判定。6、矩阵秩的概念及其求法（1）定义法；（2）初等变换法） 。【要求
3、】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。第三部分第三部分 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量，向量组：，向量组：bAn,21KB，则m,21K（1）向量可被向量组线性表示bA),(),(2121bRRnnKK（2）向量组可被向量组线性表示B
4、A),(),(212121mnnRRKKK（3） 向量组与向量组等价的充分必要条件是：AB),(),(),(21212121mnmnRRRKKKK2、向量组的线性相关性- 3 -判别向量组的线性相关、线性无关的常用方法：s,21K方法一：（1）向量方程只有零解向量组02211sskkkK线性无关；s,21K（2）向量方程有非零解向量组 02211sskkkKs,21K线性相关。方法二：求向量组的秩),(21sRK（1）秩小于个数 s向量组线性相关),(21sRKs,21K（2）秩等于个数 s 向量组线性无关。),(21sRKs,21K3、向量组的最大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组
5、的基础解系的关系）及其求法。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其最大无关组。4、了解向量空间及其基和维数的概念。第四部分第四部分 线性方程组线性方程组【主要内容】1、齐次线性方程组只有零解系数矩阵的秩未知量个数 n；0AxA2、齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩未知量个数 n.0AxA3、非齐次线性方程组无解增广矩阵的秩系数矩阵的秩；bAx ),(bAB
6、 A4、非齐次线性方程组有解增广矩阵的秩系数矩阵的秩bAx ),(bAB A- 4 -特别地，1）增广矩阵的秩系数矩阵的秩未知量个数 n非齐次),(bAB A线性方程组有唯一解；bAx 2）增广矩阵的秩系数矩阵的秩 未知量个数 n非齐次),(bAB A线性方程组有无穷多解。bAx 【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分第五部分 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的
7、正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。（1）特征值求法：解方程；0 AE（2）特征向量的求法：求方程组的基础解系。0XAE5、相似矩阵的定义（） 、性质(相似、BAPP1BA,)()(BRARBA 有相同的特征值)。BA,6、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（1）写出二次型的矩阵.A（2）求出的所有特征值An,21K（3）解方程组（）求对应于特征值的0)(XAEini, 2 , 1Ln,21K- 5 -特征向量n,21K（4）若特征向量组不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交n,21K的向量组，记，对二次型做正交变换n,21K
8、),(21nPK,即得二次型的标准形Pyx 22 222 11nnyyyfL7、正定二次型的定义及其判定方法 常用判定二次型正定的方法：（1）定义法 （2）特征值全大于零 （3）顺序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。线性代数练习题线性代数练习题 一、单项选择题一、单项选择题1、行列式中，元素的代数余子式是 2108340
9、2122a（A） （B ） （C ） （D） 2001 2001 200120012、二阶行列式的值为 22bbaa(A) (B) (C) (D)33ba)(abab33ba 22ba - 6 -3、设行列式，则 k 的取值为（ ）01110212 kk（A）2 （B）-2 或 3 （C）0 （D）-3 或 24、若行列式=1，则= 321321321cccbbbaaa321321321aaabbbccc（A）1 （B）2 （C）0 （D）1 5、设 a，b，c，d 为常数，则下列等式成立的是 （A） （ B） dbcabadcba2221 111111dbcadcba（C） （D） dcba
10、 dcba22222111111dbcacdab6、设阶行列式=，是中元素的代数余子式，则下列各式中nDnijajiADjia正确的是 (A) (B) 01 niijijAa01 njijijAa(C) (D) DAanjijij 1DAaniii 1217、设均为阶可逆矩阵，则下列各式成立的是 BA,n（A） (B)TTTABAB)(111)(BAAB(C) (D) BAAB BABA8、设为 3 阶方阵，且行列式，则 A1A A2(A)-8(B)-2 (C) 2(D)89、设为阶方阵且满足，则 BA,nOAB (A) 或 (B) OA OB OBA- 7 -(C) 或 (D) 0A0B0
11、BA10、设为阶可逆方阵，则下列各式必成立的是 BA,n（A） （B） TTTBAAB)(BAAB （C） （D）111)(BABA*1AAA11、设矩阵，则 321A 201 BBA(A) (B) (C)（1,0,6） (D) 7 64200032160112、设行矩阵, ， 且321,aaaA 321,bbbB 224310121 BAT则 TAB（A） 1 （B） -1 （C） 2 （D） -213、下列命题正确的是 .（A）若矩阵满足，则有或BA,OAB OA OB （B）若矩阵满足，则矩阵都可逆。BA,EAB BA,（C）若是阶矩阵的伴随矩阵，则*AnAnAA *（D）若，则OA 0
12、A14、设为三阶矩阵, , 则= BA,2A41B1)(2BA(A) 4 (B) 1 (C) 16 (D) 2115、下列说法不正确的是 (A）相似矩阵有相同的特征值。- 8 -(B）阶矩阵可对角化的充要条件是它有个不同的特征值。nn(C）元齐次线性方程组有非零解的充要条件是。n0AxnAR)(（D）正交的向量组一定是线性无关的。16、维向量组线性无关的充要条件是 n)3(,21nssL(A) 存在一组不全为零的数使skkkL,2102211sskkkL(B) 中任意两个向量线性无关sL,21(C) 中存在一个向量可由其它向量线性表出sL,21(D) 中任何一个都不能由其它向量线性表出sL,2117、向量组，的秩为 . 31111 1531241233 210624（A） （B） （C） （D）123418、设均为阶可逆矩阵，则分块矩阵的逆矩阵是 .BA,n 00 BA（A） （B） 0011BA 1100AB（C） （D） 0011AB 1100BA19、设，且，则 10211aA 11031b BTBA (A) (B) 2, 1ba0, 3b
