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1、习题一1- -1.质点运动学方程为：其中 a，b，均为正常数，cos()sin(),rat iat jbtkrrrr 求质点速度和加速度与时间的关系式。 分析：由速度、加速度的定义，将运动方程对时间 t 求一阶导数和二阶导数，可得到( )r tr速度和加速度的表达式。解：/sin()cos() rrrrrvdr dtat iat jbk2/cos()sin()adv dtat it j rrrr1- -2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小 与速度平方成正比，即， 式中K为常量试证明电艇在关闭发动机后又2/ddvvKt 行驶x距离时的速度为 。 其中是
2、发动机关闭时的速度。0Kxvv e0v分析：要求可通过积分变量替换，积分即可求得。( )vv xdxdvvdtdva证： 2 dd dd dd ddvxvvtx xv tvKdKdxv v, xxK 0dd10vvvvKx0lnvv0Kxvv e1-3一质点在 xOy 平面内运动，运动函数为。 （1）求质点的轨道方程22 ,48xtyt并画出轨道曲线；（2）求时质点的位置、速度和加速度。t =1 st = 2 s 和分析：将运动方程 x 和 y 的两个分量式消去参数 t，便可得到质点的轨道方程。写出质点的运动学方程表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得和，把时间代入可)(trr( )v tr(
3、 )a tr得某时刻质点的位置、速度、加速度。解：（1）由得：代入2 ,xt,2xt 248yt可得：，即轨道曲线。28yx 画图略（2）质点的位置可表示为：22(48)rtitjrrr由则速度：/vdr dtrr28vitjrrr由则加速度：/adv dtrr8ajrr则：当 t=1s 时，有24 ,28 ,8rijvijajrrrrrrrr当 t=2s 时，有48 ,216 ,8rijvijajrrrrrrrr1-4一质点的运动学方程为，x 和 y 均以 m 为单位，t 以 s 为单位。22(1)xtyt，（1）求质点的轨迹方程；（2）在时质点的速度和加速度。2ts 分析同 1-3.解：（
4、1）由题意可知：x0，y0，由，可得,代入2xt，tx2(1)yt整理得：，即轨迹方程1yx（2）质点的运动方程可表示为：22(1)rt itjrrr则：/22(1)vdr dttitjrrrr/22adv dtijrrrr因此, 当时，有2ts242 (/ ),22 (/)vij m saij m srrrrrr1-5一质点沿半径为 R 的圆周运动，运动学方程为，其中 v0，b 都是常量。2 01 2sv tbt（1）求 t 时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于 b； （3）到加速 度大小等于 b 时质点沿圆周运行的圈数。分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程，求导可求出质
5、点的运动速率，tss dtdsv 因而，当时，可求出 t，dtdva 2nva00naaa nrrr22 naaaba 代入运动学方程，可求得时质点运动的路程，即为质点运动的圈数。tss ba Rs 2解：（1）速率：，且0dsvvbtdtdvbdt 加速度：22 0 0000()vbtdvvanbndtR rrrrr则大小：22 2220()nvbtaaabR方向： bRbtv2 0tan（2）当 a=b 时，由可得：0vtb（3）当 a=b 时，代入可得：0vtb2 01,2sv tbt2 0 2vsb则运行的圈数 2 0 24vsNRbR 1-9汽车在半径为 400m 的圆弧弯道上减速行
6、驶，设在某一时刻，汽车的速率为，-110m s 切向加速度的大小为。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。-20.2m s 分析：由某一位置的、求出法向加速度，再根据已知切向加速度求出的大小vnaaa和方向。解：法向加速度的大小 方向指向圆22 2100.25(/),400nvam s 心 总加速度的大小222220.20.250.32(/)naaam s如图 1-9，tan0.8,38 40,na a则总加速度与速度夹角90128 401-10. . 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为，与水平方向成角求质点到0v达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹
7、的曲率半径（忽略空气阻力） 已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为。2/ nav分析：运动过程中，质点的总加速度。由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 ag 质点的速度大小，其方向与水平线夹角也是。可求出，如图 1-10。再根据关0vv na系求解。2/ nav解：切向加速度 agasin 法向加速度 agancos因 cos2 022gaannvvv1-13离水面高为 h 的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率 v0拉绳子，求当船离岸的 距离为 s 时，船的速度和加速度的大小。 分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收
8、绳的速率恒为。可以由求出船速和垂直绳的分0v0vv量。再根据关系，以及与关系求解。1v2 1 nvanaaa解：如图 1-13，20vv船速2secvv当船离岸的距离为 s 时，22 0 012,tanv hshvvvvss则，22 112222cosnvvsaaa shsh 即：22 0 3v has第二章213一质量为 m 的小球最初位于如图 2-13 所示的 A 点，然后沿半径为 r 的光滑圆轨道 ADCB 下滑，试求小球到达 C 点时的角速度和对圆轨道的作用力.分析：如图 213，对小球做受力分析，合力提供向心力，由牛顿第二定律，机械能守恒定律求解。解：2 21cosmvmgr又：,v
9、rvrrrr此时,由、可得： 2 cosg r2 cosvNmgmr由、可得，N=3mgcos题图 213图 213gv tavvv nav0vr图 1-10 214质量为 m 的摩托车，在恒定的牵引力 F 的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到最大速率是 试计算从静止加速到所需的时间以及所走过的路程。mv/2mv分析：加速度等于零时，速度最大，阻力为变力，积分求时间、路程。解：设阻力，则加速度，当 a=0 时，速度达到最大值，2(0)fkvkFfammv则有：2 2 220,:mmmFkvFFkfvmvv从而又，即：Ffdvamdt2 2 mFFvvdv mdt 22/22
10、002/200(1)(1)1 ln21mmmtvmvt mmmFdvdtvm vFdvdtvm vv vvFtvm v ，即所求的时间ln32mmvtF对式两边同乘以dx，可得：2 2 mFFvvdvdxdxmdt 2222/22200/22 220022ln()24ln0.14423mmmmxvmmvx m mmmv vFdxdvmvvv vFdxdvmvvvFxvvmmvmvxFF 2-15如图 2-15 所示，A 为定滑轮，B 为动滑轮，3 个物体的质量分别为m1=200g，m2=100g，m3=50g.（1）求每个物体的加速度（2）求两根绳中的张力（滑轮和绳子质量不计，绳题图 215子
11、的伸长和摩擦力可略） 。分析：相对运动。相对地运动，、相对 B 运动，。根据牛顿牛顿定律和相对运动加1m2m3m212TT 速度的关系求解。解：如下图 2-15，分别是m1、m2、m3的受力图。设a1、a2、a3、a分别是m1、m2、m3、B对地的加速度；a2B、a3B分别是m2、m3对 B 的加速度，以向上为正方向，可分别得出下列各式 111 1m gTm a 2222m gTm a3233m gTm a又：2233BBBBaaaaaa且：23BBaa 则：则：2312,BBaaaaa 且2312aaa 又： 1122TTTT 22TT则由，可得：221 1 12221 2 12212 3
12、12431.96/34541.96/3455435.88/345mmgagm smmmmgagm smmmmgagm smm （2）将a3的值代入式，可得：。12 2 1280.78434m m gTNmm1221.57TTN2-34设。76 ()Fij Nrrr（1）当一质点从原点运动到时，求所作的功；3416 (m)rijk rrrrFr（2）如果质点到处时需 0.6s，试求的平均功率；rrFr（3）如果质点的质量为 1kg，试求动能的变化。 分析：由功、平均功率的定义及动能定理求解，注意：外力作的功为 F 所作的功与重力作的功之和。解：（1） 0F drrrrrA=0(76 ) ()ij
13、dxidyjdzkrrrrrrr=图 2150076dxdy-34=，做负功45J （2）45750.6APWt（3） 0rkEAmgj drrrr= -45+40mgdy= -85J2-37求把水从面积为的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为 1.5m，水面至街道的竖250m直距离为 5m。 分析：由功的定义求解，先求元功再积分。解：如图以地下室的 O 为原点，取 X 坐标轴向上为正，建立如图坐标轴。选一体元，则其质量为。dVSdxdmpdVpSdx把从地下室中抽到街道上来所需作的功为 dm (6.5)dAgx dm故1.51.5600(6.5)4.23 10AdApSgx dxJ2-
14、41一沿 x 轴正方向的力作用在一质量为 3.0kg 的质点上。已知质点的运动方程为，这里以 m 为单位，时间 以 s 为单位。试求：（1）力在最初内作的功；2334xtttxt4.0s（2）在时，力的瞬时功率。 =1st分析：由速度、加速度定义、功能原理、牛顿第二定律求解。解：2(1)( )383dxv tttdt则 (4)19/ ,(0)3/vm s vm s由功能原理，有221(4)(0)5282kAEm vvJ （2）2( )383 , ( )68dxdvv ttta ttdtdt时，1ts6,2/FmaNvm s 则瞬时功率12pFvW242.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内 1cm，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。) 分析：根据功能原理，因铁锤两次打击铁釘时速度相同，所以两次阻力的功相等。注意：阻力是变力。解：设铁钉进入木板内时，木板对铁钉的阻力为xcm (0)fkx k由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故101xfdxf
