数值线性代数习题解答

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1、1数值线性代数习题解答数值线性代数习题解答 习题习题 1 求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 解解 设下三角矩阵 L 的逆矩阵为 T我们可以使用待定法，求出矩阵 T 的各列向量。为 此我们将 T 按列分块如下：注意到我们只需运用算法 111，逐一求解方程便可求得 注意注意 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩 阵 T 的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下 具体的算法： 算法算法（求解下三角矩阵 L 的逆矩阵 T，前代法）2设为两个上三角矩阵，而且线性方程组 是非奇异的，试给出一种运算量为的算 法，求解该方程组。 解解 因，故为求解线性方程组 ，可先求得上三角矩阵 T 的逆矩阵，依照 上题的

2、思想我们很容易得到计算的算法。于是对该 问题我们有如下解题的步骤： （1）计算上三角矩阵 T 的逆矩阵，算法如下： 算法算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算 法的的运算量为 ）（2）计算上三角矩阵。运算量大约为. （3）用回代法求解方程组：.运算量为 ； （4）用回代法求解方程组：运算量为 。 算法总运算量大约为： 证明：如果是一个 Gauss 变换，则 也是一个 Gauss 变换。 解解 按 Gauss 变换矩阵的定义，易知矩阵是 Gauss 变换。下面我们只需证明它是 Gauss 变换 的逆矩阵。事实上3注意到，则显然有从而有确定一个 Gauss

3、 变换 L，使解解 比较比较向量和可以发现 Gauss 变换 L 应具有功能：使向量的第二行加上第一行的 2 倍；使向量的第三行加上第一行的 2 倍。于是 Gauss 变换如下证明：如果有三角分解，并且是非奇异的， 那么定理 112 中的 L 和 U 都是唯一的。 证明证明 设 ，其中都是单位下三角阵， 都是上三角阵。因为 A 非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两 个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵 的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角 阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三 角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即 ， 从而4即 A 的 LU

4、 分解是唯一的。 设的定义如下证明 A 有满足的三角分解。 证明证明 令 是单位下三角阵，是 上三角阵。定义如下容易验证： 设 A 对称且，并假定经过一步 Gauss 消去 之后，A 具有如下形式证明仍是对称阵。 证明证明 根据 Gauss 变换的属性，显然做矩阵 A 的 LU 分解的第一步中的 Gauss 变换为其中，将 A 分块为那么5即 由 A 的对称性，对称性则是显而易见的。 设是严格对角占优阵，即 A 满足又设经过一步 Gauss 消去后，A 具有如下形式试证：矩阵仍是严格对角占优阵。由此推断：对 于对称的严格对角占优矩阵来说，用 Gauss 消去法和列 主元 Gauss 消去法可得

5、得同样的结果。 证明 依上题的分析过程易知，题中的于是主对角线上的元素满足（1） 非主对角线上的元素满足由于 A 是严格对角占优的，即故6从而（2） 综合（1）和（2）得即，矩阵仍是严格对角占优阵。 设有三角分解。指出当把 Gauss 消去法应 用于矩阵时，怎样才能不必存储 L 而解出 Ax=b？需要多少次乘法运算？ 解 用 Gauss 消去法作 A 的 LU 分解，实际上就是 对系数矩阵 A 作了一组初等行变换，将其化为上三角 矩阵 U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是， 即如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量 b 上， 即有这就是说，方程组和是同解方程。而后 者是上三角形方程组，

6、可运用本章算法 112 求解。这 样我们就不必存储 L，通求解方程组，来求解原 方程组。算法如下：7（1）用初等变换化；（2）利用回代法求解方程组。 该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为10A 是正定阵，如果对 A 执行 Gauss 消去一步产 生一个形式为的矩阵，证明仍是正定阵。 证明证明 不妨设从而有由于 非奇异，故对且，构造，及 ，则由 A 的正定性有由 x 的任意性知，正定。 11设8并且是非奇异的。矩阵称为是在 A 中的 Schur 余阵。证明：如果有三 角分解，那么经过 步 Gauss 消去以后，S 正好等于 （114）的矩阵 证明 因为有三角分解，所以矩阵 A 可保证前 步 G

7、auss 消去法可以顺利完成。即有如下单位下三角 矩阵使注意到比较两式便知，故有12证明：如果用全主元 Gauss 消去法得到 PAQ=LU，则对任意 有 证明 略。 13利用列主元 Gauss 消去法给出一种求逆矩阵的 实用算法。9解解 设 A 是非奇异的，则应用列主元 Gauss 消去法 可得到这里：P 是置换阵，L 是单位下三角阵，U 是上三 角阵。于是，通过求解下列 n 个方程组便可求得于是也就是说，求 A 的逆矩阵，可按下列方案进行： （1）用列主元 Gauss 消去法得到：； （2）经求解：得；（3）对 X 进行列置换得：。 14假定已知的三角分解：A=LU。试设计一 个算法来计算

8、的（i，j）元素。 解解 求解方程组则 x 的第 i 个分量 就是的（i,j）元素。 15证明：如果是严格对角占优阵（参见第 8 题），那么 A 有三角分解 A=LU 并且 证明 仿照第 8 题的证明，容易证明：对于 是严格对角占优阵，经过一步 Gauss 消去后，得 到10其中仍是严格对角占优阵。A 的三角分解 A=LU 中 这样，我们在对 A 进行列主元三角分解时，不需要 选择主元，因为每次消元时，主元位置上的元素恰好 是列主元。因此， 16形如的矩阵称作 Gauss-Jordan 变换， 其中. （1）假定非奇异，试给出计算其逆矩阵的公 式。 （2）向量满足何种条件才能保证存在使得 ?

9、（3）给出一种利用 Gauss-Jordan 变换求的逆 矩阵的算法。并且说明 A 满足何种条件才能保证你 的算法能够进行到底。 解 为解决本问题，我们引入 Gauss-Jordan 变换的 两个性质： 性质性质 1： . 事实上，事实上，11性质性质 2：Gauss-Jordan 变换变换非奇异的充分非奇异的充分 必要条件是必要条件是. （1）运用待定法，首先设的逆矩阵为 ，则有故应有（2）欲使，则应有即因此，应满足，便可按上述方法得到 使得。 （3）设 A 的逆矩阵，则应有下面我们给出利用 Gauss-Jordan 变换求解方程组的 计算方法。算法如下：假定 A 的各阶主子阵非零，记第 1

10、 步：假若，令， 构造，用左乘和，得到12其中第 2 步：假定，令 ，构造，用左 乘和，得到其中照此下去，直到第 n 步：假定 ， ，构造，用左 乘和，得到经上述 n 步，我们得知：故13从上面的约化过程可知，要保证算法进行到底，必 须保证：我们可以仿照定理 1.1.2 给出下 列定理。 定理：定理：的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵 的各的各 阶顺序主子阵非奇异。阶顺序主子阵非奇异。 证明证明 对于 用归纳法。当时，定理显 然成立。假定定理直到成立，下面只需证明：若 非奇异，则非奇异的充要条件是即可。 由归纳假定知因此，Gauss-Jordan 约化 过程至少可以进行步，即可得到个 G

11、auss-Jordan 变换使（16-1） 由此可知的 阶顺序主子阵有如下形式若将的 阶顺序主子阵分别记为， 则由（16-1）知注意到 所以即非奇异的充要条件是 17证明定理 131 中的下三角阵 L 是唯一的。14证明 因 A 是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非 零，因此 A 非奇异。为证明 L 的唯一性，不妨设有 和使那么注意到： 和是下三角阵，和为上三角阵，故 它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。因此， 只能是对角阵，即从而于是得知18证明：如果 A 是一个带宽为 2m+1 的对称正定 带状矩阵，则其 Chelesky 因子 L 也是带状矩阵。L 的 带宽为多少？ 证明 带宽为 2m

12、+1 的矩阵的认识：当 m=1 时， 2m+1=3，该带宽矩阵形为：对 m 为任意一个合适的正整数来说，带宽为 2m+1 的矩阵元素有如下特征：15结合这一特征，对于带宽为 2m+1 的对称正定带状 矩阵 Ar 的 Colicky 分解算法，可改写成下列形式：从算法不难看出：Colicky 因子 L 是下三角带状矩阵， L 的带宽为 m+1. 19若是 A 的 Cholesky 分解，试证 L 的 i 阶 顺序主子阵 正好是 A 的 i 阶顺序主子阵 的 Cholesky 因子。 证明 将 A 和 L 作如下分块其中：为矩阵 A 和 L 的 i 阶顺序主子阵。 。显然故有。即是的 Colick

13、y 分解。 20证明：若是对称的，而且其前个顺序 主子阵均非奇异，则 A 有唯一的分解式其中 L 是单位下三角矩阵，D 是对角矩阵。16证明 先证明存在性。根据定理 112 知，存在单 位下三角阵 L 和上三角阵 U，使 A=LU，且 U 的主对 角线上元素除外，其余都不为零。令 ，则有单位上三角阵 使，即 有又因为，则从而根据 L 和 的可逆性知：该等式左端是一个上三角阵，右端是下三角阵。因 此它们等于对角阵。再注意到单位上三角阵的乘积仍 是单位上三角阵，单位下三角阵的乘积仍是单位下三 角阵。因此两端都等于 D。于是从而有再证唯一性。令，故有。 左边为下三角阵，右边为上三角阵，故等于对角阵。

14、 又因，故。 21给出按行计算 Cholesky 因子 L 的详细算法。 解 略。 22利用改进的平方根法设计一种计算正定对称矩 阵的逆的算法。 解 算法可分为以下几个步骤：17（1）首先利用算法 132 计算出正定矩阵的如下分 解其中，L 是单位下三角阵，D 是对角阵。 （2）求解矩阵方程其解矩阵. （3）求解矩阵方程其解矩阵 （4）求解矩阵方程其解矩阵 注意 以上（2）、（3）、（4）步都是求解非常 简单的方程组，算法实现起来很容易。 23设用平方根法证明 A 是正定的，并给出方程组 的解。 解 由 Colicky 分解可得其中18显然，L 是非奇异矩阵。因此，对.于是所以 是正定的。 由

15、方程组，解得，再由方程组， 解得 24设是一个正定 Hermite 矩阵，其中证明：矩阵是正定对称的。 试给出一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组解 既然是正定的，又对，有 ，且.且注意 到显然 H 正等价于 A、B 正定。 对，则有由前面的讨论，知道若 H 是正定的，则 A 是正定的， 故矩阵 C 是正定的。19由于于是求解原复数方程组，等价于求解下列实方程组其矩阵形式为：由（1）得知系数矩阵正定，故该方程可采用平方根 算法求解。 习题习题 2 2.1 设设是是 个正数。证明：由个正数。证明：由定义的函数定义的函数是一个范数。是一个范数。 证明证明 只需验证满足定义 2.1.1 的三个条件

16、。其中 （1）和（2），即正定性和齐次性显然成立，下面给 出（3）三角不等式的证明。像 2 范数的证明一样，要 证明三角不等式，需要用到 Cauchy-Schwartz 不等式欲证明这个不等式，只需证明：对任意的， 有下列等式成立用数学归纳法证明。当时，等式显然成立。不妨 归纳假设当时，等式仍然成立，即有20（E2.1） 现在来考虑时的情形，注意到至此，我们便证明了前述等式。亦即证明了 Cauchy-Schwartz 不等式。 又因为是 个正数，因此有从而对，我们有212.2 证明：当且仅当证明：当且仅当 和和 线性相关且线性相关且时，才有时，才有 . 证明证明 因为对任意的于是，当且仅当由等式（E2.1）可知，当且仅当， 即，对任意的，此式成立不外乎二种 情形：或；或；或.即 和 线性 相关。 2.3 证明：如果证明：如果是按列分块的，那么是按列分块的，那么证明证明 因为.22