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1、2013 年高考真题理科数学（解析版） 上海 卷1 / 62013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一填空题：共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分。1计算：。20lim_313nn n2设，是纯虚数，其中 是虚数单位，则mR2221mmmii。_m 3若，则。2211xxxy yy_xy4已知的内角所对应边分别为，若，ABC, ,A B C, ,a b c22232330aabbc则角的大小是_（结果用反三角函数值表示） 。C5设常数，若的二项展开式中项的系数为，则。aR5 2axx7x10_a 6方程的实数解为_。1313313x x7在极坐标系中，曲线与的公共点
2、到极点的距离为cos1cos1_。8盒子中装有编号为的九个球，从中任意取出两个，则这两个球1,2,3,4,5,6,7,8,9的编号之积为偶数的概率是_（结果用最简分数表示） 。9设是椭圆的长轴，点在上，且，若，ABC4CBA4AB 2BC 则的两个焦点之间的距离为_。10设非零常数是等差数列的公差，随机变量等可能地取值d12319,x x xxL，则方差。12319,x x xxL_D11若，则。12cos cossin sin,sin2sin223xyxyxysin_xy12设为实常数，是定义在上的奇函数，时，a yf xR0x ，若对一切成立，则 2 97af xxx 1f xa0x 的取
3、值范围为_。a2013 年高考真题理科数学（解析版） 上海 卷2 / 613在平面上，将两个半圆弧和、xOy22111xyx22313xyx两条直线和围成的封闭图形记为，如图中阴影部分。记绕轴旋转一周1y 1y DDy而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，0,| 1yy 2418y试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为_。14对区间上有定义的函数，记，已知定义域为I g x |,g Iy yg xxI的函数有反函数，且，0,3 yf x 1yfx10,11,2f，若方程有解，则。12,40,1f 0f xx0x0_x 二选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 2
4、0 分。15设常数，集合，若aR|10Axxxa|1Bx xa，则的取值范围为（ ） （A） （B） （C）ABRUa,2,2（D）2,2,16钱大姐常说“便宜没好货” ，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件17在数列中，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 行第列的元素 na21n na ij，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数,1,2,7;1,2,12i jijijaa aaaijLL为（ ） （A）18 （B）28 （C）48 （D）6318在边长为 1 的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量
5、分ABCDEFA别为；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为。若12345,a a a a au r u u r u u r u u r u u rD12345,d dd ddu u r uu r u u r uu r u u r分别为的最小值、最大值，其中，,m Mijkrstaaadddu ru u ru u ru u ru u ru u r , ,1,2,3,4,5i j k 。则满足 （ ） , ,1,2,3,4,5r s t ,m M（A） （B） （C） （D）0,0mM0,0mM0,0mM0,0mM三解答题19 （本题满分 12 分）如图，长方体中， ，。证明1111ABCDABC
6、 D2AB 1AD 11A A D1C1B1A1DCBA2013 年高考真题理科数学（解析版） 上海 卷3 / 6直线平面，并求直线到平面的距离。1/BC1D AC1BC1D AC20 （6 分+8 分）甲厂以千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求x） ，每小时可获得利润是元。要使生产该产品 2 小时获得的利110x3100 51xx 润不低于 3000 元，求的取值范围；要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问:甲x 厂应该选取何种生产速度?并求最大利润。21 （6 分+8 分）已知，常数；若在 2sinfxx0 yfx上单调递增，求的取值范围；令，将函数的图像左移4,232
7、yfx个单位，再向上平移 1 个单位，得到的图像，区间(且)6 yg x, a b, a bRab满足: 在上至少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的中，求 yg x, a b, a b的最小值。ba22 （3 分+5 分+8 分）如图，已知曲线，2 2 1:12xCy曲线，是平面上一点，若存在过点的直2:| | 1CyxPP线与都有公共点，则称为“型点” 。在正12,C CP12CC确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样1C12CC的直线的方程(不要求验证)；设直线与有公共点，求证，进而证明原ykx2C| 1k 点不是“型点” ；求证：圆内的点都不是“型点”
8、 。12CC221 2xy12CC23 （3 分+6 分+9 分）给定常数，定义函数，数0c 2|4|f xxcxc 列满足。若，求及；求证：对任意123,a a a L* 1(),nnaf anN12ac 2a3a，；是否存在，使得成等差数列？若存在，求出nN1nnaac1a12,na aaLL所有这样的，若不存在，说明理由。1a2013 年普通高校招生全国统考数学试卷上海卷解答2013 年高考真题理科数学（解析版） 上海 卷4 / 6一1；2；30；4；5；6；7；81 321arccos323log 4x 15 2；9；10；11；12；13；1413 184 6 3230d2 3, 7
9、 8 22162 二BBAD19解：由题，故为平行四边形，知。11/ABC D11ABC D11ABC D11/BCAD显然，于是直线平面。直线到平面的距离即为点11BCD AC1/BC1D AC1BC1D AC到平面的距离。因，故B1D ACh15ACDC12AD 。因此， 解得 111325222AD CS 111 3111 213 232B AD CDABChVV ，即所求距离为。2 3h 2 320解：由，又，得33200 5130005140xxxx 110x；310x设利润为元，则，故y2 490031161100 519 103612yxxxx 时，元。因此甲厂应以 6 千克/小
10、时的速度生产，最大利润为 4575006x max457500y元。21解：因，则由题有；042302324 由知，。令 2sin2f xx 2sin212sin 2163g xxx 或，即的零 10sin 2323g xxxk 7 12xkkZ g x点相离间隔依次为和，故若在上至少含有 30 个零点，则的最32 3 yg x, a bba小值为。243141533322解：的左焦点为，过的直线与交于1C3,0F F3x 1C2013 年高考真题理科数学（解析版） 上海 卷5 / 6，与交于，故的左焦点为“型点” ，且直3,2 22C3,311C12CC线可以为；3x 直线与有交点，则，若方
11、程组有解，则必ykx2C| 1 | 1| | 1ykxkxyx须。直线与有交点，则，若方程组有解，| 1k ykx1C22 221 2222ykxkxxy则，故直线至多与和中的一条有交点，即原点不是“型点” 。21 2k ykx1C2C12CC显然过内一点的直线 若与有交点，则斜率必存在。据对称性，不221 2xyl1C妨设 斜率存在且与交于点，则即l2C,10t tt:1l ytk xt。 与内部有交点，故，10kxytkt l221 2xy2|1|12 2tktk 化简得。若 与有交点，则由可得221112ttkk l1C22122ykxkttxy 。由可得，2221211102kxktk
12、t xtkt 0 22121tktk 因此。但此时，因，故22221211112kttkkk 0t ，而，即不成立；当时，2111tk21112k 221112ttkk 21 2k 也不成立。综上，若 与内有交点，则不可能同时与221112ttkk l221 2xy曲线有交点，即圆内的点都不是“型点” 。12,C C221 2xy12CC23解：因，故，0c 12ac 21112|4| 2af aacac ； 32222|4|10af aacacc 要证原命题，只需证即对任意成立。 f xxc2|4|xcxcxc xR若，则显然；若，则0xc2|4|xcxcxc 0xc2|4|xcxc 2013 年高考真题理科数学（解析版） 上海 卷6 / 6显然成立。综上，恒成立，即对任意的，8xcxc f xxcnN；1nnaac由知，若为等差数列，则公差，故无限增大时，总有。 na0dc
