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1、高一 联赛班春季第 1 讲教师版1第一第一讲讲 基本数列及其性基本数列及其性质质本讲概述等差数列与等比数列是最常见的数列，有相当多的数列问题最后可归结或转化到等差等比数列问题 这两种基本模型中来. 绝大部分等差等比数列的问题都要用到下面最基本的四个公式： 等差数列通项公式：1(1)naand前 n 项和公式：1 1()(1) 22n nn aan nSnad其中 d 为公差等比数列通项公式：1 1n naa q前 n 项和公式：11,(1)(1),(1)1n nnaq Saqqq 其中 q 为公比 任意数列通项与前 n 项和间关系：1,2nnnaSSn1、等差数列的常用性质（1）等差中项：2
2、12nn naaa （2）任意两项之间关系：()mnaamn d（3）当时，stpq stpqaaaa（4）21(21)nnSna2、等比数列的常用性质（1）等比中项：12nnnaaa（2）任意两项之间关系：m n mnaaq（3）当时，stpq stpqaaaa（4）对于的无穷等比数列，其各项和公式为1q 1 1aSq以上性质均极易证明，请各位同学自证. 3、数列求和中经常会用到以下公式：232111(1)(1)(21)(1),262nnnkkkn nn nnn nkkk例题精讲 【例 1】 设等差数列的首项和公差均为非负整数，项数不小于 3 且各项的和为 972，则这样的数列共有 _个 【
3、解析】符合条件的等差数列共有 4 个 注注 本题为 1997 年全国高中联赛题【例 2】 各项为实数的等比数列an，前 n 项的和为 Sn，若 S1010，S3070，则 S40等于( )高一联赛班春季第 1 讲教师版2A150 B200 C150 或200 D400 或50 【解析】故选 A 注注 本题为 1998 年全国高中联赛题【例 3】 试证明23211(1)(21)(1),62nnkkn nnn nkk【解析】先证平方和公式：构造恒等式：211111(1) (1)(1)(2)(1)3nnnnkkkkkk kk kkk kkk或者（*）33221111(1)(331)33nnnnkkk
4、kkkkkkkn 化简即得再证立方和公式：记，则，2( )f kk2222(1)(1)(1)4 ( )f kkkk f kkk223(1)(1)( )4( )4k f kkf kkf kk，化简即得22311(1)(1)( )4nnkkk f kkf kk注注 按照(*)式实际上我们可以依次得到的表达式1()n tkk tN【例 4】 求所有的正整数 n3，使得下述命题成立：设 a1，a2，an成等差数列，若 a12a2nan为有理数，则 a1，a2，an中至少有一个数为 有理数【解析】设数列的公差为 d，则nannaaaL212) 1(11dkaknk) 1(111 nknkkkdka)2)
5、(1() 1() 1(32) 1(21 kkkkkkdannnkdnnnann 3) 1() 1( 2) 1(1)3) 1(2(2) 1(1dnann如果 3|(n1)，那么由上式可知 a12a2nan，于是，在 a12a2nan为有3122) 1(nann高一 联赛班春季第 1 讲教师版3理数时，为有理数312 na另一方面，若 3 (n1)时，令，则等差数列 a1，a2，an中每一项都2) 1(23,21nda是无理数，而 a12a2nan0 是有理数综上可知，满足条件的正整数 n 构成的集合为n|nN*，n1(mod 3) 注注 本题为基本功训练题，首先利用恒等变形给出一个条件中和式的最
6、简形式，则答案就显而易见了.解 析中第五行也可以根据前面给出的平方和公式直接代入计算.【例 5】 数列an的各项为正数，其前 n 项和 Sn满足 Sn，求数列an的通项)1(21nnaa 【解析】. 1nnan【例 6】 已知数列an的各项均为正数，且前 n 项之和 Sn满足3an2若 a2、a4、a9成等比26nnaS数列，求此数列的通项公式 【解析】an3n2【例 7】 设an是各项均为正数的等比数列，且 Sa1a2an，,11121naaaTL求an的前 n 项之积【解析】.)(2 21nnTSaaaL【例 8】 数 1，2，3，100 能否是 12 个等比数列的项？ 【解析】不能首先证
7、明 3 个不同的素数不可能在同一个等比数列中假设三个素数 p1p2p3，在以 a1为首项 q 为公比的等比数列中， ，则，其中 slk，tml 都是正整数从而1 131 121 11,mlkqapqapqaptsqpqpp312 ，上式左边被 P2整除，而右边不能被 P2整除，因而不可能成立由于 1 至 100 中含有 25ststppp312个素数，而根据上面所证，每个等比数列中至多含有两个素数，因此 25 个素数不可以包含于 12 个等比 数列中所以答案是否定的 注注 想到考虑素数本题就完成了一半，但是要严格地证明还是颇有技巧的【例 9】 （*选讲） 实数 x 为有理数的充分必要条件是：数
8、列 x，x1，x2， x3，中必有 3 个不 同的项，它们组成等比数列 【解析】证 (1)充分性：若 3 个不同的项 xi，xj，xk 成等比数列，且 ijk，则，即若 ik2j0，则，于是得2)()(jxkxixikjjkix2)2(02ikjijk 与 ijk 矛盾故 ik2j0，x且 i、j、k 都是正整数，故 x 是有理数jkiikj 22(2)必要性：若 x 为有理数且 x0，则必存在正整数 k，使 xk0令 yxk，则正数列 y，y1，y2，是原数列 x，x1，x2，x3，的一个子数列，只要正数列 y，y1，y2，中 存在 3 个不同的项组成等比数列，那么原数列中必有 3 个不同的
9、项组成等比数列，因此不失一般性，不 妨设 x0高一联赛班春季第 1 讲教师版4若 xN，设 q 是大于 1 的正整数，则 xqx、都是正整数令 ixqx，xxq 2xxqj2则 ij，即 x、xi、xj 是数列 x，x1，x2，x3，中不同的三项，且 x、xi(即 xq)、xj(即 xq2)成 等比数列若 x 为正分数，设(m、nN，且 m、n 互质，m1)，可以证明 x、xn、x(m2)n 这三mnx 个不同的项成等比数列，事实上， ，所以 xx(m2)n(xn)2，2 22 22)2(nmnnmnnmnnmnmn mnnmxx即三项 x、xn、x(m2)n 成等比数列综上所述，实数 x 为
10、有理数的充分必要条件是数列 x，x1，x2，x3，中必有 3 个不同的 项它们组成等比数列注注 1、以上证明巧妙之处在于：当 x 是正分数时，在数列 x，x1，x2，x3，寻求组成等比数mn列的三项，这三项是 x、xn、x(m2)n 2、本题为加拿大 1993 年高中竞赛题，难度较大。本题根据进度可选讲大显身手1有一群儿童，他们的年龄之和是 50 岁，其中最大的 13 岁，另有一个是 10 岁除 10 岁儿童外， 其余儿童的年龄都是整数且恰好组成一个等差数列，问有几个儿童？每个儿童是几岁？【解析】设除去 10 岁的儿童外，他们的岁数分别是 a、ad、and，且 and13，于是 a(ad)(a
11、nd)5010，所以(n1)a，即(n1) (a13) 80402) 1(dnn2给定公比 q(q1)的等比数列an，设 b1a1a2a3，b2a4a5a6，bna3n2a3n1a3n，则数列是( ) nbA等差数列 B公比为 q 的等比数列C公比为 q3的等比数列 D既非等差数列又非等比数列【解析】因故选 C 331323313233313233323131)(qaaaaaaq aaaaaa bbnnnnnnnnnnnnnn注注 本题为 1999 年全国高中联赛题3等差数列an中，试求(lm)ab(mn)bc(nl)ca 的值cabaaanml1,1,1【解析】所求的值为 0 注注 共线关系
12、实际上用公差代换也易得到，本题仍然是一道代数基本运算问题4求和：（1）1 2(12) 3(123) 4. 12.(1)nn （2）11 (1)1nkkkk k（3）1tantan(1)nkkk高一 联赛班春季第 1 讲教师版5【解析】（1）原式32211(1)112.(1)()22nnnkkkkkkkkkk21(1)(1)(21)(1) (1)(32)()22624n nn nnnn nn（2）2 1111(1)111()(1)11nnnkkkkkk k kkkkk kkk111n （3）由正切公式 tantan(1)tantan(1)tan1tantan(1)11tantan(1)tan1k
13、kkkkkkk得 1tantan(1)nkkk 1tantan(1)tan(1)tan1tan1nkkknn注注 本题提供了几种常见的数列变形技巧5（*选做）给定正整数 n 和正数 M.对于满足条件的所有等差数列Maan2 12 1 a1，a2，a3，试求的最大值1221nnnaaaSL【解析】S 的最大值为.) 1(210Mn 注注 问题的关键在于（*）式，它可以由待定系数得到：记，222222,()244()()2ndbandaababm abn akb比较系数易求得即得原式328,255kmn高一联赛班春季第 1 讲教师版6学习之外 发信人：ukim（我没有理想） ，信区：Mathemt
14、ics 标 题：从今天开始连载数学家们的故事 发信站：北大未名站（2002 年 04 月 06 日 14:20:15 星期六） ，转信一次拓扑课，Minkowski 向学生们自负的宣称：“这个定理没有证明的最要的原因 是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它。 ”.这节课结 束的时候，没有证完，到下一次课的时候，Minkowski 继续证明，一直几个星期过去 了一个阴霾的早上，Minkowski 跨入教室，那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声 震耳，Minkowski 很严肃的说：“上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完全的“ 1942 年的时候，Lefschetz 去 Havard 做了个报告，Birkhoff 是他的好朋友，讲座结束 之后，就问他最近在 Princeton 有没有什么有意思的东西。Lefsch
