整体思想的解题策略

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1、 整体思想的解题策略整体思想的解题策略整体思想的解题策略整体思想的解题策略 人们在考虑问题时， 通常把一个问题分成若干个简单的小问题， 尽可能地分散难点，然后再各个击破，分而治之。本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法恰恰相反。在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局部因素合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体思想方法。 这种方法运用得当， 常能化难为易， 使解题思路出现豁然开朗的情景，达到快捷、简便的解题目的。 一一一一、构造整体构造整体构造整体构造整体 在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。 例 1：证明214365nn 21

2、2 121+n证：设M=214365nn 212，N=325476122 +nn，显然MN 则MN=(214365nn 212)(325476122 +nn)=121 +nM2MN M2121 +n故M121+n评注：本解法抓住M，N这两个整体，使问题得到解决。本题还可以用数学归纳法证明，但显然较为繁琐。 例2：设三个方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共实数解，求实数a、b、c之间的关系。 解：设三个方程的公共实数根为x0，则 ax02+bx0+c=0 bx02+cx0+a=0 cx02+ax0+b=0 + (a+b+c)( x02+x0+1)=0 x02

3、+x0+1=(x0+21)+430，a+b+c=0 评注：本题欲求a、b、c关系，似乎难以下手，若能构造a+b+c这一整体，使问题的解决豁然开朗。 二二二二、整体求解整体求解整体求解整体求解 解题过程中，视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接得到问题的答案。 例3：设有四个数,其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求此四个数。 解：设此四个数之和为x，则得方程 (x22)+(x20)+(x17)+(x25)=x，解得x=28 四数依次为8、3、6、11 评注： 本题解法考虑到四数之和问题的整体， 可使问题中四个数变为只是一个未知数，从而使问题得到有效的解决。本题若按通常

4、解题习惯，须分别设四个数，然后列出四个方程所组成方程组，解题较繁。 例4：已知2sincos=1，求1cossin1cossin + 的值 解：设1cossin1cossin + =k，则(1k)sin+(1+k)cos=k1 又2sincos=1 解得sin=kk +32cos=kk + 333(k3) 由(kk +32)2+(kk + 333)2=1 解得k=0或k=2 故原式的值为0或2 评注：本解法利用1cossin1cossin + =k这一整体进行求解，能简捷解决问题。本题若由已知条件2sincos=1及sin2+cos2=1联立解得sin、cos的值，再代入求值，计算较为繁琐。

5、例 5、 三棱锥S-ABC的个侧面互相垂直， 它们的面积分别是6m2,4m2,和3m2， 求它的体积。 解 如图，设S-ABC的三侧棱长 分别为xm,ym,zm,体积为Z， 则由题意得 21xy=6, 21yz=4, 21zx=3 得(xyz)2=(24)2, 则V=61xyz=6124=4m3 注 本题没用解方程组的方法，先求x,y,z，而将xyz视为一整体求值，故简捷而 巧妙。 S C B A 例 6、球面内接圆台的高为h，球心到母线的距离为p,则球内接圆台的侧面 积 S=2ph 分析与证明：如图，需求的 是S=(r+r)l ,但r,r,l均未知， 下面寻找它们与已知量h,p的关系。 为此

6、作辅助线，将r,r,l,h,p 都集中到有联系的图形之中。 （1）作DDAB DD=h （2）作EOAD E为AD的中点（垂直于弦的半径平分弦） （3）作EEOO EE= 2rr +在Rt DDA和Rt EEO中 DAOE DDEE ADD=OEE ADD，OEE为锐角 DDAEEO ADDD OEEE = 即 lh prr=+ 2（r+r）l=2ph 代入得 S=2ph 注 按常规解法，必须把r,r,l分别用p,h表示出来，但这样做相当困难，且几乎 是不可能的。此时我们便该调整思路，用整体思想，将（r+r）l视为一整体来求 值，这样问题便巧妙的得到解答。 三三三三、整体换元整体换元整体换元整

7、体换元 在解题中， 往往巧设某一整体为辅助元或未知元， 或将某未知元整体用另一些未知元整体代换，寻求解题思路。 例7：等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若TnSn=132 +nn求nlimbnan的值。 解：nnaaa2121=+，nnbbb2121=+nn ba= )(21)(21121121+nnbbaa = )(12(21)(12(21121121+nnbbnaan =1212nn TS=1) 12(3) 12(2 + nn=2624 nn，nlim32=bnanC A D B A B C D 评注：本解法是根据等差数列的性质，m、n、p、qN，且m+n=p+q时，则am+a

8、n=ap+qq，再将其作为一个整体代入，灵活又简便。 例8、：已知f（x）=x5+ax3+bx 8，且f（ 2）=10，求f（2） 解： 设g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx 注意到g（x）= g（ x），即g（x）是奇函数，因此， g（2）= g（ 2） f（2）=g（2） 8= g（ 2） 8= f（ 2）+8 8= 26 评注：本题将f( 2)看作一个整体，注意到g（x）=f（x）+8= x5+ax3+bx 是一个奇函数。使计算过程大大简化。将x5+ax3+bx看作整体而用g（x）代换，过程简捷明了。如用一般思路则会一筹莫展,这是因为，其一，a,b未知,其二，要解5次方程,而5次

9、方程无法解. 四四四四、整体变形整体变形整体变形整体变形 解题中，将条件等式看成一个整体，根据题目特点进行适当变形，以助解题进行。 例9：求函数f(x)=3sin(x+20)+sin(x+80)的最大值 解：f(x)=3sin(x+20)+sin(x+20) +60 =3sin(x+20)+21sin(x+20)+ 23cos(x+20) = 27sin(x+20)+ 23cos(x+20)= 13sin(x+20+)(其中=arc tan73) 因此f(x)的最大值为13 评注：此题若按角形式展开,就没有思路了。本解法抓住x+80=（x+20）+60这一整体，巧妙变形，使得问题得到解决。 例

10、10：已知Z是虚数，Z2+2Z是实数，且arg(3z)= 4，求复数Z。 解：将Z2+2Z视为一个复数，利用Z2+2ZR Z2+2Z=Z2+2Z，故(ZZ)(Z+Z)=2(ZZ) Z是虚数 ZZ0 Z+Z=2 故可设Z=1+yi(yR，且y0) arg(3Z)=arg(2yi)= 4，故y=2，于是Z=12i 评注：本解法将Z2+2Z将为一个整体，然后利用复数为实数的充要条件是Z=Z，从而得到问题的解决。可以发现，运用整体思维方法，分析复数问题常能得到事半功倍之效。 五五五五、整体代入整体代入整体代入整体代入 在问题解决过程中， 往往涉及到较多的几个变量， 但我们不必分别求出各个量的具体值，

11、而是将它们的某些关系作为一个整体， 达到顺利而又简捷地解决问题的目的。 例11：三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6cm2，4cm2，3cm2，求此三棱锥的体积。 解：设三条棱长分别为x、y、z，则xy=6，xz=4，yz=3 V=61xyz=61)()(yzxzxy=61346=2cm2 评注：本解法着重抓住xy=6，xz=4，yz=3，而不是具体求出x、y、z的值，从而达到简捷解决问题的目的。 例12：已知P是椭圆1162522 =+yx上一点，F1，F2是焦点，F1PF2=30，求F1PF2的面积。 解：易知a=5,b=4,c=3 在F1PF中，由余弦定理可知21FF2=2

12、 1PF+2 2PF2|P F1|P F2|cos30 =(|P F1|+| P F2|)22|P F1|P F2|2|P F1|P F2|cos30 由椭圆定义可知|P F1|+| P F2|=10，从而有|P F1|P F2|=16（31） 因此，S 2PFFF=21|P F1|P F2|=8（31） 例13、解不等式：4x2-10x-2522+ xx0 分析 本题按一般的解法，移项，使不等式一边为有理项，一边为无理项，然后两边同时平方， 去无理项， 问题将变得复杂， 但将2522+ xx视为一整体求解，问题便得到简洁、有效的解答。 解：令t=2522+ xx，则原不等式化为 2t2-2t

13、-210 解之得 t27（舍） 或 t3 即 2522+ xx3 即 2x2-5x-70 解之得 x27或 x-1 例14、解方程组 x+y=2 xy-z2=1 分析 两个方程，求三个未知数，似不可求，但由于x+y=2，所以可令x=1+t, y=1-t ,并将其视为整体，用均值整体代换便可。 解：令x=1+t, y=1-t （t为实数） (1-t)(1+t)-z2=1 t2+z2=0 t=0 且 z=0 原方程组的解为 x=1 y=1 z=0 六六六六、整体思维整体思维整体思维整体思维 解决问题过程中， 需要将要解决问题看作一个整体， 通过研究问题的整体形式，整体结构，整体功能，以便达到解题目

14、的。 例15：双曲线过原点，实轴长为2，它的一个焦点F1(4,0)，求双曲线中心的轨迹方程： 解：设双曲线另一个焦点为F2，则|OF2|OF1|=2a=2 设双曲线中心为P(x,y)，则另一个焦点F2(2x4,2y) 24)2()4-2(22=+yx，化简得(x2)2+y2=9或(x2)2=1 评注： 题设给定双曲线的一个焦点和一支上的一个特殊点， 如果仅用这些条件， 按常规方法很难求得中心的轨迹方程。 但若整体研究所给双曲线及两焦点与中心的位置关系，再利用原点在双曲线上，则解题思路豁然开朗。 例16：椭圆141622 =+yx上有两点P、Q，O是坐标原点，若OP、OQ斜率之积为41。 求证：

15、|OP|2+|OQ|2为定值 求PQ的中点M的轨迹方程 解：设P、Q两点坐标分别为P(x1、y1)，Q(x2、y2) P、Q分别在椭圆上，且KOPKOQ=41=+=+4114161416212122222121xyxyyxyx，故 =21212 22 22 12 14164164xxyyxyxy得16y12y22=16216(x12+x22)x12x22 代入得x12+x22=16 +得y12+y22=8 ( x12+x22)=4 |OP|2+|OQ|2= x12+y12+ x22 +y22=20 设P、Q中点为M(x，y)，则有x1+x2=2x y1+y2=2y +x2得 4(y12 +y22+ 2y1y2)=32(x12+ x22+2 x1x2) 4(y