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1、第七章 动态复制方法与合成,张玉鹏，华师大金统学院,7.1 引言, 前几章讨论了现金流的静态复制。所讨论的合成结构也是静态的，这意味着直至目标工具到期或终止，复制的资产组合不需要任何调整。, 在金融工程中静态复制有时不能实现，而且复制资产组合可能需要持续的调整（再平衡）来保持与目标工具等价。这种情况由许多不同的原因造成。, 首先，静态复制方法依赖于其他一些资产的存在，对这些资,产允许运用合约方程。为了复制目标证券，合约方程右端工具的数量必须有一个最低值。, 第二，工具也许存在，但其不具备流动性。复制只能利用具有流动性且与组成工具“相近”但不等同的资产来完成。, 第三，被复制的资产可能是高度非线
2、性的。用线性工具来复,制非线性资产会涉及各种各样的近似。至少，复制资产组合需要定期的再平衡。包含期权的资产就属于这种情况。, 最后，在资产定价中起到重要作用的参数可能发生变化，并,且这种情况也可能需要对复制资产组合进行再平衡。, 除了需要定期再平衡外，通过动态方法复制合成资产与用静,态方法复制遵循的原理是相同的。,7.2 一个例子, 动态复制只有在连续时间情形下是精确的。在,此情形下，可以对复制资产组合进行连续且微量的再平衡。但是当考虑交易费用、资产价格发生跳跃以及其他复杂因素时，这种复制的精确性很快就消失了。, 在离散时间情形下，动态复制可看作是一种近,似。即使不能精确地复制出给定的资产，动
3、态复制方法对于金融工程师来说仍然是一个重要的工具。,7.3 静态复制方法的回顾, 简单回顾一下静态复制的基本步骤, 首先，我们写出将被复制的标的资产的现金流，图7-1重复了复制存款的例子。图中的现金流表示期限为T的欧元存款。这个工具包含了在不同时间t和T的两个现金流。现金流用美元表示。 接下来，我们将这些现金流分解，由此构造某些流动资产，使得新的现金流垂直相加可以与目标资产吻合，如图7-1中上面部分所示。用货币X远期购买美元的远期货币合约，货币X的存款和即期FX操作产生的现金流在垂直相加时复制了欧元存款的现金流。 最后我们需要确认目标资产的（信用）风险与合成资产的风险相同。合成资产的组合就是所
4、谓的复制资产组合。,7.3 静态复制方法的回顾, 总结这些合成的两个重要特性。, 首先，通过建立其他三种工具的头寸，我们在t时构造了合成工具。需要强调的是，一旦头寸建立，那么在目标工具到期前我们无需再次修改或者重新调整买卖的工具的数量，尽管市场风险将在区间(t,T)内会有变化。 第二，我们的目的是构造与目标工具相同的到期现金流。因为在区间t, T中，复制不需要其他现金的流入或流出，所以目标工具在t时的价值将与合成工具的价值相同。,7.3.1 框架, 下面说明市场的不存在或非流动性以及某些工具的凸性,如何改变构造静态合成资产的方法。首先说明在这些情况下，利用静态方法复制的困难，然后叙述构造动态合
5、成资产方法的思路。, 只要涉及资产组合的再平衡和动态复制，就需要另外一,个基础的解析框架。特别地，我们需要注意调整的时机，尤其是要注意在没有现金流入或流出的情况下进行调整的方式。, 我们使用一个基本例子来说明构造动态合成资产的简单,环境。这里使用的是贴现债券，并假定无风险借贷是现有的唯一资产。此外假定不存在有关外汇、利率远期或非常短期限的欧元存款账户的市场。,7.3.1 框架, 考虑长度为的一个区间序列：,t0tiT，其中ti+1-ti=。, 假设市场参与者只面临两个流动市场。, 第一个是短期借贷市场，由符号Bt表示。Bt是t0时投资1美元在t时的价值。以年浮动利率Lti增长且到期日为，Bt在
6、tn时的值可表示为Btn=(1+ Lt0)(1+ Lt1) (1+ Ltn-1)。 第二个流动是无违约风险纯贴现债券市场，t时价格为B(t,T)。这种债券在t时以B(t,T)的价格卖出，在T时支付100美元。, 参与者只能利用这两种流动工具，Bt，B(t,T)，来构造,合成。假设不存在其他流动工具。,7.3.2 带有缺失资产的合成, 考虑市场参与者在上述市场中进行操作。假,设该参与者想要在t0时购买一个两期无违约风险的纯贴现债券，记为B(t0,T2)，这里到期日T2=t2。现在只有三期债券是唯一的流动债券，记为B(t0,T3)，这里到期日T3=t3。该市场参与者决定通过合成来构造B(t0,T2
7、)。, 首先我们判断出静态复制在这种情况下是不,可行的。图7-2表示了一期借贷Bt和二期债券,的现金流图。,7.3.2 带有缺失资产的合成, 图7-2的上面部分表示在t0 时支付B(t0,T2)以购买债券，该债券在到期日T2时获得100美元。遗憾的是，只利用一期借贷Bt不能重新构造这些简单的现金流，如,图7-2第二部分所示。, 二期债券包含t0和T2时的两种已知现金流。如果没有任何的流入或流出，在t0时利用Bt复制T2时100美元的,现金流是不可能的。, 1. 仅利用Bt的合成。, 假设我们利用滚动策略：, 在已知利率Lt0下，在t0时借出一期现金； 收集t1时所得现金；, 在t1时将现金借出
8、，利率为Lt1，以便在t2时获得100美元的,净现金流。,1. 仅利用Bt的合成, 该滚动策略存在两个问题：, 在t0时Lt1未知，因此在t0时我们不能确定Lt1的值以及借出多少现金可以复制t2时的现金流。金额是为在t2时获得100美元所应投资的资金，该金额是未知的。 我们可以在 0时投资Bt0，一旦t1时得知Lt1，就能添加或者减去数量为tB的现金以确保第二个问题是在t1时添加或者减去的现金是未知的。这使得我们的策略用于对冲无效，因为资产组合不是自融资的且附加资金的需求不能彼此抵消。, 该定价方法是不完美的。潜在的现金流入或者流出意味着在t0时合成的真实费用是未知的。因此，我们不能仅利用一期
9、借贷完成对B(t0,T2)的静态合成。,2.含Bt和B(t,T3)的合成, 引入具有流动性且较长时期的债券B(t,T3)同样不能对静态合成有所帮助。图7-4说明了无论我们在t0时如何操作，三期债券在到期日T3时依然存在多余的、非随机的现金流。这个多余的现金流使得我们不能在t0时精确复制B(t0,T2)产生的现金流。, 如果远期贷款以及“长期”债券B(t0,T3)存在，我们就可以构造B(t0,T2)的合成。如图7-4所示，此合成包含买入（1+ft0）单位B(t0,T3)的同时以远期利率ft0进行一期贷款。这样，我们成功地在静态情况下构造了二期债,券的合成。, 但这种方法是建立在远期市场存在和具有
10、流动性的假,设上。如果这些市场不存在，我们只好选择动态复制了。,7.4 特定合成, 我们如何复制二期债券呢？有两种答案。, 一个精确的复制需要使用动态复制方法，这个问题将在本章的后半部讨论。 另一种解决方法是使用不太精确的特定合成方法。即免疫策略。, 假设=1，因此ti表示年。我们假设存在3个工具。这些工具具有相同的风险因子，但由于各自价值方程的强非线性，它们的敏感性不同。令3种资产S1t ，S2t，S3t的定价函数为：S1t= f(xt)，S2t=h(xt), S3t=g(xt)。 这里h(), f()和g()是非线性的。xt是所有价格的共同风险因子。S1t表示目标工具，S2t, S3t将用
11、来形成合成工具。, 我们首先讨论静态复制策略。因为敏感性不同，第3章至第6章中的静态方法在这里不能使用。, 风险因子xt将随机地变化，而Sit(i=1,2,3)对xt的这种变化的反应也不相同。利用S2t和S3t构造S1t的合成的特定方法如下。, 在t时我们构造与S1t等值的资产组合，权重分别为2和3，使得资产组合2S2t+3S3t的敏感性关于风险因子xt与相应的S1t的敏感性尽可能地接近。 利用一阶敏感性，我们得到包含两个未知量 2,3的方程：, 使用这种方程确定的策略可能存在某些严重的缺点。它一般会不时地要求现金的流入或流出，这违反了合成工具的要求。, 但是在某些情况下，这种策略可以为金融工
12、,程师提供一个实际的解决方法。,免疫, 假设在t0时，一家银行考虑购买价格为B(t0,T2)，T2=t0+2的二期贴现债券。该银行可以使用6个月浮动基金，或者卖空一个三期贴现债券B(t0,T3)，T3=t0+3，或者结合此二者来完成此项交易。银行该如何操作呢？, 最好的方法是利用6个月基金和三期债券精确构造一个,既具有流动性又最便宜的合成。如果需要对冲，则卖出该合成。这样也获得了购买B(t0,T2)所需资金。结果将是银行实现了买卖价差。, 一种近似方法是与之前要求的敏感性相匹配。特别地，,我们试图与目标工具的一阶敏感性保持匹配。下面是一个关于固定收益资产组合的免疫例子。为了保证仅存在一个简单风
13、险因子，我们假设收益曲线只有平行移动。,例, 假设零附息债券收益曲线是一条直线y=8%，,并且只平行移动。那么，2年、3年和6个月的债券价值为, 利用“长期”债券B(t0,T3)和“短期”债券B(t0,T0.5)，我们构造一个初始费用为85.73的资产组合,。这与目标工具B(t0,T2)在t0时的价值相等。,例, 并且希望资产组合的敏感性与原始工具的敏感性相同。,因此，需要解如下方程：求得1=0.65，2=0.36, 我们需要卖出0.65单位的6个月债券和0.36单位的3年期,债券来构造2年期债券的近似合成。这样在t0时可以筹集所需资金和获得与y的变化相同的一阶敏感性。, 据此，利用全部头寸对
14、y的一阶变化不敏感的假设，,B(t0,T2)的资金可以由其他资产构成的资产组合“筹集”。这样的头寸就是“免疫的”。,免疫, 需要注意以下事实：, 二阶以及高阶的敏感性不匹配。所以，这个资产组合不是原始债券B(t0,T2)的精确合成。 “合成” 与原始工具的二阶敏感性对dy的反应不同，因此权重i ，i=1,2随着时间的推移需要不断地调整。调整本身就需要现金的注入或流出，这意味着资产组合不是自融资的。另外，我们需要考虑该利用哪种敏感性进行估计。 其次，收益曲线极少平行移动，而且这三种工具的收益率变化也不同，这些都破坏了一阶敏感性相同的原则。,7.5 动态复制原理, 我们回到利用存款Bt和“长期”债
15、券B(t0,T3)构造“短期”债券B(t0,T2)的合成问题上。, 合成的最好方法是建立包含Bt和B(t0,T3)的“聪明”头寸，使得在t1时由Bt调整产生的多余的现金流足够调整B(t0,T3) 。换句话说，我们是决定在t1时调整t0时确定的头寸来满足T2时二期债券的支付，在调整时不需要任何净现金的注入或流出。, 如果在t1时调整成功，那么调整后的资产组合在T2时的价值一定是100，复制也就完成了。这种复制,方法不是静态的，它将需要进一步调整。,7.5 动态复制原理, 重要的是，在t0时需要清楚投入多少资金才能在T2时得到100美元。, 上述策略是可行的，因为Bt1和B(t0,T3)都依赖于同样在t0时未知的利率Lt1,且二者都有已知的价值公式。通过巧妙地建立这两个资产相互抵消的头寸，我们,可以消除t0时未知的Lt1的影响。, 这个策略是在t0时利用不完美却相关的两个工具来构造合成，由于资产的权重和随机变量的相关性在t0时未知，合成需要持续的再平衡。如果这些随机变量以,
