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1、小学六年级奥数勾股定理讲座小学六年级奥数勾股定理讲座勾股定理内容概述1 勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方公元前 00 年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺2 公元前 11 世纪的周髀算经中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五既方之外半卿一矩,环而共盘得成三、四、五三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实汉朝张苍、狄昌寿整理的九算术第九卷为句股其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦句短其股，股短其弦句股各自乘
2、，并，而开方除之，即弦中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽的弦图 2002 年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图如下,在弦图中有 3 伽菲尔德证法:美国第 20 任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法：梯形面积= (上底下底)高= (a+b)(a+b)= (a+b)2；三个直角三角形的面积和= ab+ ab+ 2；梯形面积=三个直角三角形面积和(a+b)2= ab+ ab+ 2,所以 a2+b2=24 公元前 3 世纪的欧几里得在几何原本中给出一种证明,简叙如下：如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形 AB 的三
3、边长连接图中的虚线段对应的点；过作平行于 AF,交 AB、FG 分别于、点易证AFBAE,有 AFF= , EAA= ,所以 ；易证BGHBA，有 BGG= , BHIH= ,所以 而 即有 AB2=A2+B2勾股数组:a=u2-v2,b=2uv,=u2+v2 如果 a、6、可以如此表达,那么a、b、称之为勾股数组,有 a2+b2=2如:u=2,v=l 时 a=3,b=4,=；u=7,v=6 时 a=13,b=84,=8当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组典型问题2 智能机器猫从平面上的点出发按下列规律行走:由向东走 12 厘米到 A1,由 A1 向北走 2
4、4 厘米到 A2,由 A2 向西走 36 厘米到 A3,由 A3向南走 48 厘米到 A4,由 A4 向东走 60 厘米到 A,问:智能机器猫到达 A6 点与点的距离是多少厘米?【分析与解】 如右图所示,当智能机器猫到达 A6 点时,相对点,向东走了 12-36+60=36 厘米,向北走了 24-48+72=48 厘米有 =362+482,即 A2=60所以,A6 点到点的距离为 60 厘米4 如图 32-3 所示,直角三角形 PQR 的两个直角边分别为厘米,9 厘米问下图中 3 个正方形面积之和比 4 个三角形面积之和大多少?【分析与解】 如右图,延长 AR,DQ,过 E,F 分别作 AR,
5、DQ 的平行线,在正方形 EFRQ 内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHN，四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等小正方形 HGN 的边长为 9-=4 厘米,所以面积为 16 平方厘米,而另外两个正方形 ABPR、DQR 他的面积分别为 2,81所以原图中 3个正方形面积之和比 4 个三角形面积之和大 2+8l+16=122 平方厘米6 若把边长为 1 的正方形 ABD 的四个角剪掉,得一四边形 A1BllDl,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原正方形面积的 ,请说明理由(写出证明及计算过程)【分析与解】如左图所示,我们知道利用弦图,可是弦
6、图怎么利用?设构造出的弦图中最小正方形的面积为 x 最大正方形面积为 1,那么有剩下的正方形面积为 (x+1)= ,所以 x= 那么,最小正方形的边长为 由于是四角对称的剪去,所以有 ADl=Dl=Bl=BA1= ,AAl=BBl=l=DDl= 证明及计算过程略8 有个长方形,它们的长和宽都是整数,且个长和个宽恰好是 110这 10 个整数；现在用这个长方形拼成 1 个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少?【分析与解】 注意到,个长、宽均不相等的长方形拼成一个正方形,只有一种拼法(如右图所示，由弦图联想到)A、B、 、D 中必有一个长方形的一边长为 10,不妨设为 A，那么显然不能组成边
7、长为 10 的正方形；如果能够组成边长为 11 的正方形,那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+,那么大正方形的四边必须是为 11,则剩下的两个数,它们的和为 11,为中问阴影部分的长、宽和；评注:如果能够组成边长为 12 的正方形,那么有12=10+2=9+3=8+4=7+,剩下 1、6 试填不满足对于边长为 13 的正方形,注意到 13=10+3=9+4=8+=7+6,剩下 1、2,有见下图情形,满足10 园林小路,曲径通幽如图 32-7 所示,小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成问：内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?请说明理由【分析与解】如图,我们任意抽出两块相邻的白色正方形石板,及它们所夹成的青、红两色的三角形石板，如图所示图中有DB+ADG=1800如果,将DE 逆时针旋转 900,得 有 、 、 在同一条直线上,且 与 等底同高,所以有 也就是说,任意两块相邻的白色正方形石板,它们所夹成的青色三角形与红色三角形面积相等注意到在原图中,除了外圈青色的两块三角形外,外圈三角形、内圈三角形一一对应所以原图中,外圈三角形的面积大于内圈三角形的面积,如图所示
