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1、例说函数变换对称变换与翻折变换一、对称变换 还是从一个常见的例子开始：引例 1：（1997 全国，文）设函数定义在实数上，则函数与( )yf x(1)yf x的图像关于 （ ）(1)yfxA，直线对称 B，直线对称 C，直线对称 D，直线对称0y 0x 1y 1x 引例 2：（1997 全国，文改）设函数定义在实数上，且，( )yf x(1)(1)f xfx则的图像关于 （ ）( )f xA，直线对称 B，直线对称 C，直线对称 D，直线对称0y 0x 1y 1x 答案：引例 1 D，引例 2 B。为何？还是要来一点深入的分析。 引例 1 的分析：1( )(1)yf xyf x 向右平移个单位
2、1( )() (1)(1)yf xyfxfxfx 关于y轴对称向右平移个单位故它是研究两个不同函数，图像的对称问题（异对称） ，这两个(1)yf x(1)yfx函数均由经平移或对称产生。设点在上，有( )yf x000(,)A xy( )yf x1 000100(,)(1,)A xyA xy 向右平移个单位1 000200300(,)(,)(1,)A xyAxyAxy 关于y轴对称向右平移个单位与的中点为，故与的图像关于直线对称。1A3A0(1,)y(1)yf x(1)yfx1x 引例 2 的分析：该问题只在一个函数的图像上研究对称性的问题（自对称） 。设点在( )yf x000(,)A xy
3、上，则点，均在上。与的中点为( )yf x100(1,)A xy200(1,)Axy( )yf x1A3A，0(0,)y的图像关于直线对称。( )f x0x 评注：是异对称问题还是自对称问题，其解题思路完全不同，前者通过函数变换，后者找自对称点。将上两例推广可得以结论：（1）函数与函数的图像()yf xa()yf ax关于直线对称；（2）若函数满足，则的图xa( )yf x()()f axf xa( )yf x像关于轴对称。y 问题探讨： 问题 1 填空：（1） （2） ( )yf x 关于x轴对称( )yf x 关于y轴对称（3） （4） ( )yf x关于原点轴对称( )yf x 关于直线
4、y=x轴对称（5） （6）若函数满足( )yf x 关于直线x=a轴对称( )f x，则的图像关于 对称。()()f axf ax( )f x（7）若函数满足，则的周期为 。( )f x()()f axf xa( )f x答案：（1）， （2）， （3）， （4），( )yf x ()yfx()yfx 1( )yfx（5）， （6）直线， （7）。(2)yfaxxa2a问题 2（1997“希望杯”高一）函数与函数的图像 （ ）(1)yf x1(1)yfxA，关于直线对称 B，关于直线对称 yx1yxC，关于直线对称 D，关于直线对称1yxyx 解答指导 1：( )(1)yf xyf x 向左平
5、移1个单位11( )( )(1)yf xyfxyfx 关于y=x对称向左平移1个单位设点在上，则000(,)A xy( )yf x000100(,)(1,)A xyA xy 向左平移1个单位000200300(,)(,)(1,)A xyA yxA yx 关于y=x对称向左平移1个单位与的中点为，又易知过，的直线的斜率为，1A3A00002(,)22xyxy1A3A1故可设与的对称轴的方程为则：1A3Ayxb=+,得，于是选 B。00 2xy002 2xyb1b 解答指导 2：令，则 这两个函数的1xx (1)( )yf xf x11(1)( )yfxfx图像关于对称，即关于对称，选 B。yx1
6、yx评注：指导 1 较繁杂，但可深刻揭示两者的内在联系；指导 2 较简捷，但要有深刻的洞察力。问题 3 (2004 浙江，理)曲线关于直线对称的曲线方程是 （ ）24yx2x A， B， C， D，284yx248yx2164yx2416yx解答指导：设是所求曲线上任一点，它关于对称的点在上，( , )x y2x (4, )x y24yx得，选 C。24(4)164yxx问题 4 （2004 上海，理）若函数的图像可由函数的图像绕坐标原点 O( )f xlg(1)yx逆时针旋转得到，则 （ ）2( )f x A， B， C， D，101x101x1 10x1 10x解答指导：设是所求曲线上任一
7、点，它绕坐标原点 O 顺时针旋转得到的点( , )x y2在上，得，即，选 A。( ,)yxlg(1)yxlg(1)xy 101xy二、翻折变换引例 3（1990“希望杯”高一，改）函数的图像与轴围成的封闭区域的面1yxx积是（ ）A，2 B， C，1 D，21 2分析：我们看一下是怎么来的。1yxyxyx 保留x轴上方的图像, 并将x轴下方的图像翻折到x轴上方去1yxyx 向下平移1个单位11yxyx 保留x轴上方的图像, 并将x轴下方的图像翻折到x轴上方去根据以上过程，画一下图像知 C 正确。 引例 4 画下列函数的图像，并探讨它们的奇偶性，周期性。（1） （2）sinyxsinyx分析：经过一翻的试验，我们得到如下画法：（1）sinsinyxyx保留y轴右边的图像, 去掉y轴左边的图像 再作关于y轴对称的图像（2）sinsinyxyx 保留x轴上方的图像, 并将x轴下方的图像翻折到x轴上方去画图留给读者。 （两个都是偶函数，前者不是周期函数，后者是周期函数，它的周期为。） 其实我们有如下更一般的结论：( )()yf xyfx保留y轴右边的图像, 去掉y轴左边的图像 再作关于y轴对称的图像。( )( )yf xyf x 保留x轴上方的图像, 并将x轴下方的图像翻折到x轴上方去
