三角函数在物理学中的应用

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1、三角函数的应用三角函数的应用高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，三角函数在物理学中的应用最为 广泛。借助物理知识渗透考查数学能力是高考和自主招生命题的永恒主题。高考物理考试 大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。下面对三角函数的应用做 一小总结。 公式总结公式总结 1利用二倍角公式求极值正弦函数二倍角公式 cossin22sin如果所求物理量的表达式可以化成 cossinAy 则根据二倍角公式，有 2sin2Ay 当 时，y有最大值0452maxAy2利用和差角公式求物理极值 三角函数中的和差角公式为sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos

2、(m在力学部分求极值或讨论物理量的变化规律时，这两个公式经常用到，如果所求物理量的表达式为，我们可以通过和差角公式转化为cossinbay)cossin( 222222 babbaabay 令 ， cos 22 baasin 22 bab则 )sin(22bay当 时，y有最大值09022 maxbay3利用求导求物理极值 4三角函数中的半角公式2cosa-1 2asin2cosa1 2cosaaa aa acos1sin sincos1 cos1cosa-1 2atanaa aa asincos1 cos1sin cos1cosa1 2acot典型例题解析：典型例题解析： 1 1、一间新房即

3、将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流离房顶， 要设计好房顶的坡度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦地运动，那么图 1 所示四种 情况中符合要求的是（ ）【解析】雨滴沿房顶做初速度为零的匀加速直线运动，设房顶底边长为L，斜面长为S，倾角为，根据运动学公式有，解得2at21S singt21 cos2L2，当时，t有最小值2singL2 cossingLt045【答案】C 2 2、如图 2 所示,一辆 1/4 圆弧形的小车停在水平地面上。一个质量为m的滑块从静止 开始由顶端无摩擦滑下，这一过程中小车始终保持静止状态，则滑块运动到什么位置时， 地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少

4、？ 【解析】设圆弧半径为R，滑块运动到半径与竖直方向成角时，静摩擦力最大，且 此时滑块速度为v，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，应有2 21cosmvmgRRvmmgN2 cos由两式联立可得滑块对小车的压力cos3mgN 而压力的水平分量为2sin23cossin3sinmgmgNNx设地面对小车的静摩擦力为f，根据平衡条件，其大小2sin23mgNfx从f的表达式可以看出，当=450时，=1 有最大值，则此时静摩擦力的最大值2sinOv图 2FNmgR150A300B450C600D 图 1mgf23max3 3、如图 3 所示，重为G的木块与水平面间动摩擦因数为，一人欲用最小的作用力

5、F使木块沿地面匀速运动，则此最小作用力的大小和方向如何？【解析】木块受四个力的作用，即重力G，地面的支持力FN，摩擦力和施加的外力fFF，受力分析如图 7 所示，设力F与轴夹角为，由于物体在水平面上做匀速直线运动，x 处于平衡状态，所以在轴和轴分别列平衡方程：xyfFFcosGFFNsin且有 NfFF联立式， sincosGF利用和差角公式变形为(其中) )sin(12GF1tg当 时，F具有极小值 1)sin( 2min1GFF与轴正方向间夹角x1 tg4 4、用跨过定滑轮的绳牵引物块，使其从图 4 所示位置起沿水平面向左做匀速运动。若物块与地面间的动摩擦因数为，绳与滑轮质量不计。试分析运

6、动过程中绳拉力的变1化情况。 【解析】本题为讨论物理量的变化规律的问题， 设绳子拉力为F，受力分析、列平衡方程、求解F 同上一例题。 sincosGF利用和差角公式变形为 (其中) )sin(12GF1tg， 900450 而随物块向左运动， 450900 11tg则 1800900 随增大，减小，F 增大， )()sin(（ ） 图 4450 vxyGFNFFf图 3若变形为 （其中）则，据前面所述， )cos(12GFtg045在第一象限，随增大，减小，F增大。)cos(由以上分析可知，两种变形得到的结果一样。 5 5、求带等量同种正电荷 Q 的中垂线上的电场强度分布情况，并求出其最大值。

7、【解析】如图所示，设=2a，MNPMN2 2221cosEEaQkrQk由平行四边形定则可得sincos2sin22 21aQkEE令 y=sincos2sinsin-12）（3sin-sin= 0cossin3-cosy2）（2sin3-1cos31sin2时，E 有最大值33sin2934 akQ所以从 O 点经 P 到无限远处，场强是先增大后逐渐减小的，其中 P 点距 O 点为处时电场强度最大，为a222934 akQ6、2011 年全国理综 I 卷第 25 题：如图所示，与水平面成 45角的平面 MN 将空间分成 I 和 II 两个区域。一质量为 m、电荷量为 q（q0）的粒子以速度

8、从平面 MN 上的 点水平 右射入 I 区。粒子在 I 区运动 时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度 大小为 E；在 II 区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸 面向里。求粒子首次从 II 区离开时到出发点的距离。粒子 的重力可以忽略。【解析】：设粒子第一次过 MN 时速度方向与水平方向成 1角，位移与水平方向成 2角且 2=45，在电场中做 类平抛运动，则有：得出：，在电场中运行的位移在磁场中做圆周运动，且弦切角为 =12，得出：在磁场中运行的位移为：所以首次从 II 区离开时到出发点 p0的距离为：7 7、一帆船要向东航行，遇到了与航行方向成一

9、锐角的迎面风，现在使帆面 AB 与航行方 向成角，且使，这时风力可以驱使帆船向东航行。设风力的大小为 F，求船所受 的与帆面垂直的力和驱使船前进的力。【解析】：如图所示，AB 为帆面，船所受的与帆面垂直的力是风力 F 的一个分力，且1F，又分解至航行方向和垂直于航行方向的两个力和，其中）（-FsinF11F3F4F驱使船前进，使船身倾斜3F4Fsin-FsinsinFF13）（8 8、地面上有一堵高 h 的墙，O 点离墙距离为 d。又 O 点以 v0 抛出一石子，要石子越过墙顶A，v0 至少多大？【解析】： dtvcos0cos0vdt 2 021singttvh将式代入式得22 02cos2

10、1tanvdgdh22 022 0cos21cossinhvgddv212cos 21 22sin2 022 0hvgddv2 02 022 02cos2sinhvhvgddv22 0-2cos2singdhhdv）（）（hhdgdv-2cos2sin2 2 0令 ，coskd sinkh 则sin2coscos2sin2cos2sinkkhd（其中） )2sin( k22hdk所以的最小值为0v ）（hhdgdv 2220）（hhdgv22 09 9、已知如图，匀强电场方向水平向右，场强 E1.5106V/m，丝线长 l40cm，上端系于O 点，下端系质量为 m1.0104kg，带电量为 q

11、5.010-10C 的小球，将小球从最低 点 A 由静止释放.（g 取 10N/kg） 求：（1）小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？ （2）摆动过程中小球的最大速度是多大？【解析】：N105 . 7N105 . 1100 . 5qEF4-610N10100 . 1mgG4-由动能定理有：将数据代入得）（cos-1mgLqELsin4cos-43sin令=t ，则sin2t-1cos代入上式得t 3-4t-142两边平方得t24-t916t16-1622解得即=0.96 ，2524t sino74方法 2： 4cos-43sin42sin8-42cos2sin622sin82cos643

12、 2tano372o74方法 3: 4cos-43sin 44cos3sin4-5cos）（o37-所以 43tano37o74方法 4：由，43 mgqE可知合力方向即为小球处于平衡位置时的方向，与竖直方向成 37 度角。 那么小球能偏离竖直方向的最大角为 74 度。第二问：由于重力，电场力方向大小都恒定，两者合成一个大小方向都不变的恒力。这就相当于，小球只受到这一个力的作用，当这个合力的作用线通过 O 向下时，这时小球速度最大。这个点就是本题中等效最低点（和物体只受重力时的最低点一样的找法。）O43 mgqEtano37由动能定理得2mv21cos-1mgL-qELsin）（代入数据得s/

13、m41. 12v1010、(15 分) (2013 年华约自主招生)明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起 m=50kg 的物体。一重物放置在倾角 =15的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为= 0.58。试求该同学向上3 3拉动的重物质量 M 的最大值? 【解析】：根据题述，拉力 F=mg=500N。 设该同学拉动重物的力 F 的方向与斜面夹角为，分析重物 M 受力，如图所示。将各力分 别沿斜面方向和垂直斜面方向分解，由平衡条件得：在垂直斜面方向：0Mgcos-FsinFN式中是斜面对重物的支持力，其大等于重物对斜面的正压力。NF根据题意，重物刚好能被拉动，加速度 a 可近似认为等于

14、 0，即 a=O沿斜面方向：，0sin-FcosMgf由摩擦定律Nf联立解得：)sincos()sin(cosM gF令，代入上式可得：atan)sin()sin(MagaF 要使该同学向上拉动的重物质量最大，上式中分子取最大 值，即=1， )sin(a)sin(MmaxagF 由可得，代入上式可得该同学向上拉动的重物质量 M 的最大值33tanao30a=)3015sin(MmaxoogFkg7 .70kg2501111、 （2009 清华大学） 如图，一细棒质量为 m，初始时=30 度，方形木块以恒定速度向正左方运动。则细棒受到木块的力：A.一直增大 B.一直减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大【解析】：假设刚开始时，细棒的另一端刚好与方形木块接触，细棒的长度为 2L，则木块的高度为 L。设木块与细棒的接触点到支点的距离 OA 为 x，有 sinxLsinLx 由力矩平衡条件有：cosmgLFx cossinmgLLF=cossinmgF 2sin2mg当=时取最大值，所以当方形木块向左运动的过程中，由增大到接近 90 ，细o45o30o棒受到木块的力是先增大再减小。注：其中第 3、4、10 题，用矢量三角形