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1、线性代数线性代数期末复习要点期末复习要点第一章第一章n 阶行列式阶行列式 题型：题型： 填空填空 1练习册：一、练习册：一、6解：解：因为，(4,3,2,1)0 142332411423324114233241( 1)( 1)a a a aa a a aa a a a 所以符号为正。2 （类似）（类似）4 阶行列式，中含有的项的符号-11121314212223243132333441424344aaaa aaaaDaaaa aaaa14213243a a a a-解：因为，(4,1,2,3)0 1 1 1 142132431423324114233241( 1)( 1)a a a aa a
2、a aa a a a 所以符号为正。计算计算 3三、三、4 （类型相似，但是主对角线上的元素有变化）（类型相似，但是主对角线上的元素有变化）将第一行乘分别加到其余各行，得 ) 1(axxaaxxaaxxaaaaxDn 0000000LLLLLLLL再将各列都加到第一列上，得 axaxaxaaaanxDn0000000000) 1(LLLLLLLL)( ) 1(1axanxn第二章第二章矩阵理论矩阵理论 题型：题型： 填空填空 1练习册：一、练习册：一、9（|A| |B|换数）换数）解：解：131|2| 2| 8 2 232| TB（）ABA相似题：相似题：2设 A、B 是 3 阶方阵，且|A|
3、=2, |B|=3, 则=1BAT112|2|33BA3. 已知 A,B 为 4 阶方阵，且，则：| 3,|4 AB(1)； 4|22 |3 ( 4)12 AB|=A| B|=(2)；4| 4|4| 256 343072 T（）（）ABA B(3)；11111|()| |12| B AABBA(4)；11111|12 A BAB(5) *1*14 14 11331|2| |2| |2| |24|AAAAAAAA4. 设，都是 n 阶方阵，且|2，则ABA1B1112| TTA BABAB5练习册：二、练习册：二、1（类似）（类似）因为因为 ，所以c23=1012121 2101 15 2123
4、143 310 34020 5181 18 6练习册：三、练习册：三、7（只求（只求 A 的逆阵）的逆阵）解：由 A2A2EO 得： A2A2E 即 A(AE)2E EEAA)(21则且)(211EAA7 （类似）（类似）已知 3 阶初等阵，A 是 3 阶方阵，则 A 相当于对(2( 1),3)E(2( 1),3)EA 作的（）初等变换。 （见教材 P52 定理 2.7）BA231 rr（ （ （ 相似题：相似题：8. 设三阶方阵则第一列与第二列互换位置.123123123,aaa Abbb ccc (1, 2 )EA 9. 设三阶方阵则第二列与第三列互换位置.123123123,aaa Ab
5、bb ccc (2,3)EA 10设 4 阶可逆阵 A 的行列式|A|=3，则 |A*| =（|A|=？可能要变数）4 13|327A选择：选择： 11. 设 A，B 是可逆矩阵，则 =1OA BO11OB AO计算：计算： 12. 练习册：三、练习册：三、8（类似）（类似）解: AB+E =A2-B, (A+E)B=A2 -E, 因为|A+E|=-70, 所以A+E可逆,所以 B =(A+E)-1(A2-E)=(A+E)-1(A+E)(A-E )=A-E=-=。132011131 100010001 032001132相似题：相似题：13. 设 ABA2B 求 B 321011330 A解
6、由 ABA2E 可得(A2E)BA 故 321011330121011332 )2(11AEAB 0113213301414设 且 ABEA2B 求 B 101020101 A解 由 ABEA2B 得 (AE)BA2E 即 (AE)B(AE)(AE) 因为 所以(AE)可逆 从而01 001010100 |EA 201030102 EAB第三章第三章n 维向量组维向量组 题型：题型： 填空：填空：1练习册：一、练习册：一、7（类似）（类似）解: 因为, 当35-7m=0时向量组线性相关, 所以m=5。13221335732 TTTmm 2. 设，线性相关，则？2, 1, 115, 22k1,
7、6, 13k解：，所以3123121 1630251 kk k选择：选择：3. 练习册：二、练习册：二、2（类似）（类似） 4. 练习册：二、练习册：二、4（类似）（类似） 5. 练习册：二、练习册：二、5（类似）（类似）计算：计算：6已知向量组 ，求：(1) R(1,2,3,4)；12341230 0011 ,22102460 1203 (2) 1,2,3,4是否线性相关； (3) 1,2,3,4一个极大无关组；(4) 并用极大无关组表示其余向量。解：(1) (1,2,3,4)= ，所以R(1,2,3,4)=3；12301230 00110670 22100011 24600000 1203
8、0000 (2) 因为R(1,2,3,4)=34，所以线性相关；(3) 1,2,3为一个极大无关组；(4) 由于 (1,2,3,4)= 2100123012303 001106707010622100011 001124600000 000012030000 0000 所以 4=。12327 367. 练习册：三、练习册：三、3 (类似类似)(1)(1,2,3,4,5)=, 104311211210321 001101253010321 122000011010321向量组的秩为 3; (2)因为秩5,所以线性相关; (3)1,2,3为一个极大无关组;(4) (1,2,3,4,5), 所以a4
9、=a1+a2- 2111000011010101 212121110010101001a3，a5= (a1-a2+a3)。218练习册：三、练习册：三、5(类似类似)解：(1)(1,2,3,4)=; 向量组的秩为 3; 7963226412111112 0000100031101211(2)因为秩4, 所以线性相关; (3)1,2,4为一个极大无关组;(4) (1,2,3,4), 所以 3= -1-2。 0000100001100101注：考试出题为：四个五维向量注：考试出题为：四个五维向量 证明：证明：9. 练习册：四、练习册：四、3 (类似类似) 设 b1a1 b2a1a2 br a1a2
10、 ar 且向量组 a1 a2 ar线性无关 证明向量组 b1 b2 br线性无关 解：已知的 r 个等式可以写成 100110111 ) , , ,() , , ,(2121rraaabbb上式记为 BAK 因为|K|10 K 可逆 所以 R(B)R(A)r 从而向量组 b1 b2 br线性无关10练习册：四、练习册：四、2 若向量组线性无关，而123,11232123,2,试证：线性无关。(类似类似)312323,123,解：设，即0)32()2()(321332123211kkk0)32()2()(332123211321kkkkkkkkk由于向量组线性无关，所以 ，123, 032020
11、321321321kkkkkkkkk解得，所以线性相关。0321kkk123,11设向量组线性无关，令123,132123211,证明：向量组线性无关。(类似类似)123,解：设，即0)()()(132123211kkk0)()(332211321kkkkkk由于向量组线性无关，所以 123, 000332321kkkkkk解得，所以线性相关。0321kkk123,第四章第四章线性方程组线性方程组 题型：题型：选择：选择：1. 练习册：一、练习册：一、4 R(A)= n计算：计算：2. 教材教材 P92-4.5 ; 解：解：因为 R(A)=3,所以 AX=对应的齐次线性方程组 AX=0 的基础解系所含解向量的个 数为 4-3=1，由线性方程组解的性质可知是 AX=0 的一个基础解系，131223110 981 981 451 = （）（）故 AX=的通解为，其中为任意常数。1210 911 9122 41 X=k +k3教材教材 P93-4.14
