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1、抽屉原理抽屉原理把 4 只苹果放到 3 个抽屉里去，共有 3 种放法，不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两 个苹果。同样，把 5 只苹果放到 4 个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。 更进一步，我们能够得出这样的结论：把 n1 只苹果放到 n 个抽屉里去，那么必定有一个 抽屉里至少放进两个苹果。这个结论，通常被称为抽屉原理。利用抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。不过，抽屉原理不是拿来 就能用的，关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉” ，制造“抽屉” ，弄清应当把什么 看作“抽屉” ，把什么看作“苹果” 。【例 1】一个小组共有 13 名同学，其中至少有 2 名同学同一个
2、月过生日。为什么？【分析】每年里共有 12 个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这 12 个月看成 12 个“抽屉” ，把 13 名同学的生日看成 13 只“苹果” ，把 13 只苹果放进 12 个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放 2 个苹果，也就是说，至少有 2 名同学在同一个月过 生日。【例 2】任意 4 个自然数，其中至少有两个数的差是 3 的倍数。这是为什么？【分析】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以 3 的余数相同，那么这 两个自然数的差是 3 的倍数。而任何一个自然数被 3 除的余数，或者是 0，或者是 1，或者 是 2，根据这三种情况，可以把自然数分成
3、3 类，这 3 种类型就是我们要制造的 3 个“抽 屉” 。我们把 4 个数看作“苹果” ，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有 2 个数。换句 话说，4 个自然数分成 3 类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被 3 除 的余数就一定相同。所以，任意 4 个自然数，至少有 2 个自然数的差是 3 的倍数。想一想，例 2 中 4 改为 7，3 改为 6，结论成立吗？【例 3】有规格尺寸相同的 5 种颜色的袜子各 15 只混装在箱内，试问不论如何取，从 箱中至少取出多少只就能保证有 3 双袜子（袜子无左、右之分）？【分析】试想一下，从箱中取出 6 只、9 只袜子，能配成 3 双袜子吗
4、？回答是否定的。 按 5 种颜色制作 5 个抽屉，根据抽屉原理 1，只要取出 6 只袜子就总有一只抽屉里装 2 只， 这 2 只就可配成一双。拿走这一双，尚剩 4 只，如果再补进 2 只又成 6 只，再根据抽屉原 理 1，又可配成一双拿走。如果再补进 2 只，又可取得第 3 双。所以，至少要取 622=10 只袜子，就一定会配成 3 双。【例 4】一个布袋中有 35 个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有 10 个， 另外还有 3 个蓝色球、2 个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至 少有 4 个是同一颜色的球？【分析】从最“不利”的取出情况入手。最不利的情况是首先取
5、出的 5 个球中，有 3 个是蓝色球、2 个绿色球。接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过 4 个，所以， 根据抽屉原理 2，只要取出的球数多于（4-1）3=9 个，即至少应取出 10 个球，就可以保 证取出的球至少有 4 个是同一抽屉（同一颜色）里的球。故总共至少应取出 105=15 个球。思考：把题中要求改为 4 个不同色，或者是两两同色，情形又如何？(答案分别为 31 和 33）当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它 抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。提示语抽屉原理还可以反过来理解：假如把 n1 个苹果放到 n 个抽屉里，放
6、 2 个或 2 个以上 苹果的抽屉一个也没有（与“必有一个抽屉放 2 个或 2 个以上的苹果”相反） ，那么，每个 抽屉最多只放 1 个苹果，n 个抽屉最多有 n 个苹果，与“n+1 个苹果”的条件矛盾。运用抽屉原理的关键是“制造抽屉” 。通常，可采用把 n 个“苹果”进行合理分类的方 法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分为 12 类，自然数可按被 3 除所得 余数分为 3 类排列组合问题排列组合问题例 1：某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有 多少种不同的买法？ 分析：某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食。其中，买主食有 3 种不同
7、的方法，买副食有 5 种不同的方法。故可以由乘法原理解决： 解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有 35=15 种不同的方法。例 2：书架上有 6 本不同的外语书，4 本不同语文书，从中任取外语、语文书各一本， 有多少本不同的取法？ 分析：要做的事情是从外语、语文书中各取一本。完成它要分两步：即先取一本外语 书（有 6 种取法） ，再取一本语文书（有 4 种取法） 。所以，用乘法原理解决。 解：从架上各取一本共有 6424 种不同的取法。例 3：由数字 0、1、2、3 组成的三位数，问： （1） 、可组成多少个不相等的三位数？ （2） 、可组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：在确定由 0、
8、1、2、3 组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。所以， 每个问题都可以看成是分三个步骤来完成。 （1）：要求组成不相等的三位数。所以，数字可以重复使用，百位上，不能取 0，故 有 3 种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有 4 种不同的取法；个位上， 也有 4 种不同的取法，由乘法原理，共可组成 34448 个不相等的三位数。 （2）：要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取 0，有 3 种不同的取法； 十位上，由于百位上已在 1、2、3 中取走一个，故只剩下 0 和其它两个数字，故有 3 种取 法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，
9、有 2 种 取法，由乘法原理，共有 33218 个没有重复数字的三位数。 例 4：现有一角的人民币 4 张，贰角的人民币 2 张，壹元的人民币 3 张，如果从中至少取一张，至多取 9 张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？ 分析：要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做。如先 取一解的，再取贰角的，最后取壹元的。但注意到，取 2 张一角的人民币和取 1 张贰角的 人民币，得到的钱数是相同的。这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角 的人民币 4 张和贰角的人民币 2 张统一起来考虑。即从中取出几张组成一种面值，看共可 以组成多少种。分析得知，共可以组成从壹角到捌
10、角间的任何一种面值，共 8 种情况。整 个问题就变成了从 8 张壹角的人民币和 3 张壹元的人民币中分别取钱。这样，第一步，从 8 张壹角的人民币中取，共 9 种取法，即 0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，从 3 张壹 元的人民币中取共 4 种取法，即 0、1、2、3.由乘法原理，共有 9436 种情形，但注意 到，要求”至少取一张”而现在包含了一张都不取的这一种情形，应减掉。所以有 35 种不 同的情形。 例 5：学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。小明到图书馆借书时，图书馆有 不同的外语书 150 本，不同的科技书 200 本，不同的小说 100 本。那么，小明借一本书可 以
11、有多少种不同的选法？ 分析：在这个问题中，小明选一本书有三类方法。即要么选外语书，要么选科技书， 要么选小说。所以，是就用加法原理的问题。 解：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）不同的选法。例 6：一个口袋内装有 3 个小球，另一个口袋内装有 8 个小球，所有这些小球颜色各 不相同。 问：（1） 、从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2） 、从两个口袋内 各取一个小球，有多少种不同的取法？ 分析：（1） 、从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要 么从第二个口袋中取，共有两大类方法。所以是加法原理的问题。 （2） 、要从两个口袋中 各取一个
12、小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完 成，是乘法原理的问题。 解（1）：3811（种） （2）：3824（种）例 7：有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情 形？ 分析：要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字同为 奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑。 第一类：两个数字同为奇数。由于放两个正方体可认为是一个一个地放。放第一个正 方体时，出现奇数有三种可能，即 1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能， 由乘法原理，这时共有 339 种不同的情形。 第二类：两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有 9 种不同的情形。 所以，最后再由加法原理即可求解。9918（种）
