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1、数学实验数学实验报告报告实验名称实验名称 MatlabMatlab 大作业大作业 学学 院院 材料科学与工程材料科学与工程 专业班级专业班级 材料材料 080?080? 姓姓 名名 ? 20102010 年年 6 6 月月2一、一、【实验目的实验目的】 运用数学知识与 MATLAB 相结合，运用数学方法，建立数学模型，用 MATLAB 软件辅助求解模型， 解决实际问题。二、二、【实验任务实验任务】海水温度随着深度的变化而变化，海面温度较高，随着深度的增加温度越来越低，这样也就影 响了海水的对流和混合，使得深层海水中的氧气越来越少，这是潜水员必须考虑的问题，同时 根据这个规律也可以对海水鱼层作一
2、划分。现在通过实验观测得一组海水深度 h 与温度的 t 的 数据如下：t23.522.920.119.115.411.59.58.2h01.52.54.68.212.516.526.5 要求： （1）找出温度 t 与深度 h 之间的一个近似函数关系； （2）找出温度变化最快的深度位置（实际上该位置就是潜水员在潜水时，随着下潜深度的不 同，需要更换呼入气体种类的位置，也是不同种类鱼层的分界位置） 。三、三、【实验分析及求解实验分析及求解】1.模型准备：模型准备：该问题是要运用已测数据，研究海水温度随深度的变化关系。找出温度随深度变化的函数关系，并利用此近似关系，找到温度变化最快的深度位置，进而为
3、潜水员潜水时换气和鱼类分层的分界位置提供理论依据和实践指导。2.模型分析及求解：模型分析及求解：（1）建立海水温度与深度变化的函数关系：）建立海水温度与深度变化的函数关系：实际上，海水的温度变化不仅仅是由深度决定的，可能还与海水的盐度、密度、比热等因素有关，但深度对海水的温度起决定性作用，因此可以假设海水的温度和深度之间存在简单的函数关系。题目中给出了一组海水深度 h 与温度的 t 的数据，因此可对该组数据进行多项式的拟合，找出合适的近似关系，得出海水温度随深度变化的规律。 t23.522.920.119.115.411.59.58.2h01.52.54.68.212.516.526.5为了找
4、出符合深度 h 和温度 t 的合适多项式，于是对其进行了 3、5、7 阶的拟合，以下为拟合后的图形：051015202530354045505101520253035404550合 合 H合 合 T3合 合 合 合 合合 合 合 合 合 合 合05101520253035404550-800-700-600-500-400-300-200-1000100合 合 H合 合 T5合 合 合 合 合合 合 合 合 合 合 合305101520253035404550-0.500.511.522.5x 106合 合 H合 合 T7合 合 合 合 合合 合 合 合 合 合 合当然，拟合的次数越高，在一定
5、区间内吻合程度就会越高，但对计算也会造成一定的难度。对比以上图形，可以发现，只有在 030m 深度范围内，拟合出的曲线才于实际情况相符合。同时，七阶曲线的拟合程度已经基本可以表达二者之间的关系：因此，选用 7 阶函数最为二者之间的近似函数关系.拟合的函数关系式如下:4726154320.167404 100.117471 100.309730 100.3889672.409496.784285.5197723.5000THHHHHHH因为所取数据点是在 027m 之间，同时由拟合曲线可以发现在其他区间内，确实与实际情况不符，故取区间为（030） 。（2 2）利用拟合曲线求温度随深度变化最快的位
6、置：）利用拟合曲线求温度随深度变化最快的位置：即求 的最大值，进而可以转化为求二阶导数的极值即，对应最大的dT dH220d T dHdT dH极值点即为所求的位置。36254320.1171828 100.704826 100.15486501.5558687.2284713.568565.51977dTHHHHHHdH2 351432 20.7030968 100.3524130 100.61946004.66760414.4569413.56856d THHHHHdH令令解得的极值点，对应最大的点即为所求点。220d T dHdT dHdT dH用 MATLAB 解得的结果为：4由得：2
7、20d T dHH= 1.61978116810496372540538469110744.70137434757933502317297827110858.716926546097161440915653392642813.41716770086144025583923569581321.667720502617871613364782131819 代入得：dT dHdT dH-3.1156124188526912076380861099649,0.5570442013360668953956637191788,-3.216335574505053725682056116640,4.4708
8、6321730533459443013039762,-122.709127151164101883805173491显然，H=21.667720502617871613364782131819 时，对应的122.709127151164101883805173491dT dH 最大，所以 H=21.67 即为所求点。 即温度随深度变化最快的位置为：H=21.67m3.模型检验：模型检验： 针对求出的温度随深度变化的近似函数关系，用所给数据进行检验：测量值 t23.522.920.119.115.411.59.58.2测量值 h01.52.54.68.212.516.526.5计算值 t23.5
9、00022.900020.100119.100415.402611.51489.55308.6817可以发现，数据基本吻合，可见近似关系符合实际.四、四、【实验程序及结果实验程序及结果】 Matlab 程序： %曲线拟合clf t=23.5 22.9 20.1 19.1 15.4 11.5 9.5 8.2; h=0 1.5 2.5 4.6 8.2 12.5 16.5 26.5; plot(h,t,p),hold on y=polyfit(h,t,7); T=poly2str(y,H)5h=0:1:50; y1=polyval(y,h); plot(h,y1) xlabel(深度H),ylabe
10、l(温度T) legend(数据点,拟合曲线) title(7阶拟合曲线) 运行结果：T =1.674e-005 H7 - 0.0011747 H6 + 0.030973 H5 - 0.38897 H4 + 2.4095 H3 - 6.7843 H2 + 5.5198 H + 23.505101520253035404550-0.500.511.522.5x 106合 合 H合 合 T7合 合 合 合 合合 合 合 合 合 合 合%最值求取syms H T =1.674e-005* H7 - 0.0011747 *H6 + 0.030973 *H5 - 0.38897* H4 + 2.4095
11、* H3 - 6.7843 *H2 + 5.5198 *H + 23.5; dT=diff(T,H) dT2=diff(T,H,2) Tj=solve(dT2,H) Tj1=subs(dT,H,Tj) 运行结果：dT = (17292715764458281*H6)/147573952589676412928 - (16252042697539959*H5)/2305843009213693952 + (5579599650341855*H4)/36028797018963968 - (38897*H3)/25000 + (14457*H2)/2000 - (67843*H)/5000 + 2
12、7599/5000dT2 = (51878147293374843*H5)/73786976294838206464 - (81260213487699795*H4)/2305843009213693952 + (5579599650341855*H3)/9007199254740992 - (116691*H2)/25000 + (14457*H)/1000 - 67843/50006Tj =21.66888475488908581199361983741513.4159911071118606783652908569158.71804646629882366385280886952974.
13、70102802581404353819975783685891.6197908986597042089689607079289Tj1 =-122.821167950652813897724696908494.4565284510783742605838246452652-3.22053238548742027582214013957290.55640991541663587473458635434981-3.1156188787643168298501940888469五、五、【实验总结实验总结】 1海水温度随深度变化的近似函数关系为：其中 H（0,30）4726154320.167404 100.117471 100.309730 100.3889672.409496.784285.5197723.5000THHHHHHH2. 温度随深度变化最快的位置为：H=21.67m。
