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1、容斥原理专题训练容斥原理专题训练知识梳理：知识梳理： 在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 公式 1. 如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，A 类或 B 类元素个数= A 类元素个数+ B 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数。公式 2. 如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么，A 类或 B类或 C 类元素个数= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数既是
2、A 类又是 B 类的元素个数既是 A 类又是 C 类的元素个数既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。例题精讲：例题精讲：1. 某大楼里有 125 盏灯，按 1,2，3，,125 编号，每盏灯有一个拉线开关，拉一次灯亮，再拉一次灯熄。工程师做实验，他先把所有号码是 4 的倍数的灯的开关拉 1 次，再把所有号码是6 的倍数的灯的开关拉 1 次，同时再拉 1 次号码是 4 的倍数、但不是 6 的倍数的灯开关，问：现在有多少盏灯是亮的？ 解：号码是 4 的倍数的灯有 4，8，12，124，共 31 盏；号码是 6 的倍数的灯有 6，12，18，120，共
3、 20 盏；号码是 4 的倍数也是 6 的倍数的灯有 12，24，36，120，共10 盏。号码是 4 的倍数，但不是 6 的倍数的灯有 31-10=21 盏。则亮的灯数是 20-10=10(盏)。2. A、B、C 三位质检员对流水线上的书包进行检查，A 每 3 个书包抽查 1 个，B 每 5 个书包抽查 1 个，C 每 7 个书包抽查 1 个，一共有 250 个书包通过流水线，假定 A、B、C 首个抽查到的书包分别是第三个、第五个和第七个，试求：(1)没被抽查到的书包数。(2)在 A 或 B 抽查到的书包中，没被 C 抽查到的书包数。解：(1)250 内，3 的倍数有 83 个，5 的倍数有
4、 50 个，7 的倍数有 35 个，15 的倍数有 16 个，21 的倍数有 11 个，35 的倍数有7 个，105 的倍数有 2 个，没被抽查到的书包有 250-83-50-35+16+11+7-2=114(个)。(2)是 3 或 5 的倍数，但不是 7 的倍数的有 83+50-16-11-7+2=101(个)。3. 学校举行趣味运动会，班里的同学有 20 人报名。参加障碍过河比赛的有 10 人，参加自行车慢骑的有 13 人，参加“袋鼠跳”比赛的有 15 人，障碍过河、“袋鼠跳”都参加的有 9 人，障碍过河、自行车慢骑都参加的有 6 人，自行车慢骑、“袋鼠跳”都参加的有8 人，你能画出参加比
5、赛的人数文氏图吗？ 解：三项比赛都参加的人数为：20-10-13-15+9+8+6=5(人)。文氏图如下：4. 某体育学校的运动员中，会游泳的有 15 人，会跳高的有 12人，会跳远的有 9 人，以上三个项目只会其中两种的有 13 人，会三种的有 5 人，则只会其中两种的人分别有多少可能？ 解：设只会游泳、跳高的有 x 人，只会游泳、跳远的有 y 人，只会跳高、跳远的有 z 人，则共有 6 组解：(1)x=7,y=4,z=2；(2)x=7,y=3,z=3；(3)x=7,y=2,z=4；(4)x=6,y=4,z=3；(5)x=6,y=3,z=4；(6)x=5,y=4,z=4。专题特训：专题特训：
6、1. 在 1,2，3，,100 这 100 个自然数中，能被 5 或 9 整除的数有( )。2. 在 1,2，3，100 这 100 个自然数中，能被 2 和 3 整除，但不能被 5 整除的数有( )个。3. 500 以内既是完全平方数也是完全立方数的数有( )个。4. 在一所中学的实验班里，60 个学生参加过竞赛。其中参加过数学竞赛的有 30 人，参加过英语竞赛的有 25 人，参加过作文比赛的有 17 人，参加过数学竞赛和英语竞赛的有 12 人，参加过英语竞赛和作文比赛的有 10 人，参加过数学竞赛和作文比赛的有 7 人，则三种竞赛都参加过的学生有 ( )人。5. 以 60 为分母的最简真分
7、数共有 ( )个。6. 某学校数学竞赛的加试题有 2 道。结果全校参赛的 210 人中，第一题得满分的有 40 人，第二题没得满分的有 150 人，两道都得满分的有 10 人。则两题都没得满分的人数有 ( )人。7. 某兴趣小组有 50 人，有的会画画，有的会书法，有的两样都不会，有的两样都会，其中会画画的有 25 人，会书法的有 21人，都不会的有 14 人。那么既会画又会书法的有( )人。8. 90 以内是 3 或 7 的倍数的自然数有( )个。9. 在 1100 这 100 个自然中，不能被 2、3、5 中任何一个数整除的数有( )个。10. 1300 之间既不是完全平方数也不是完全立方
8、数的数有( )个。答案与解析答案与解析1. 解： 能被 5 整除的数是 5，10，15，100，共 20 个；能被 9 整除的数是 9，18，27，99；共 11 个；能被 45 整除的数是 45，90。则能被 5 或 9 整除的数有 20+11-2=29(个)。2. 解：能被 2 和 3 整除的数有 6，12，18，96；共 16 个；其中能被 5 整除的数有 30，60，90，则能被 2 和 3 整除，但不能被 5 整除的数有 16-3=13(个)。3. 解：有 2 个。500 以内既是完全平方数也是完全立方数的数有 1、64。因为 1 和 4 是完全平方数，那么它们的立方就是完全平方数，
9、而 9 的立方超过 500 了。4. 解：三种竞赛都参加过的人有：60-30-25-17+12+10+7=17(人)。5. 解：只需要考察其中分子的个数即可；并且分子要满足与 60互质，即分子不是 2、3、5 中任何一个数的倍数。在 60 以内，2 的倍数有 30 个，3 的倍数有 20 个，5 的倍数有 12 个，2 和 3的公倍数有 10 个，2 和 5 的公倍数有 6 个，3 和 5 的公倍数有4 个，2、3 和 5 的公倍数有 2 个，则最简真分数共有 60-(30+20+12-10-6-4+2)=16(个)。6. 解：150-(40-10)=120(人)7. 解：10。50-14=3
10、6(人)画画、书法至少会一样，则 21+25-36=10(人)既会画画又会书法。8. 解：38。90 以内是 3 的倍数的自然数有 3，6，9，90，共 30 个；90 以内是 7 的倍数的自然数有 7，14，21，,84 共 12 个；90 以内是 21 的倍数的自然数有 21，42，63，84，共 4 个。90 以内是 3 或 7 的倍数的自然数的个数有 30+12-4=38(个)。9. 解：26。1100 中，能被 2 整除的数有 2，4，6，8，100，共 50 个；能被 3 整除的数有 3，6，9，99，共 33 个；能被 5 整除的数有 5，10，15，100，共 20 个；能同时
11、被 2、3 整除的数有 6，12，18，96，共 16 个；能同时被 2、5 整除的数有 10，20，30，100，共 10 个；能同时被 3、5 整除的数有 15，30，45，90，共 6 个；能同时被 2、3、5 整除的数有 30，60，90，共 3 个。由容斥原理可得，不能被 2、3、5 中任何一个数整除的数有：100-50-33-20+16+10+6-3=26(个)。10. 解：279。1300 之间完全平方数有 1，4，9，16，289，共 17 个；完全立方数有 1，8，27，216，共 6 个；既是完全平方数也是完全立方数的有 1、64，共 2 个。既不是完全平方数也不是完全立方数的有 300-17-6+2=279(个)
