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1、智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库1知识内容 1基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第n1m二类办法中有种方法，在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有2mnnm种不同的方法又称加法原理12nNmmmL乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，n1m做第二个步骤有种不同方法，做第个步骤有种不同的方法那么完成这件事2mnnm共有种不同的方法又称乘法原理12nNmmmL加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理
2、如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用2 排列与组合排列：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，n()m mn 叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素）nm排列数：从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同n()m mnn元素中取出个元素的排列数，用符号表示mAmn 排列数公式：，并且A(1)(2)(
3、1)m nn nnnmLmnN，mn 全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列nn 的阶乘：正整数由 到的连乘积，叫作的阶乘，用表示规定：n1nn!n0!1组合：一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元nm()mnn素中任取个元素的一个组合m组合数：从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个nm()mnn不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示mCmn基本计数原理的综合应用智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库2组合数公式：，并且(1)(2)(1)!C!()!m nn nnnmn mm nmL,m nNmn组合数
4、的两个性质：性质 1：；性质 2： （规定）CCmn m nn1 1CCCmmm nnn 0C1n 排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4捆绑法：某些元素必相邻的排列
5、，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空6插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题把个元素n()m mnn排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有1n 1m 1 1m nC 7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！nnmm8错位法：编号为 1 至的个小球放入编号为 1 到的个盒子里，每个盒子放一个小nnnn球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别
6、当，3，4，5 时的2n 错位数各为 1，2，9，44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2个、3 个、4 个元素的错位排列的问题1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式
7、子计算作答2具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排；理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库3典例分析基本计数原理的综合应用【例 1】 用， ，排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，03456 则这样的五位数的个数是_ （用数字作答）【例
8、2】 若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象则称为“可连n(1)(2)nnnn数”例如：是“可连数”，因不产生进位现象；不是“可连数”，3232333423 因产生进位现象那么，小于的“可连数”的个数为（ ）2324251000 A B C D27363948【例 3】 由正方体的 8 个顶点可确定多少个不同的平面？【例 4】 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一 颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种 （以数字 作答）智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库4【例 5】 如图，一环形花坛分成四块，现有 4 种不同的花供选种，要
9、求在每块A B CD，里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A96B84C60D48【例 6】 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图） 现要栽种 4 种不 同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方 法有 种 （以数字作答）【例 7】 分母是 385 的最简真分数一共有多少个？并求它们的和智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库5【例 8】 某人有 4 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多） ，要在如图所示的 6 个点 A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每 种颜色
10、的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）【例 9】 用， ， ，这个数字，可以组成_个大于，小于01234563000 的数字不重复的四位数5421【例 10】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“ ”到“”共个号码公司规定：凡卡号的后四0000999910000 位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ 47智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库6） A B C D2000409659048320【例 11】同室人各写 张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿 张别人送出的贺411 年卡，则张贺年卡不同的分配方式有（ ）
11、4 A 种 B 种 C种 6911 D种23【例 12】某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单，开演前又增加了 3 个新节目， 如果将这 3 个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A BCD504210336120【例 13】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙 3 种不同的树苗，从中取出 5 棵分别种植在排成一排的 5 个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第 5 个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ） A15 种B12 种C9 种D6 种【例 14】如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择， 规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花
12、中颜色相同的花瓣恰有三片， 则不同涂法种数为 （用数字作答）. 智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库7【例 15】用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）0910 A B CD324328360648【例 16】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如1 29，9图） ，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“ 、”357 号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种987654321A B C D72108144192【例 17】足球比赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，那 么一个队打 14 场共得 19 分的情况有（ ） A 种 B种 C种 D种3456智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库8
