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1、智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库1知识内容 1基本计数原理加法原理分类计数原理:做一件事,完成它有类办法,在第一类办法中有种不同的方法,在第n1m二类办法中有种方法,在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有2mnnm种不同的方法又称加法原理12nNmmmL乘法原理分步计数原理:做一件事,完成它需要分成个子步骤,做第一个步骤有种不同的方法,n1m做第二个步骤有种不同方法,做第个步骤有种不同的方法那么完成这件事2mnnm共有种不同的方法又称乘法原理12nNmmmL加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理
2、如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用2 排列与组合排列:一般地,从个不同的元素中任取个元素,按照一定的顺序排成一列,n()m mn 叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 (其中被取的对象叫做元素)nm排列数:从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数,叫做从个不同n()m mnn元素中取出个元素的排列数,用符号表示mAmn 排列数公式:,并且A(1)(2)(
3、1)m nn nnnmLmnN,mn 全排列:一般地,个不同元素全部取出的一个排列,叫做个不同元素的一个全排列nn 的阶乘:正整数由 到的连乘积,叫作的阶乘,用表示规定:n1nn!n0!1组合:一般地,从个不同元素中,任意取出个元素并成一组,叫做从个元nm()mnn素中任取个元素的一个组合m组合数:从个不同元素中,任意取出个元素的所有组合的个数,叫做从个nm()mnn不同元素中,任意取出个元素的组合数,用符号表示mCmn基本计数原理的综合应用智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库2组合数公式:,并且(1)(2)(1)!C!()!m nn nnnmn mm nmL,m nNmn组合数
4、的两个性质:性质 1:;性质 2: (规定)CCmn m nn1 1CCCmmm nnn 0C1n 排列组合综合问题 解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法:1特殊元素、特殊位置优先法元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;2分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏3排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法4捆绑法:某些元素必相邻的排列
5、,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列5插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空6插板法:个相同元素,分成组,每组至少一个的分组问题把个元素n()m mnn排成一排,从个空中选个空,各插一个隔板,有1n 1m 1 1m nC 7分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序)有等分、不等分、部分等分之别一般地平均分成堆(组),必须除以!,如果有堆(组)元素个数相等,必须除以!nnmm8错位法:编号为 1 至的个小球放入编号为 1 到的个盒子里,每个盒子放一个小nnnn球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别
6、当,3,4,5 时的2n 错位数各为 1,2,9,44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为 2个、3 个、4 个元素的错位排列的问题1排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径:元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题;再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式
7、子计算作答2具体的解题策略有:对特殊元素进行优先安排;理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏;对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复;对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法;顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理;对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库3典例分析基本计数原理的综合应用【例 1】 用, ,排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,03456 则这样的五位数的个数是_ (用数字作答)【例
8、2】 若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象则称为“可连n(1)(2)nnnn数”例如:是“可连数”,因不产生进位现象;不是“可连数”,3232333423 因产生进位现象那么,小于的“可连数”的个数为( )2324251000 A B C D27363948【例 3】 由正方体的 8 个顶点可确定多少个不同的平面?【例 4】 如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一 颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种 (以数字 作答)智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库4【例 5】 如图,一环形花坛分成四块,现有 4 种不同的花供选种,要
9、求在每块A B CD,里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( ) A96B84C60D48【例 6】 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图) 现要栽种 4 种不 同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方 法有 种 (以数字作答)【例 7】 分母是 385 的最简真分数一共有多少个?并求它们的和智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库5【例 8】 某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多) ,要在如图所示的 6 个点 A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每 种颜色
10、的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种(用数字作答)【例 9】 用, , ,这个数字,可以组成_个大于,小于01234563000 的数字不重复的四位数5421【例 10】某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“ ”到“”共个号码公司规定:凡卡号的后四0000999910000 位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为( 47智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库6) A B C D2000409659048320【例 11】同室人各写 张贺年卡,先集中起来,然后每人从中各拿 张别人送出的贺411 年卡,则张贺年卡不同的分配方式有( )
11、4 A 种 B 种 C种 6911 D种23【例 12】某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目, 如果将这 3 个节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为( ) A BCD504210336120【例 13】某班学生参加植树节活动,苗圃中有甲、乙、丙 3 种不同的树苗,从中取出 5 棵分别种植在排成一排的 5 个树坑内,同种树苗不能相邻,且第一个树坑和第 5 个树坑只能种甲种树苗的种法共( ) A15 种B12 种C9 种D6 种【例 14】如图所示,画中的一朵花,有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择, 规定每片花瓣都要涂色,且只涂一种颜色.若涂完的花
12、中颜色相同的花瓣恰有三片, 则不同涂法种数为 (用数字作答). 智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库7【例 15】用到这个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )0910 A B CD324328360648【例 16】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形(如1 29,9图) ,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且“ 、”357 号数字涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有( )种987654321A B C D72108144192【例 17】足球比赛的计分规则是:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分,那 么一个队打 14 场共得 19 分的情况有( ) A 种 B种 C种 D种3456智康高中数学.板块三.基本计数原理的综合应用.题库8